高考数学一轮复习 题库大全专题强化训练（六） 文.doc

专项强化训练(六)概率与统计的综合问题1.(2015沈阳模拟)某校高二年级在数学必修模块考试后随机抽取40名学生的成绩,按成绩共分为五组:第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100),得到的频率直方图如图所示,同时规定成绩在90分以上(含90分)的记为a级,成绩小于90分的记为b级.(1)如果用分层抽样的方法从成绩为a和b的学生中共选出10人,求成绩为a和b的学生各选出几人.(2)已知a是在(1)中选出的成绩为b的学生中的一个,若从选出的成绩为b的学生中选出2人参加某问卷调查,求a被选中的概率.【解析】(1)依题意,成绩为a级的学生人数是40(0.04+0.02)5=12(人),成绩为b级的学生人数是40-12=28(人),因为分层抽样的抽取比例为1040=14,故成绩为a级的学生抽取出1214=3(人),成绩为b级的学生抽取出2814=7(人).(2)将(1)中选取的成绩为b级的学生记作:a,b,c,d,e,f,g.则从这7人中选取2人的基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg共21个.其中含a的基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,ag共6个.记事件a=“学生a被选中”,则其概率p(a)=621=27.2.(2015邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整.(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据:p(k2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式:k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人,x+230=415,x=6.常喝不常喝总计肥胖628不肥胖41822总计102030(2)由已知数据可求得:k=30(618-24)210208228.5237.879,因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为a,b,c,d,女生为e,f,则任取两人有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种.其中一男一女有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df.故抽出一男一女的概率是p=815.3.(2015西安模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.【解析】(1)总车辆数n=500+130+100+150+120=1000.赔付金额0,1000,2000,3000,4000大于投保金额2800元有:3000,4000元,分别对应车辆数为150,120.所以赔付金额大于投保金额2800元的概率p=150+1201 000=27100=0.27.(2)新司机总人数m=100010100=100(人),赔付金额为4000元的新司机为12020100=24(人),所以在投保中,赔付金额为4000元的新司机所占概率p=24100=0.24.所以新司机获赔金额为4000元的概率为0.24.4.空气质量指数pm2.5(单位:g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,代表空气污染越严重:pm2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2013年3月8日至4月6日(30天)对空气质量指数pm2.5进行检测,获得数据后整理得到如图条形图:(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率.(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.【解析】(1)从空气质量条形图可知:这月30天中,空气质量为二级(即空气质量为良)的天数为16天,所以该城市一个月内空气质量类别为良的概率为1630=815.(2)样本中空气质量级别为三级的有4天,设其编号为a,b,c,d;样本级别为四级的有2天,设其编号为e,f.则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有:(a,e),(b,e),(c,e),(d,e),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f)共9个,所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为915=35.5.2014年春节期间,高速公路车辆剧增.高管局测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查,将它们的车速(km/h)分成六段80,85),85,90),90,95),95,100),100,105),105,110)后得到如图的频率分布直方图.(1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这40辆车车速的中位数.(2)从车速在80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在85,90)的车辆数为0的概率.【解析】(1)测控中心在采样中,用到的是系统抽样方法.设中位数的估计值为x,则0.015+0.025+0.045+0.06(x-95)=0.5,解得x=97.5,即中位数的估计值为97.5.(2)从图中可知,车速在80,85)的车辆数为m1=0.01540=2(辆),分别记为b1,b2;车速在85,90)的车辆数为m2=0.02540=4(辆),分别记为a1,a2,a3,a4,从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情况:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2).抽出的2辆车中车速在85,90)的车辆数为0的只有(b1,b2)一种,故所求的概率p=115.6.已知函数f(x)=ax+4x.(1)从区间(-2,2)内任取一个实数a,记“函数y=f(x)-2在区间(0,+)上有两个不同的零点”为事件a,求事件a发生的概率.(2)若连续掷两次正方体骰子得到的点数分别为a和b,记“f(x)b2在x(0,+)上恒成立”为事件b,求事件b发生的概率.【解析】(1)因为函数y=f(x)-2在区间(0,+)上有两个不同的零点,所以f(x)-2=0,即ax2-2x+4=0有两个不同的正根x1和x2.所以解得:0a0,x0,所以f(x)2ax4