初中数学一轮复习 方程与函数篇 第九节 二次函数导学练.doc

二次函数学习目标：1.能用表格.表达式.图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题选择适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2.会作二次函数的图像并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验；3.能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向.对称轴及顶点坐标；4.二次函数与三角形之间的综合应用；5.二次函数与四边形之间的综合应用；6.二次函数的综合训练。复习反馈：1.二次函数的概念一般地，如果 ,那么y叫x的二次函数。2.二次函数的三种形式（1）抛物线对称轴是直线x=_,顶点坐标是_，开口方向_.（2）抛物线的顶点坐标为(-1,-5)，则抛物线对称轴_，h=_,k=_,这个二次函数化为一般式为_.（3）抛物线与x轴交点坐标为_，可直接求出抛物线的对称轴是_，这个抛物线与y轴的交点坐标为_。3.二次函数图像的性质二次函数的图像开口方向_，对称轴为_，有最_值为_，在对称轴的左侧,y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_。合作探究：考点1 二次函数的概念例题1：（2015宁德 第15题 4分）二次函数y=x24x3的顶点坐标是（2，7）考点：二次函数的性质分析：先把y=x24x3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x2）27，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标解答：解：y=x24x3=x24x+47=（x2）27，二次函数y=x24x+7的顶点坐标为（2，7）故答案为（2，7）点评：本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键考点2二次函数的图像与性质例题2：（2015，广西柳州，11，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（2，0）和（4，0）两点，当函数值y0时，自变量x的取值范围是（）a x2b2x4cx0dx4考点：抛物线与x轴的交点分析：利用当函数值y0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可解答：解：如图所示：当函数值y0时，自变量x的取值范围是：2x4故选：b点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键考点3 二次函数的开口方向.对称轴及顶点坐标例题3：（2015，广西玉林，12，3分）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（，m）（m0），则有（）a a=b+2kba=b2kckb0dak0考点：二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征专题：计算题分析：把（，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（，），再把（，）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论解答：解：y=ax2+bx图象的顶点（，m），=，即b=a，m=，顶点（，），把x=，y=代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，a0，ak0，故选d点评：本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键考点4二次函数的平移变换例题4：（2015福建龙岩15，3分）抛物线y=2x24x+3绕坐标原点旋转180所得的抛物线的解析式是y=2x24x3考点：二次函数图象与几何变换分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案解答：解：将y=2x24x+3化为顶点式，得y=2（x1）2+1，抛物线y=2x24x+3绕坐标原点旋转180所得的抛物线的解析式是y=2（x+1）21，化为一般式，得y=2x24x3，故答案为：y=2x24x3点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质考点5二次函数的系数关系例题5：（2015齐齐哈尔,第9题3分）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点a在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：4acb20；2ab=0；a+b+c0；点m（x1，y1）、n（x2，y2）在抛物线上，若x1x2，则y1y2，其中正确结论的个数是（） a 1个 b 2个 c 3个 d 4个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断解答： 解：函数与x轴有两个交点，则b24ac0，即4acb20，故正确；函数的对称轴是x=1，即=1，则b=2a，2ab=0，故正确；当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c0，则正确；则y1和y2的大小无法判断，则错误故选c点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子考点6二次函数与三角形例题6：（2015福建 第24题 12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为a（1，1）的抛物线经过点b（5，3），且与x轴交于c，d两点（点c在点d的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点o到直线ab的距离；（3）点m在第二象限内的抛物线上，点n在x轴上，且mnd=oab，当dmn与oab相似时，请你直接写出点m的坐标考点：二次函数综合题.分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得oa2、ob2、ab2的长，根据勾股定理的逆定理，可得oab的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程，根据相似三角形的性质，可得方程，根据解方程组，可得m点的坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）21，将b点坐标代入函数解析式，得（51）2a1=3，解得a=故抛物线的解析式为y=（x1）21；（2）由勾股定理，得oa2=11+12=2，ob2=52+32=34，ab2=（51）2+（3+1）2=32，oa2+ab2=ob2，oab=90，o到直线ab的距离是oa=；（3）设m（a，b），n（a，0）当y=0时，（x1）21=0，解得x1=3，x2=1，d（3，0），dn=3a当mndoab时，=，即=，化简，得4b=a3 m在抛物线上，得b=（a1）21 联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=2，b=，m1（2，），当mndbao时，=，即=，化简，得b=124a ，联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=17，b=124（17）=80，m2（17，80）综上所述：当dmn与oab相似时，点m的坐标（2，），（17，80）点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏考点7二次函数与四边形例题7：（2015甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c，经过a（0，4），b（x1，0），c（x2，0）三点，且|x2x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点d，使得四边形bdce是以bc为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点p，使得四边形bpoh是以ob为对角线的菱形？