中考数学考点总动员系列 专题43 直角三角形.doc

专题43 直角三角形聚焦考点温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有hl定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“hl”）四、互逆命题、互逆定理1.互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )a4,5,6b1.5,2，2.5c2,3,4d1， ，3【答案】b考点：勾股定理的逆定理【举一反三】（舟山一中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）a3、4、5 b2、3、4 c1、2、3 d4、5、6【答案】a【解析】试题分析：选项a，32+52=25=52；选项b， 22+32=42；选项c， 12+2232；选项d， 42+5262根据勾股定理的逆定理可得只有选项a能够成直角三角形，故答案选a考点：勾股定理的逆定理考点典例二、直角三角形的性质【例2】如图，在rtabc中，d，e为斜边ab上的两个点，且bd=bc，ae=ac，则dce的大小为 【答案】45考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.方程思想的应用【举一反三】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是( )a120 b90 c60 d30【答案】d【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30故选d考点：直角三角形两锐角的关系.考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例3】如图，在rtabc中，acb=90，点d是ab的中点，且cd=，如果rtabc的面积为1，则它的周长为（）a b c d【答案】d考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】（2015.山东枣庄，第15题，4分）如图，abc中，cdab于d，e是ac的中点，若ad=6，de=5，则cd=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为cdab，所以adc是直角三角形，e为ac的中点，所以ac=2de=10，由勾股定理可得ad=8.考点：直角三角形的性质考点典例四、命题【例3】下列命题中，是真命题的是( )a等腰三角形都相似 b等边三角形都相似 c锐角三角形都相似 d直角三角形都相似【答案】b【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60，从而都相似. 故选b考点：1. 命题和定理；2.相似三角形的判定；3. 等边三角形的性质.【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解【举一反三】下列命题错误的是（）a所有的实数都可用数轴上的点表示b等角的补角相等c无理数包括正无理数，0，负无理数d两点之间，线段最短【答案】【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对a进行判断；根据补角的定义对b进行判断；根据无理数的分类对c进行判断；根据线段公理对d进行判断考点：命题与定理课时作业能力提升一、选择题1. (2015.北京市，第6题，3分)如图，公路ac，bc互相垂直，公路ab的中点m与点c被湖隔开，若测得am的长为1.2km，则m、c两点间的距离为( )a0.5kmb.0.6km c.0.9kmd.1.2km【答案】d【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得mc=1.2km故选d考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2. （2015湖北黄冈，6题，3分）如图，在abc 中，c=rt，b=30，边ab 的垂直平分线de 交ab 于点e，交bc 于点d，cd=3，则bc 的长为（ ）a6 b c9 d【答案】c考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质3.（2015辽宁大连）如图，在abc中，c=90，ac=2，点d在bc上，adc=2b，ad=，则bc的长为（ ）a.-1 b.+1 c.-1 d.+1【答案】d【解析】试题分析：在adc中，c=90，ac=2，所以cd=，因为adc=2b，adc=b+bad，所以b=bad，所以bd=ad=，所以bc=+1，故选d.考点：解直角三角形.4.（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点a处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）a13cmbcmccmdcm【答案】a【解析】试题分析：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点a处，ad=5cm，bd=123+ae=12cm，将容器侧面展开，作a关于ef的对称点a，连接ab，则ab即为最短距离，ab=13（cm）故选a考点：平面展开-最短路径问题5.（2015眉山）如图，在rtabc中，b=900，a=300，de垂直平分斜边ac，交ab于d，e是垂足，连接cd若bd=l，则ac的长是（ ）a b2 c d4【答案】a【解析】试题分析：在rtabc中，b=90，a=30，acb=60，de垂直平分斜边ac，ad=cd，acd=a=30，dcb=6030=30，在rtdbc中，b=90，dcb=30，bd=1，cd=2bd=2，由勾股定理得：bc=，在rtabc中，b=90，a=30，bc=，ac=2bc=，故选a考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质；3勾股定理6.