工程数学(本)春模拟试题(一).pdf

1 工程数学 本 工程数学 本 2014 春模拟试题 一 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 春模拟试题 一 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 下列命题中不正确的是 D A A 与 A 有相同的特征多项式 B 若 是 A 的特征值 则OXAI 的非零解向量必是 A 对应于 的 特征向量 C 若 0 是 A 的一个特征值 则OAX 必有非零解 D A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 2 设 A B 都是n阶矩阵 则下列等式中正确的是 C A BAAB B BAAB C 11 1 ABABD 11 1 BABA 3 设 A B 是两个随机事件 下列命题中不正确的是 B A ABPBPAPBAP B BPAPABP C 1 APAP D BP ABP BAP 4 设袋中有 6 只红球 4 只白球 从其中不放回地任取两次 每次取 1 只 则两次都取到红球的概率是 A A 3 1 B 25 9 C 5 3 D 10 3 5 对于单个正态总体总体 2 NX 2 已知时 关于均值 的假设检 验应采用 B A t 检验法B U 检验法C 2 检验法D F 检验 法 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 6 若 3 阶方阵 423 010 201 A 则 AA20 7 设 A为 n 阶方阵 若存在数 和非零n 维向量X 使得AXX 则称数 为 A的特征值 X为 A相应于特征值 的特征向量 8 设1 Ar 那么 3 元齐次线性方程组 AX O 的一个基础解系中含有2 个解向量 9 设随机变量 5 02 0 101 a X 则 a0 3 10 设X为随机变量 已知2 XD 那么 23 XD18 三 计算题 每小题 16 分 共 64 分 三 计算题 每小题 16 分 共 64 分 2 11 设矩阵 012 411 210 A 321 024 345 B 求BA 1 解 利用初等行变换可得 120830 001210 010411 100012 010411 001210 2 1 1 2 3 100 124010 112001 123200 001210 011201 因此 2 1 1 2 3 124 112 1 A BA 1 321 024 345 2 1 1 2 3 124 112 654 151413 987 12 为何值时 下列方程组有解 有解时求出其全部解 321 321 321 432 22 13 xxx xxx xxx 解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1000 3210 4501 2210 3210 1311 432 2121 1311 由阶梯阵可知 当01 即1 时 方程组有解 此时 由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为 32 45 32 31 xx xx 其中 3 x 为自由元 令0 3 x 得方程组的一个特解 034 0 X 不计最后一列 令 x3 1 得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1 125 于是 方程组的通解为 3 10 kXXX 其中 k 是任意常数 13 设 4 3 NX 试求 1 95 XP 2 7 XP 已知 8413 0 1 9987 0 3 9772 0 2 解 1 3 2 3 1 2 39 2 3 2 35 95 X P X PXP 1574 0 8413 0 9987 0 1 3 2 2 37 2 3 7 X PXP 2 2 3 1 2 2 3 X P X P 0228 0 9772 01 2 1 14 设某种零件长度X服从正态分布 25 2 N 今从中任取 100 个零件抽 检 测得平均长度为 84 5 cm 试求此零件长度总体均值的置信度为 0 95 的置信 区间 u0 975196 解 由于已知 2 故选取样本函数 U x n N 0 1 零件长度总体均值的置信度为 0 95 的置信区间 16 16 975 0 975 0 uxux 由已知 100 5 1 5 84 nx 96 1 975 0 u 于是可得 206 84 100 5 1 96 1 5 84 975 0 n ux 794 84 100 5 1 96 1 5 84 975 0 n ux 因 此 零 件 长 度 总 体 均 值 的 置 信 度 为 0 95 的 置 信 区 间 794 845 206 84 四 证明题 本题 6 分 四 证明题 本题 6 分 15 设 A B 是 n 阶对称矩阵 试证 A B 也是对称矩阵 证明 因为BBAA 由矩阵的运算性质可得 BABABA 所以 A B 也是对称矩阵 证毕 工程数学 本 工程数学 本 2014 春模拟试题 二 春模拟试题 二 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 一 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 设BA 为n阶矩阵 则下列等式成立的是 A 4 A BAAB B BABA C 111 BABAD 111 BAAB 2 方程组 331 232 121 axx axx axx 相容的充分必要条件是 B 其中0 i a 3 2 1 i A 0 321 aaaB 0 321 aaa C 0 321 aaaD 0 321 aaa 3 设矩阵 11 11 A的特征值为 0 2 则 3A 的特征值为 D A 0 2B 2 6 C 0 0D 0 6 4 若事件A与B互斥 则下列等式中正确的是 A A P ABP AP B B P BP A 1 C P AP A B D P ABP A P B 5 设 n xxx 21 是来自正态总体 1 5 N的样本 则检验假设5 0 H采用统计量 U C A 5 5 x B 5 1 5 x C n x 1 5 D 1 5 x 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 设 2 2 112 112 214 Ax x 则0A 的根是1 1 2 2 2 设 4 元线性方程组 AX B 有解且 r A 1 那么 AX B 的相应齐次方程组的基础解 系含有3个解向量 3 设A B 互不相容 且P A 0 则P B A 0 4 设随机变量 X B n p 则 E X np 5 若样本 n xxx 21 来自总体 1 0 NX 且 n i i x n x 1 1 则 x 1 0 n N 三 计算题 每小题 16 分 共 64 分 三 计算题 每小题 16 分 共 64 分 5 1 设矩阵 100 111 101 A 求 1 AA 解 由矩阵乘法和转置运算得 100111111 111010132 101011122 AA 利用初等行变换得 111100 132010 122001 111100 021110 011101 100201 001112 011101 100201 011101 001112 100201 010011 001112 即 1 201 011 112 AA 2 求下列线性方程组的通解 1234 1234 1234 24535 36525 48151115 xxxx xxxx xxxx 解解利用初等行变换 将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵 即 24535 36525 481511 15 24535 12010 00555 12010 00555 00555 12010 00111 00000 方程组的一般解为 124 34 2 1 xxx xx 其中 2 x 4 x是自由未知量 令0 42 xx 得方程组的一个特解 0 0 0 1 0 X 方程组的导出组的一般解为 124 34 2xxx xx 其中 2 x 4 x是自由未知量 6 令1 2 x 0 4 x 得导出组的解向量 1 2 1 0 0 X 令0 2 x 1 4 x 得导出组的解向量 2 1 01 1 X 所以方程组的通解为 22110 XkXkXX 12 0 0 1 0 2 1 0 0 1 01 1 kk 其中 1 k 2 k是任意实数 3 设随机变量 X N 3 4 求 1 P 1 X 7 2 使 P X a 0 9 成立的 常数 a 已知8413 0 0 1 9 0 28 1 9773 0 0 2 解 1 P 1 X 7 2 37 2 3 2 31 X P 2 2 3 1 X P 1 2 0 9773 0 8413 1 0 8186 2 因为 P X a 2 3 2 3 aX P 2 3 a 0 9 所以28 1 2 3 a a 3 28 1 2 5 56 4 从正态总体 N 4 中抽取容量为 625 的样本 计算样本均值得x 2 5 求 的 置信度为 99 的置信区间 已知576 2 995 0 u 解 已知2 n 625 且 n x u 1 0 N 因为x 2 5