若存在，求出点p的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）把a（0，4）代入可求c，运用两根关系及|x2x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的d点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形bpoh是以ob为对角线的菱形，可得ph垂直平分ob，求出ob的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段ob的长度关系，判断是否为正方形即可解答： 解：（1）抛物线y=x2+bx+c，经过点a（0，4），c=4又由题意可知，x1、x2是方程x2+bx4=0的两个根，x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2x1）2=25又（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=b224b224=25解得b=，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=（2）四边形bdce是以bc为对角线的菱形，根据菱形的性质，点d必在抛物线的对称轴上，又y=x2x4=（x+）2+，抛物线的顶点（，）即为所求的点d（3）四边形bpoh是以ob为对角线的菱形，点b的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点p必是直线x=3与抛物线y=x2x4的交点，当x=3时，y=（3）2（3）4=4，在抛物线上存在一点p（3，4），使得四边形bpoh为菱形四边形bpoh不能成为正方形，因为如果四边形bpoh为正方形，点p的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上点评： 本题考查了抛物线解析式的求法考点8二次函数的综合应用例题8：（2015辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）25607590所付的金额（元）125300300360（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用分析：（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得605=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则9050.8=360元；（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（3）利用最大利润=y（x4），进而利用配方法求出函数最值即可解答：解：（1）由题意知：当蔬菜批发量为60千克时：605=300（元），当蔬菜批发量为90千克时：9050.8=360（元）故答案为：300，360；（2）设该一次函数解析式为y=kx+b（k0），把点（5，90），（6，60）代入，得，解得故该一次函数解析式为：y=30x+240；（3）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，w=（30x+240）（x50.8）=30（x6）2+120，当x=6时，当日可获得利润最大，最大利润为120元点评：此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键形成提升：1，（2015天津,第12题3分）（2015天津）已知抛物线y=x2+x+6与x轴交于点a，点b，与y轴交于点c若d为ab的中点，则cd的长为（）abcd2。（2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第11题3分）二次函数y=（x+2）21的图象大致为（）abc3. （2015贵州省贵阳,第10题3分）已知二次函数y=x2+2x+3，当x2时，y的取值范围是（）ay3by3cy3dy34. （2015贵州省黔东南州,第10题4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）a 1个b2个c3个d4个5. （2015黑龙江省大庆,第9题3分）已知二次函数y=a（x2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x12|x22|，则下列表达式正确的是（）a y1+y20 b y1y20 c a（y1y2）0 d a（y1+y2）06. （2015辽宁省盘锦,第8题3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a0）图象的一部分，对称轴是直线x=2关于下列结论：ab0；b24ac0；9a3b+c0；b4a=0；方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=4，其中正确的结论有（）abcd7. （2015辽宁省朝阳,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m8. （2015福建 第22题 10分）已知二次函数y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标9. （2015宁德 第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，o是坐标原点，点a的坐标是（1，0），点c的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线bc的函数表达式和abc的度数；（3）p为线段bc上一点，连接ac，ap，若acb=pab，求点p的坐标10. （2015辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于a（3，0），b（1，0）两点与y轴交于点c，点d与点c关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式，并直接写出点d的坐标；（2）如图1，点p从点a出发，以每秒1个单位长度的速度沿ab匀速运动，到达点b时停止运动以ap为边作等边apq（点q在x轴上方），设点p在运动过程中，apq与四边形aocd重叠部分的面积为s，点p的运动时间为t秒，求s与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接ac，在第二象限内存在点m，使得以m、o、a为顶点的三角形与aoc相似请直接写出所有符合条件的点m坐标【归纳总结】【形成提升参考答案】1，（2015天津,第12题3分）（2015天津）已知抛物线y=x2+x+6与x轴交于点a，点b，与y轴交于点c若d为ab的中点，则cd的长为（）abcd考点：抛物线与x轴的交点分析：令y=0，则x2+x+6=0，由此得到a、b两点坐标，由d为ab的中点，知od的长，x=0时，y=6，所以oc=6，根据勾股定理求出cd即可解答：解：令y=0，则x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=3a、b两点坐标分别为（12，0）（3，0）d为ab的中点，d（4.5，0），od=4.5，当x=0时，y=6，oc=6，cd=故选：d点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出ab中点d的坐标是解决问题的关键2。