高考数学一轮复习 题组层级快练57（含解析）.doc

题组层级快练(五十七)(第二次作业)1(2015皖南十校联考)把边长为2的正方形abcd沿对角线bd折起，使得平面abd平面cbd，则异面直线ad，bc所成的角为()a120b30c90 d60答案d解析建立如图所示的空间直角坐标系，则a(，0,0)，b(0，0)，c(0,0，)，d(0，0)，(，0)，(0，)|2，|2，2.cos，.异面直线ad，bc所成的角为60.2(2015湖北黄冈中学模拟)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案b解析由题意设棱长为2，如图所示，a1在底面abc内的射影为abc的中心d，连接ad，则da.由勾股定理得a1d.过b1作b1e底面abc于点e，连接ae，则b1e.如图作a1sab于中点s，易得a1s，所以ab12，所以ab1与底面abc所成角的正弦值sinb1ae.3(2015湖南长沙一模)正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为_答案解析以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a1(0,0,1)，e(1,0，)，f(，1,0)，d1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点f到平面a1d1e的距离为d.4(2015河南洛阳模拟)如图(1)所示，在abc中，bc3，ac6，c90，且debc，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dcd，如图(2)所示(1)求证：bc平面a1dc；(2)若cd2，求be与平面a1bc所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：dead，debc，bcad，bca1d.又bccd，a1dcdd，bc平面a1dc.(2)以d为原点，分别以，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系dxyz.在直角梯形cdeb中，过e作efbc，垂足为f，则ef2，bf1，bc3.b(3,0，2)，e(2,0,0)，c(0,0，2)，a1(0,4,0)(1,0,2)，(0,4,2)，(3,4,2)设平面a1bc的法向量为m(x，y，z)，则解得令y1，则m(0,1，2)设be与平面a1bc所成角为，则sin.5(2014河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd是正方形，pdab2，e为pc中点(1)求证：de平面pcb；(2)求点c到平面deb的距离；(3)求二面角ebdp的余弦值答案(1)略(2)(3)解析(1)证明：pd平面abcd，pdbc.又正方形abcd中，cdbc，pdcdd，bc平面pcd.de平面pcd，bcde.pdcd，e是pc的中点，depc.又pcbcc，de平面pcb.(2)如图所示，过点c作cmbe于点m，由(1)知平面deb平面pcb，平面deb平面pcbbe，cm平面deb.线段cm的长度就是点c到平面deb的距离pdabcd2，pdc90，pc2，ec，bc2.be.cm.(3)以点d为坐标原点，分别以直线da，dc，dp为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0)，p(0,0,2)，b(2,2,0)，e(0,1,1)，(2,2,0)，(0,1,1)设平面bde的法向量为n1(x，y，z)，则令z1，得y1，x1.平面bde的一个法向量为n1(1，1,1)又c(0,2,0)，a(2,0,0)，(2,2,0)，且ac平面pdb，平面pdb的一个法向量为n2(1，1,0)设二面角ebdp的平面角为，则cos.二面角ebdp的余弦值为.6(2014石家庄质检)四棱锥abcde的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，f为ac的中点，当点m在棱ad上移动时，是否总有bfcm，请说明理由；(2)若平面abc与平面ade所成的锐二面角为45.求直线ad与平面abe所成角的正弦值答案(1)总有bfcm(2)解析(1)由俯视图可知平面abc平面ebcd.bc2，o为bc中点，be1，cd2.abc为等边三角形，f为ac中点，bfac.又平面abc平面ebcd，且dcbc，dc平面abc，dcbf.又accdc，bf平面acd.bfcm.(2)以o为原点，为x轴，为z轴建系b(1,0,0)，c(1,0,0)，e(1,1,0)，d(1,2,0)设a(0,0，a)，由题意可知平面abc的法向量为(0,1,0)设平面ade法向量n(x，y，z)(2,1,0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)，解得a.(1,2，)，(0,1,0)，(1，1，)设平面abe的法向量为m(x1，y1，z1)，令z11，m(，0,1)设ad与平面abe所成角为，则有sin|cos，m|.直线ad与平面abe所成角的正弦值为.7(2014浙江理)如图所示，在四棱锥abcde中，平面abc平面bcde，cdebed90，abcd2，debe1，ac.(1)证明：de平面acd；(2)求二面角bade的大小答案(1)略(2)解析(1)在直角梯形bcde中，由debe1，cd2，得bdbc.由ac，ab2，得ab2ac2bc2，即acbc.又平面abc平面bcde，从而ac平面bcde.所以acde.又dedc，且acdcc，从而de平面acd.(2)方法一：作bfad，与ad交于点f.过点f作fgde，与ae交于点g，连接bg.由(1)知dead，则fgad.所以bfg是二面角bade的平面角在直角梯形bcde中，由cd2bc2bd2，得bdbc.又平面abc平面bcde，得bd平面abc，从而bdab.由于ac平面bcde，得accd.在rtacd中，由dc2，ac，得ad.在rtaed中，由ed1，ad，得ae.在rtabd中，由bd，ab2，ad，得bf，afad.从而gf.在abe，abg中，利用余弦定理分别可得cosbae，bg.在bfg中，cosbfg.所以bfg，即二面角bade的大小是.方法二：以d为原点，分别以射线de，dc为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：d(0,0,0)，e(1,0,0)，c(0,2,0)，a(0,2，)，b(1,1,0)设平面ade的法向量为m(x1，y1，z1)，平面abd的法向量为n(x2，y2，z2)可算得(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)由得可取m(0,1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角bade的大小是.8.