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函数的奇偶性 m n 1 2 3 4 a1 b2 c2 o a2 b1 l1 l2 l3 a b c d c1 p1 p2 q1 q2 o 自学提纲 1什么是奇函数 2什么是偶函数 3奇函数 偶函数的图像各有什么样的对称性质 y x2 x x y 2 4 2 4 f 2 f 2 由于 x 2 x2 所以f x f x f 1 f 1 1 1 1 1 函数的奇偶性 正式上课 f 2 f 2 由于 x x 所以f x f x 1 偶函数 一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做偶函数偶函数的图像关轴对称 y x3 x y 1 1 1 1 f 1 f 1 由于 x 3 x3 所以f x f x 2 奇函数 一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做奇函数 奇函数的图像关于原点对称 注意 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 奇 偶函数定义的逆命题也成立 即若f x 为奇函数 则f x f x 有成立 若f x 为偶函数 则f x f x 有成立 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 3 奇偶函数图象的性质 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么就称这个函数为奇函数 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么就称这个函数为偶函数 说明 奇偶函数图象的性质可用于 a 简化函数图象的画法 b 判断函数的奇偶性 例3 已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 解 画法略 本课小结 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数如果都有f x f x f x 为偶函数 2 两个性质 一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称 例 判断下列函数的奇偶性 1 解 定义域为r f x x 4 f x 即f x f x f x 偶函数 2 解 定义域为rf x x 5 x5 f x 即f x f x f x 奇函数 3 解 定义域为 x x 0 f x x 1 x f x 即f x f x f x 奇函数 4 解 定义域为 x x 0 f x 1 x 2 f x 即f x f x f x 偶函数 课堂练习 判断下列函数的奇偶性 课堂练习 小结 用定义判断函数奇偶性的步骤 先求定义域 看是否关于原点称 再判断f x f x 或f x f x 是否恒成立 课堂练习 若f x 是定义在r上的奇函数 当x0时 x 0 因当x 0时f x x 1 x 则f x x 1 x 又f x 为奇函数有f x f x 所以 f
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