高二上数学知识点总结.doc

第1章 不等式不等式的概念和性质基本知识： 1不等式的定义：用不等号“,”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。2两个实数的大小：用作差运算定义： 用作商运算定义： 3不等式的性质： 不等号不改变方向的： （对称性） （传递性） （不等量加等量）（同向不等式相加）（注意：异向不等式不能相加！）（异向不等式相减）（注意：同向不等式不能相减！） （不等量乘正量）； （不等量除正量） （同向不等式相乘）（注意：异向不等式不能相乘！） （异向不等式相除）（注意：同向不等式不能相除！） （不等式的乘方） （不等式的开方）不等号要改变方向的： （不等量乘负量）； （不等量除负量）（不等量取倒数）均值不等式基本知识：1均值不等式1：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 2均值不等式2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明： 即： 当且仅当时 3变式：，（）（当且仅当时取“=”）4均方方均不等式：5推广：（不作要求） （1） 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证（2）推论：如果，那么（当且仅当时取“=” ）（3）若，则（当且仅当时取“=”）6不等式链：若，则（调和平均数几何平均数算术平均数加权平均数）7 柯西不等式（特例）：柯西不等式二维形式(a2+b2)(c2+ d2)(ac+bd)2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 扩展:（(a1)2;+(a2)2;+(a3)2;+.+(an)2;)(b1)2;+(b2)2;+(b3)2;+.(bn)2;)(a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn)2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,n） 三角形式 (a2+b2)+(c2+d2)(a-c)2+(b-d)2 注：“”表示平方根， 向量形式 |，=(a1,a,an)，=(b1,b,bn)（nN，n2） 等号成立条件：为零向量，或=（R）。 一般形式 (（ai2;)(bi2;) (aibi)2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn，或ai、bi均为零。 上述不等式等同于图片中的不等式。 推广形式 (x1+y1+)(x2+y2+)(xn+yn)(x)(1/n)+(y)(1/n)+n 注：“x”表示x1，x2，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和） 编辑本段柯西不等式的证明二维形式的证明(a2+b2)(c2+d2)（a,b,c,dR) =a2c2 +b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2 +2abcd+b2d2+a2d22abcd+b2c2 =(ac+bd)2+(adbc)2 (ac+bd)2，等号在且仅在adbc=0即ad=bc时成立。 三角形式的证明(a2+b2)+(c2+d2)(a-c)2+(b-d)2 证明： (a2+b2)+(c2+d2)2=a2+b2+c2+d2+2*(a2+b2)*(c2+d2) a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘 a2+b2+c2+d2-2（a*c+b*d） =a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 =(a-c)2+(b-d)2 两边开根号即得 (a2+b2)+(c2+d2)(a-c)2+(b-d)2 一般形式的证明求证：(ai2)(bi2) (aibi)2 证明： 等式左边=(ai2bj2+aj2bi2)+. 共n2 /2项 等式右边=（aibi）(ajbj)+(ajbj)(aibi)+.共n2 /2项 用均值不等式容易证明 等式左边等式右边 得证 向量形式的证明令m=(a1, a2, , an)，n=(b1, b2, , bn) mn=a1b1+a2b2+anbn=|m|n|cos=(a12+a22+an2) (b12+b22+bn2) cos cos1 a1b1+a2b2+anbn(a12+a22+an2) (b12+b22+bn2) 注：“”表示平方根。 注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。 8绝对值不等式：定 理 ； 三角不等式 (a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”)推论1：.推论2： 不等式的证明基本知识：证明不等式时，常用的基本方法是比较法、综合法、分析法。1比较法：（1）求差比较法：（2）求商比较法：2综合法：由已证不等式和不等式性质推证结论。3分析法：从结论出发，分析使这个不等式成立的充分条件，若这些充分条件均具备，则可判定欲证的不等式成立。4反证法：（正难则反）反设结论；推出矛盾；肯定回答。5换元法：常见类型（最常见的）若，若若若若若则设若.若若.6放缩法：适当放缩，适应结论7判别式法：根据已知（或构造）的一元二次方程的根、一元二次不等式的解集、二次函数的最值等性质确定其判别式应满足的条件，从而得证。8最值法：； 9导数法、添项法、几何法、构造函数法（略）不等式的解法除已讲的一元一次不等式、一元二次不等式、简单高次不等式、分式不等式的解法外，掌握无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。基本知识：1 无理不等式：2 指数不等式：3 对数不等式： 含绝对值的不等式的解法基本知识：1实数的绝对值的意义（前面已讲，此略）2和差的绝对值与绝对值的和差的关系： 定 理 ； 三角不等式 (a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”) 推 论 1 . 推 论 2 3含绝对值的不等式的解法 ； ； 综合应用：1一元二次不等式的有解问题、恒成立问题。2一元二次的有解无解问题。3二次函数的最值问题。4多面体和旋转体的面积、体积的最值问题。5点、线、面之间的位置关系问题。6三角式的最值问题。 等等。第二章 解析几何直线的方程基本知识：1直线方程与方程的直线（略）2直线的倾角：直线与轴正向所成的最小正角。