高考数学一轮复习 4.4平面向量的拓展与应用练习 理.doc

第四节平面向量的拓展与应用平面向量与数学的许多分支都有联系，在高考中涉及平面向量的应用主要有以下几方面：1向量在平面几何中的应用：平面几何经常涉及距离(线段的长度)、夹角，而向量运算，特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题利用向量方法处理几何问题一般有以下“三步曲”：(1)转化：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系2平面向量在物理中的应用：物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题利用向量方法处理物理问题一般有以下“三步曲”：(1)表示：把物理问题的相关量用向量表示；(2)转化：转化为向量问题模型，通过向量的运算使问题得以解决；(3)还原：把运算结果“还原”成物理问题3平面向量与其他数学知识的综合应用：(1)向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问题，命题以三角函数作为背景，是向量的坐标运算与解三角形、三角函数图象和性质综合的问题；(2)平面向量与函数、不等式交汇的问题，主要是向量与二次函数、均值不等式结合的问题为主，要注意自变量的取值范围；(3)向量与解析几何交汇的问题，其基本思想是利用向量的坐标表示，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的相关知识来解答, 1在abc中，m是bc的中点，am1，点p在am上且满足2，则()等于(a)a b c. d.解析：由题知p为abc的重心，则.则()2|2.故选a.2已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|ab|a|b|，则tan x的值等于(a)a1 b1 c. d.解析：由|ab|a|b|知，ab.所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，所以tan x1.故选a.3一质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知f1，f2成120角，且f1，f2的大小分别为1和2，则有(a)af1，f3成90角 bf1，f3成150角cf2，f3成90角 df2，f3成60角4把一个函数的图象按向量a(3，2)平移后，得到的图象的解析式为ylog2(x3)2，则原来的函数解析式为ylog2x高考方向1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平面向量的数量积为联系工具解决三角函数、解析几何等问题是近几年高考命题的热点之一.2.三种题型都有可能出现，属中低档题.1(2013湖南卷)已知a，b是单位向量，ab0.若向量满足|cab|1，则|c|的取值范围是(a)a. b.c. d.解析：因为a，b是单位向量，所以|ab|，|cab|(ab)c|1，即一个模为的向量与向量c之差的模为1，在单位圆中可解得1|c|1.故选a.2(2013辽宁卷)已知点o(0，0)，a(0，b)，b(a，a3)若oab为直角三角形，则必有(c)aba3 bba3c(ba3)0 d|ba3|0解析：易知(a，a3b)，且b0，a0，若a为直角，(0，b)(a，a3b)b(a3b)0，ba30，若b为直角，(a，a3)(a，a3b)0，a2a3(a3b)0，则ba30，故(ba3)0，故选c.1如图，半圆的直径ab6，o为圆心，c为半圆上不同于a，b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则() 的最小值是(a)ab.c2d2解析：设|x, 则()22|cos 2x(3x)2，当x时，所求的最小值为.故选a.2在abc中，向量m(2cos b，1)，向量n(1sin b，1sin 2b)，且满足|mn|mn|.(1)求角b的大小；(2)求sin asin c的取值范围解析：(1)由|mn|mn|，可知mn，得mn0.而m(2cos b，1)，n(1sin b，1sin 2b)，所以有mn2cos bsin 2b1sin 2b2cos b10，得cos b，所以b60.(2)sin asin csin asin(120a)cos asin asin(a30)又0a120，则30a30150，所以sin(a30)1，所以sin asin c，即sin asin c的取值范围是.课时作业1将函数yx2的图象按向量a平移后，得到y2的图象，则(d)aa baca da2设a，b两点的坐标分别为(1，0)，(1，0)条件甲：0；条件乙：点c的坐标是方程x2y21的解，则甲是乙的(c)a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：设点c的坐标为(x，y)，0(x1)(x1)y20，0x2y21.甲是乙的充要条件故选c.3函数ytan的部分图象如图所示，则()(b)a4 b6c1 d2解析：由条件可得b(3，1)，a(2，0)，()()()221046.故选b.4平面上有四个互异的点a，b，c，d，满足()()0，则三角形abc是(b)a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d等边三角形解析：由()()0，得()()0，即()0，()()0，即220，|，故三角形abc为等腰三角形5(2013大纲全国卷)已知抛物线c：y28x与点m(2，2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a，b两点若0，则k(d)a. b. c. d2解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为xty2，与抛物线方程联立得y28ty160.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y216，y1y28t，x1x2t(y1y2)48t24，x1x2t2y1y22t(y1y2)416t216t244.(x12，y12)(x22，y22)x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)4416t2841616t416t216t44(2t1)20，解得t，所以k2.6已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是解析：由题意，得|a|b|1，ab0.又(ac)(bc)0，所以|c|2c(ab)|c|ab|cos ，其中是c与ab的夹角，所以|c|ab|cos cos ，又0，所以|c|的最大值是.7给出下列命题：向量a，b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30；“ab 0”是“a，b的夹角为锐角”的充要条件；将函数y|x1|的图象按向量a(1，0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y|x|；若()0，则abc为等腰三角形以上命题正确的是(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于，取特值零向量，则结论错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念，结论正确；对于，取特值夹角为0，则结论错误，正确命题应为“ab0”是“a，b的夹角为锐角”的必要条件；对于，注意按向量平移的意义，就是图象向左平移1个单位长度，结论正确；对于，可得|，结论正确8(2013郑州一模)向量a(2，0)，b(x，y)，若b与ba的夹角等于，则|b|的最大值为4解析：如图，设a(2，0)，b(x，y)，则ba，b与ba的夹角为，即oba30，再设|a，|x，在oab中，根据余弦定理有：22a2x22axcos ，整理得：x2axa240，由(a)24(a24)0，得：a216，所以0a4.所以|b|的最大值为4.9在abc中，角a为锐角，记角a，b，c所对的边分别为a，b，c，设向量m(cos a，sin a)，n(cos a，sin a)，且m与n的夹角为.(1)计算mn的值并求角a的大小；(2)若a，c，求abc的面积s.解析：(1)|m|1，|n|1，mn|m|n|cos .mncos2asin2acos 2a，cos2a.0a，02a，2a，a，(2)方法一a，c，a，及a2b2c22bccos a，7b233b，即b1(舍去)或b4.故sbcsin a.方法二a，c，a，及，sin c.ac，0c，cos c，sin bsin(ac)sincos csin c，b4.故sbcsin a.10过抛物线x24y上不同两点a，b分别作抛物线的切线相交于点p(x0，y0)，0.(1)求y0；(2)求证：直线ab恒过定点；(3)设(2)中直线ab恒过定点为f，若()20恒成立，求的值(1)解析：设a，b(x1x2)由x24y得y，所以kpa，kpb，因为0，所以，所以kpakpb1，即x1x24.设直线pa的方程为y(xx1)