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抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线 复习回顾 我们知道 椭圆 双曲线的有共同的几何特征 都可以看作是 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 其中定点不在定直线上 那么 当e 1时 它又是什么曲线 问题探究 当e 1时 即 mf mh 点m的轨迹是什么 几何画板观察 探究 可以发现 点m随着h运动的过程中 始终有 mf mh 即点m与点f和定直线l的距离相等 点m生成的轨迹是曲线c的形状 如图 我们把这样的一条曲线叫做抛物线 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点f叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 mf d d为m到l的距离 准线 焦点 d 二 抛物线的定义 如何建立坐标系呢 思考 抛物线是轴对称图形吗 怎样建立坐标系 才能使焦点坐标和准线方程更简捷 三 抛物线的标准方程 抛物线标准方程 标准方程的推导 标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 且p的几何意义是 焦点到准线的距离 焦点坐标是 准线方程为 想一想 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 想一想 这种坐标系下的抛物线方程形式怎样 设 kf p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 mf mn 即 解 设取过焦点f且垂直于准线l的直线为x轴 线段kf的中垂线为y轴 n f m k l y轴 x轴 y y y x x y 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程有四种形式 相同点 1 顶点为原点 2 对称轴为坐标轴 3 顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p 2 不同点 1 一次项变量为x y 则对称轴为x y 轴 2 一次项系数为正 负 则开口方向坐标轴的正 负 方向 记忆方法 p永为正 一次项变量为对称轴 一次项变量前系数为开口方向 且开口方向坐标轴的正 负 方向相同 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 根据标准方程的知识 我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程 解 1 因为p 3 所以焦点坐标是 准线方程是 练习 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 3 抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方
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