3直线倾角与斜率： 关系： (90) 表示： 当时，当时， pai+arctank范围：； 对比： 4直线方程的形式： 点斜式：；斜截式：； 两点式：； 截距式：； 一般式：（不同时为0） 特殊的直线方程： 垂直于轴且横截距为的直线方程是，轴的方程是 垂直于轴且横截距为的直线方程是，轴的方程是5特殊形式和一般形式之间的关系： 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。6直线方程的一般求法： 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。 待定系数法：设方程、求系数、定答案。两直线的位置关系基本知识：1 点与直线的位置：点到直线的距离：点到直线的距离：两平行直线和间的距离：2两直线的平行与垂直：直线位置关系：设直线和分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：， .两线平行：且； 两线垂直：；3两直线所成的角：； 4两直线的交点： 设直线，则 （1） 无 解. （2）有唯一解. （3）有无穷解.或5巧设直线方程：过两点的任意直线：；过点的直线：或；与直线平行的直线：或（）与直线垂直的直线：或（）过直线与的直线：（不表后直线）；简单的线性规划基本知识： 1平面区域的判断 设直线若A0,则表示右半平面区域；则表示左半平面区域.（同正右方，否则左方）若B0,则表示上半平面区域；则表示下半平面区域. （同正上方，否则下方）2线性规划 线性约束条件:对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等式； 目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y的解析式Z=f (x,y)称 线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y的一次式时 线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题 可行解：满足约束条件的解(x,y) 可行域：由所有可行解构成的集合 最优解：使目标函数取得最值的解 整点的求法： 目标函数的斜率为正、为负时的区别：曲线与方程基本知识：1曲线的方程，方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C（看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1） 曲线C上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）（2） 方程的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）2若曲线C的方程是，则点在曲线C上=0.3求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为（）. （2）写出适合条件的点的集合（可据情省略）（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）圆的方程基本知识：1圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）2圆的方程： 圆的标准方程：，圆心在C（），半径为 圆的一般方程：，A化为标准方程 B圆心坐标为（），半径C方程表示圆 圆的参数方程A圆的参数方程为B圆的参数方程为2点、直线、圆的位置关系： 点在圆内、上、外； 直线与圆相离、切、交； 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交；3巧设与圆有关的方程：若直线，圆：圆：，圆：（圆、均存在） 过直线和圆交点的圆系方程为： 过圆和圆交点的圆系方程为：（不含）过圆和圆交点的直线（公共弦）方程为：第三章 圆锥曲线椭 圆基本知识： 椭圆的一般式： 定义1平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆.2平面内与一定点的距离和一定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是椭圆。（下设是椭圆上任一点）图 形 相 同 点1 长2，短轴长2b，关系,；2离心率 ；3 椭圆面积；4. 通径端点坐标，通径长=；两准线间的距离；5弦长；6在椭圆内在椭圆外7若过焦点的弦两端点为A、B，则； 8；9在焦点中，；。10焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相内切，焦点弦为直径的圆与相应准线相离。11椭圆上不同三点对同一焦点的三条焦半径成等差数列或12若焦点弦P、Q两端点在相应准线上的射影为、，则是锐角。不同点方程焦点左：F1（c，0） 右：F2（c，0）下：F1（0，c） 上：F2（0，c）顶点左：(-,0)，右(,0)，上：(0,b)，下(0,-b)左：(-b,0)，右：(b,0)，上：(0,)，下：(0,-)准线左：，右:下：，上：焦半径,参数方程 （是参数）（是参数）双曲线基本知识：双 曲 线（一般式：）定义1.平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线.2.平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是双曲线。图 形相 同 点1实轴长2a，虚轴长2b，关系，；2离心率 ；3弦长公式、通径端点坐标、通径长公式、两准线间距离公式同椭圆；4.焦点弦为直径的圆与相应准线相交。5过焦点的弦两端点为A、B，若则；6在焦点中，；不同点方程焦点左：F1（c，0） 右：F2（c，0）下：F1（0，c） 上：F2（0，c）顶点左：(,0) ， 右：（）下：(0, )， 上：（0，）准线左：，右：下：，上：焦半径,渐进线求法：代入公式求得令，得求法：代入公式求得 令，得巧设1同渐进线的双曲线方程设为：或2同渐进线的双曲线方程设为：或3同渐进线的双曲线方程设为：4等轴双曲线方程设为：5与椭圆有公共焦点的圆锥曲线设为：抛物线基本知识： （一）定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的动点（即比值为离心率）的轨迹叫做抛物线 （二）相同点：1.越大的开口越大；没有渐进线；开口向右时，通径坐标，通径长=；弦长公式同椭圆；直线和抛物线只有一个交点时，不一定相切；