如图所示，在三棱锥pabc中，pa底面abc，paab，abc60，bca90，点d，e分别在棱pb，pc上，且debc.(1)求证：bc平面pac；(2)当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成的角的余弦值；(3)是否存在点e使得二面角adep为直二面角？并说明理由答案(1)略(2)(3)存在点e解析方法一：(1)pa底面abc，pabc.又bca90，acbc，bc平面pac.(2)d为pb的中点，debc，debc.又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角pa底面abc，paab.又paab，abp为等腰直角三角形adab.在rtabc中，abc60.bcab.rtade中，sindae.cosdae.(3)debc，又由(1)知，bc平面pac，de平面pac.又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe.aep为二面角adep的平面角pa底面abc，paac，pac90.在棱pc上存在一点e，使得aepc.这时，aep90.故存在点e使得二面角adep是直二面角方法二：如图所示，以a为原点建立空间直角坐标系axyz.设paa，由已知可得a(0,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，p(0,0，a)(1)(0,0，a)，(a,0,0)，0，bcap.又bca90，bcac.又apaca，bc平面pac.(2)d为pb的中点，debc，e为pc的中点d(a，a，a)，e(0，a，a)又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosdae.(3)同方法一1空间四点a，b，c，d中，每两点所连线的长都等于a，动点p在线段ab上，动点q在线段cd上，则p与q的最短距离为()a.ab.ac.a da答案b解析易知，以a，b，c，d为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，如右图所示，取p，q分别为ab，cd的中点，因为aqbqa，所以pqab.同理可证pqcd，故线段pq的长为p，q两点间的最短距离在rtapq中，pqa.故应选b.2在直角坐标系中，a(2,3)，b(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则ab的长度为()a. b2c3 d4答案b解析设a，b在x轴上的射影分别为c，d，则ac3，bd2，cd5，又，所夹的角为60，易求得|2.3如图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e，f分别是cc1，ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于()a. b.c. d.答案b解析本题考查空间向量的运算设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，o(1,1,0)，e(0,2,1)，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.4.如图所示，已知点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小答案(1)45(2)30解析如图所示，以d为原点，da为单位长度建立空间直角坐标系dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，得|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)abcdabcd为正方体，cd平面ad.为平面ad的一个法向量，(0，1,0)又(，1)，cos，.dp与平面aadd所成角为30.5如图所示，在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，adab，ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点(1)证明：efa1d1；ba1平面b1c1ef；(2)求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：因为c1b1a1d1，c1b1平面add1a1，所以c1b1平面a1d1da.又因为平面b1c1ef平面a1d1daef，所以c1b1ef，所以a1d1ef.因为bb1平面a1b1c1d1，所以bb1b1c1.又因为b1c1b1a1，所以b1c1平面abb1a1.所以b1c1ba1.在矩形abb1a1中，f是aa1的中点，tana1b1ftanaa1b，即a1b1faa1b，故ba1b1f.又因为b1c1b1fb1，所以ba1平面b1c1ef.(2)设ba1与b1f交点为h，连接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef，所以bc1h是bc1与面b1c1ef所成的角在矩形aa1b1b中，ab，aa12，得bh.在直角bhc1中，bc12，bh，得sinbc1h.所以bc1与平面b1c1ef所成角的正弦值是.6(2013新课标全国理)如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值答案(1)略(2)解析(1)连接ac1，交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab，得acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.7(2014辽宁理)如图，abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120，e，f分别为ac，dc的中点(1)求证：efbc；(2)求二面角ebfc的正弦值解析(1)方法一：如图(1)，过e作eobc，垂足为o，连接of.由题意得abcdbc，可证出eocfoc.所以eocfoc，即fobc.又eobc，eofoo，因此bc平面efo.又ef平面efo，所以efbc.方法二：由题意，以b为坐标原点，在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴，bc所在直线为y轴，在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，易得b(0,0,0)，a(0，1，)，d(，1,0)，c(0,2,0)，因而e，f，所以，(0,2,0)