（2015乐山）如图，已知abc的三个顶点均在格点上，则cosa的值为（）a b c d【答案】d考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4网格型二、填空题7.（2015成都）如图，在平行四边形abcd中，ab=，ad=4，将平行四边形abcd沿ae翻折后，点b恰好与点c重合，则折痕ae的长为_【答案】3【解析】试题分析：点b恰好与点c重合，且四边形abcd是平行四边形，根据翻折的性质， 则aebc，be=ce=2，在rtabe中，由勾股定理得故答案为：3考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3平行四边形的性质8.（2015内江）在abc中，b=30，ab=12，ac=6，则bc= 【答案】考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理9.如图，在rtabc中，abc=90，ab=3，ac=5，点e在bc上，将abc沿ae折叠，使点b落在ac边上的点b处，则be的长为 【答案】【解析】试题分析：在rtabc中，abc=90，ab=3，ac=5，.由折叠的性质得：be=be，ab=ab，设be=x，则be=x，ce=4x，bc=acab=acab=2，在rtbec中，be2+bc2=ec2，即x2+22=（4x）2，解得：x=be的长为考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）bd为等腰abc的腰ac上的高，bd=1，tanabd=，则cd的长为 【答案】或或【解析】试题分析：分三种情况：如图1，a为钝角，ab=ac，在rtabd中，bd=1，tanabd=，ad=，ab=2，ac=2，cd=，如图2，a为锐角，ab=ac，在rtabd中，bd=1，tanabd=，ad=，ab=2，ac=2，cd=，如图3，ba=bc，bdac，ad=cd，在rtabd中，bd=1，tanabd=，ad=，cd=，综上所述；cd的长为：或或，故答案为：或或考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理11.如图，在rtabc中，b=90，ab=3，bc=4，将abc折叠，使点b恰好落在边ac上，与点b重合，ae为折痕，则eb= 【答案】1.5.考点：翻折变换（折叠问题）12.如图，直线mn，rtabc的顶点a在直线n上，c=90，若1=25，2=70.则b= 【答案】45.【解析】试题分析：mn，2=70，ban=70.1=25，bac=45.c=90，b=45. 考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.（2015湖北黄冈，14题，3分）在abc 中，ab=13cm，ac=20cm，bc 边上的高为12cm，则abc 的面积为_【答案】126或66【解析】试题分析：当b为锐角时（如图1），在rtabd中，bd=5cm，在rtadc中，cd=16cm，bc=21，sabc=bcad=2112=126cm2；当b为钝角时（如图2），在rtabd中，bd=5cm，在rtadc中，cd=16cm，bc=cdbd=165=11cm，sabc=bcad=1112=66cm2，故答案为：126或66考点：1勾股定理；2分类讨论三、解答题14.如图，将abc放在每个小正方形的边长为1的网格中，点a、b、c均落在格点上. （1）计算的值等于 ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以ab为一边的矩形，使矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明） . 【答案】（1）11；（2）作图如下，分别以ac、bc、ab为一边作正方形aced，正方形bcnm，正方形abhf；延长de交mn于点q，连接qc，平移qc至ag，bp位置，直线gp分别交af，bh于点t，s，则四边形abst即为所求【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算：.（2）首先分别以ac、bc、ab为一边作正方形aced，正方形bcnm，正方形abhf；进而得出答案考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理15.（1）问题发现如图1，acb和dce均为等边三角形，点a、d、e在同一直线上，连接be.填空：aeb的度数为 ； 线段ad 和be之间的数量关系是 .（2）拓展探究如图2，acb和dce均为等腰直角三角形，acb=dce=900, 点a、d、e在同一直线上，cm为dce中de边上的高，连接be. 请判断aeb的度数及线段cm、ae、be之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，在正方形abcd中，cd=. 若点p满足pd=1，且bpd=900，请直接写出点a到bp的距离.【答案】（1）60；ad=be；（2）aeb900；ae=2cm+be，理由见解析；（3）或.（2）同（1）可证acdbce，再由等腰直角三角形的性质可得结论aeb900；ae=2cm+be.（3）pd =1，bpd=900， bp是以点d为圆心、以1为半径的od的切线，点p为切点第一种情况：如图，过点a作ap的垂线，交bp于点p/，可证apdap/b，pd=p/b=1，cd=，bd=2，bp=. am=pp/=(pb-bp/)=.第二种情况如图，可得am=pp/=(pb+bp/)=.试题解析：（1）60；ad=be. （2）aeb900；ae=2cm+be. 理由如下：acb和dce均为等腰直角三角形，acb =dce= 900，ac=bc，cd=ce， acb=dcb=dcedcb，即acd=bce.acdbce（sas）. ad = be, bec=adc=1350.aeb=becced=1350450=900 在等