（2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第11题3分）二次函数y=（x+2）21的图象大致为（）abc考点：二次函数的图象分析：根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可解答：解：a=10，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=2，顶点坐标为（2，1）故选：d点评：本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键3. （2015贵州省贵阳,第10题3分）已知二次函数y=x2+2x+3，当x2时，y的取值范围是（）ay3by3cy3dy3考点：二次函数的性质分析：先求出x=2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可解答：解：当x=2时，y=4+4+3=3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，当x1时，y随x的增大而减小，当x2时，y的取值范围是y3，故选b点评：本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用4. （2015贵州省黔东南州,第10题4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）a 1个b2个c3个d4个考点：二次函数图象与系数的关系分析：首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y0，可得a+b+c0；再根据图象开口向下，可得a0，图象的对称轴为x=，可得，b0，所以b=3a，ab；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得0，所以b24ac0，4acb20，据此解答即可解答：解：二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是x=，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb20，正确；综上，可得正确结论有3个：故选：c点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）5. （2015黑龙江省大庆,第9题3分）已知二次函数y=a（x2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x12|x22|，则下列表达式正确的是（）a y1+y20 b y1y20 c a（y1y2）0 d a（y1+y2）0考点： 二次函数图象上点的坐标特征分析： 分a0和a0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解解答： 解：a0时，二次函数图象开口向上，|x12|x22|，y1y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1y2）0，a0时，二次函数图象开口向下，|x12|x22|，y1y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1y2）0，综上所述，表达式正确的是a（y1y2）0故选c点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论6. （2015辽宁省盘锦,第8题3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a0）图象的一部分，对称轴是直线x=2关于下列结论：ab0；b24ac0；9a3b+c0；b4a=0；方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=4，其中正确的结论有（）abcd考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：抛物线开口向下，a0，=2，b=4a，ab0，错误，正确，抛物线与x轴交于4，0处两点，b24ac0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=4，正确，当a=3时y0，即9a3b+c0，错误，故正确的有故选：b点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用7. （2015辽宁省朝阳,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m考点：二次函数的应用分析：首先由题意得：t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值，然后再利用函数解析式计算出h的最大值即可解答：解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.64，解得：a=4.9，函数关系为h=4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案为：19.6点评：此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式8. （2015福建 第22题 10分）已知二次函数y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质.分析：（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到=22+4m0于是得到m1；（2）把点a（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，求得b（0，3），得到直线ab的解析式为：y=x+3，把对称轴方程x=1，直线y=x+3即可得到结果解答：解：（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，=22+4m0，m1；（2）二次函数的图象过点a（3，0），0=9+6+mm=3，二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，令x=0，则y=3，b（0，3），设直线ab的解析式为：y=kx+b，解得：，直线ab的解析式为：y=x+3，抛物线y=x2+2x+3，的对称轴为：x=1，把x=1代入y=x+3得y=2，p（1，2）点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线ab的交点即为点p的坐标是解题的关键9. （2015宁德 第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，o是坐标原点，点a的坐标是（1，0），点c的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线bc的函数表达式和abc的度数；（3）p为线段bc上一点，连接ac，ap，若acb=pab，求点p的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）直接将a，c点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出b点坐标，进而利用待定系数法求出直线bc的解析式，进而利用co，bo的长求出abc的度数；（3）利用acb=pab，结合相似三角形的判定与性质得出bp的长，进而得出p点坐标解答：解：（1）将点a的坐标（1，0），点c的坐标（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）得：0=x22x3，解得：x1=1，x2=3，故b点坐标为：（3，0），设直线bc的解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线bc的解析式为：y=x3，b（3，0），c（0，3），bo=oc=3，abc=45；（3）过点p作pdx轴于点d，acb=pab，abc=pba，abpcba，=，bo=oc=3，bc=3，a（1，0），b（3，0），ab=4，=，解得：bp=，由题意可得：pdoc，则bdpboc，故=，则=，解得：dp=bd=，do=，则p（，）点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出abpcba是解题关键10. （2015辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于a（3，0），b（1，0）两点与y轴交于点c，点d与点c关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式，并直接写出点d的坐标；（2）如图1，点p从点a出发，以每秒1个单位长度的速度沿ab匀速运动，到达点b时停止运动以ap为边作等边apq（点q在x轴上方），设点p在运动过程中，apq与四边形aocd重叠部分的面积为s，点p的运动时间为t秒，求s与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接ac，在第二象限内存在点m，使得以m、o、a为顶点的三角形与aoc相似请直接写出所有符合条件的点m坐标考点：二次函数综合题分析：（1）直接代入求得函数解析式即可，由点d与c对称求得点