高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版.doc

2016届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版一、选择题1.（2014烟台高三模拟）用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是( )a.2k2 b.2k3c.2k1 d.(2k2)(2k3)【解析】当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)，故选d.【答案】d2.（2012安庆模拟）由数学归纳法证明不等式+（n2,nn）的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了（）a.1项b.k项c.2k-1项d.2k项【解析】当n=k，左边=，当n=k+1时，左边=，故增加了项选c.【答案】c3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()a若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立c若f(7)k2成立d若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立【解析】对于a，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故a错误对于b，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故b错误对于c，没有奠基部分，即没有f(8)82，故c错误对于d，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立，故选d.【答案】d4一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去则第n个图共挖去小正方形 ( )a(8n1)个 b(8n1)个c.(8n1)个 d. (8n1)个【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去18个，第3个图挖去1882个第n个图挖去18828n1个【答案】c5.下列代数式(其中kn*)能被9整除的是 （）a.6+67kb.2+7k-1c.2（2+7k+1)d.3（2+7k）【解析】 （1）当k=1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.(2)假设当k=n(nn*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何kn*都成立.【答案】d6.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nn*都成立,则a、b、c的值为 （）a.a=,b=c=b.a=b=c=c.a=0,b=c=d.不存在这样的a、b、c【解析】 等式对一切nn*均成立,n=1，2，3时等式成立，即 整理得解得a=12,b=c=.【答案】a二、填空题7.已知f(n)=1+(nn*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k+1)-f(2k)= .【解析】 f(2k+1)=1+，f（2k）=1+，f(2k+1)-f(2k)=+.【答案】+8如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：abc是边长为1的正三角形，曲线ca1、a1a2，a2a3是分别以a、b、c为圆心，ac、ba1、ca2为半径画的圆弧，曲线ca1a2a3称为螺旋线旋转一圈然后又以a为圆心，aa3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为.【解析】由条件知ca1，a1a2，a2a3，an1an对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，故弧长依次为，2，3，据题意，第一圈长度为 (123)，第二圈长度为 (456)，第n圈长度为(3n2)(3n1)3n，故ln (1233n)(3n2n).【答案】(3n2n)9.在各项为正数的数列an中，数列的前n项和sn满足sn=,则a3=,猜想数列an的通项公式为 .【解析】 由sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.【答案】-10.已知当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2,当n=2时，有（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，当n=3时，有（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4 ，当nn*时，你能得到的结论是 .【答案】(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1bn+1三、解答题11.考察：1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)猜想第n个等式并用数学归纳法给出证明【解析】 由已知各等式知：第n个等式是：.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，故等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即有：.则当n=k+1时，故当n=k+1时，等式也成立由（1）（2）知：对于任意的nn*等式都成立，即猜想正确12(2013扬州模拟)已知在正项数列an中，对于一切的nn*均有anan+1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论【解析】(1)证明:由anan1，得an1an.因为在数列an中，an0，所以an10.所以an0.所以0an1.故数列an中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0an1，即a1.那么a2a1，由此猜想：an，下面用数学归纳法证明：当n1时，显然成立；当nk时(k2，kn)时，假设猜想正确，即ak，那么ak1ak-故当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nn*，都有an.13.数列an各项均为正数，sn为其前n项的和，对于nn*，总有an，sn，a2n成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项的和为tn，数列tn的前n项的和为rn，求证：当n2时，rn-1=n(tn-1).（3）设an为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式ana对一切nn*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】 （1）由已知有2sn=an+a2n.当n2时，2sn-1=an-1+a2n-1,2sn=an+a2n,两式想减有：2an=an-an-1+a2n-a2n-1,即an-an-1=1.又当n=1时，2a1=a1+a21a1=1,所以an=n.(2)由（1）得tn=1+，rn=t1+t2+t3+tn.当n=2时，rn-1=r1=t1=1，2（t2-1）=1，故当n=2时命题成立.假设n=k时成立，即rk-1=k（tk-1），则当n=k+1时，rk=rk-1+tk