初中数学一轮复习 几何与变换篇 第三节 特殊三角形导学练.doc

特殊三角形学习目标：1. 掌握等腰三角形的性质与判定；2.了解线段垂直平分线性质与判定；3. 掌握等边三角形的性质与判定；4. 掌握直角三角形的性质与判定；5.熟练把握特殊三角形的性质与判定并能综合运用。复习反馈：1.等腰三角形定义与性质：（1）定义：如果等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为_；（2）等腰三角形的_相等（简称“等边对等角”）；（3） 等腰三角形的三线合一的性质：如图31，在abc中，若ad平分bac交bc于点d，则ad_bc，bd_cd；若d为bc的中点（即bd=cd），则ad_bc，bad_cad；若adbc于d，则bd_cd,bad=cad；（3）对称性：等腰三角形的对称轴是_;2.等腰三角形的判定：（1）两边相等的三角形是_；（2）两角相等的三角形是_，简称“_”.3.线段的垂直平分线：（1）概念：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线；（2）作法及性质：如图32，在直线a上找一点p，使p到点a、点b的距离相等；（3）判定：根据定义；如图33，若ca=cb，da=db，则直线cd是线段ab的_；4.等边三角形的性质与判定：（1）性质：等边三角形的三个内角都=_，三边_,同样具有“三线合一”的性质；（2）判定：三角相等的三角形是_，三边相等三角形是_，有一个内角为_的腰三角形是_；5.直角三角形的性质：（1）直角三角形两内角_; (2) 在abc中，若acb=90，且a=30，则bc=_ab；(3) 在rtabc中，若acb=90，且d为ab的中点，则dc=_ab=ad=db；6.直角三角形的判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）两个内角_的三角形是直角三角形；（3）在abc中，d为ab的中点，若满足dc=_ab,则abc为rt；合作探究：考点1 等腰三角形的性质与判定的应用（2015丹东，第6题3分）如图，在abc中，ab=ac，a=30，e为bc延长线上一点，abc与ace的平分线相交于点d，则d的度数为（） a 15 b 17.5 c 20 d 22.5考点： 等腰三角形的性质分析： 先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据三角形外角性质得1+2=3+4+a，1=3+d，则21=23+a，利用等式的性质得到d=a，然后把a的度数代入计算即可解答： 解：abc的平分线与ace的平分线交于点d，1=2，3=4，ace=a+abc，即1+2=3+4+a，21=23+a，1=3+d，d=a=30=15故选a点评： 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180和三角形外角性质进行分析考点2 线段垂直平分线（2015湖北, 第7题3分）如图，在abc中，b=30，bc的垂直平分线交ab于点e，垂足为d，ce平分acb若be=2，则ae的长为（） a b 1 c d 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出be=ce=2，故可得出b=dce=30，再由角平分线定义得出acb=2dce=60，ace=dce=30，利用三角形内角和定理求出a=180bacb=90，然后在rtcae中根据30角所对的直角边等于斜边的一半得出ae=ce=1解答： 解：在abc中，b=30，bc的垂直平分线交ab于e，be=2，be=ce=2，b=dce=30，ce平分acb，acb=2dce=60，ace=dce=30，a=180bacb=90在rtcae中，a=90，ace=30，ce=2，ae=ce=1故选b点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出a=90是解答此题的关键考点3等边三角形的性质与判定的应用（2015青海西宁第20题2分）如图，abc是边长为1的等边三角形，bd为ac边上的高，将abc折叠，使点b与点d重合，折痕ef交bd于点d1，再将bef折叠，使点b于点d1重合，折痕gh交bd1于点d2，依次折叠，则bdn=考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质.专题：规律型分析：根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果解答：解：abc是边长为1的等边三角形，bd为ac边上的高，bd=，bef是边长为等边三角形，bd1=，bd2=，bdn=，故答案为：点评：本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键考点4直角三角形的性质、判定的运用（2013潍坊，9，3分）一渔船在海岛a南偏东20方向的b处遇险，测得海岛a与b的距离为20海里，渔船将险情报告给位于a处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛c靠近同时，从a处出发的救援船沿南偏西10方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛c处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）a海里/小时 b 30海里/小时 c海里/小时 d海里/小时答案：d考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理考点5特殊三角形性质与判定的综合运用（2015营口，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角abc中分别以ab、ac为边向外作等腰abe和等腰acd，使ae=ab，ad=ac，bae=cad，连接bd，ce，试猜想bd与ce的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形abcd中，ab=7cm，bc=3cm，abc=acd=adc=45，求bd的长（3）如图3，在（2）的条件下，当acd在线段ac的左侧时，求bd的长考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析： （1）首先根据等式的性质证明eac=bad，则根据sas即可证明eacbad，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在abc的外部，以a为直角顶点作等腰直角bae，使bae=90，ae=ab，连接ea、eb、ec，证明eacbad，证明bd=ce，然后在直角三角形bce中利用勾股定理即可求解；（3）在线段ac的右侧过点a作aeab于点a，交bc的延长线于点e，证明eacbad，证明bd=ce，即可求解解答： 解：（1）bd=ce理由是：bae=cad，bae+bac=cad+bac，即eac=bad，在eac和bad中，eacbad，bd=ce；（2）如图2，在abc的外部，以a为直角顶点作等腰直角bae，使bae=90，ae=ab，连接ea、eb、ecacd=adc=45，ac=ad，cad=90，bae+bac=cad+bac，即eac=bad，在eac和bad中，eacbad，bd=ceae=ab=7，be=7，aec=aeb=45，又abc=45，abc+abe=45+45=90，ec=，bd=ce=（3）如图3，在线段ac的右侧过点a作aeab于点a，交bc的延长线于点e，连接beaeab，bae=90，又abc=45，e=abc=45，ae=ab=7，be=7，又acd=adc=45，bae=dac=90，baebac=dacbac，即eac=bad在eac和bad中，eacbad，bd=ce，bc=3，bd=ce=73（cm）点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键形成提升：1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） a 11 b 16 c 17 d 16或172. (2015年陕西省,6,3分)如图，在abc中，a=36，ab=ac，bd是abc的角平分线若在边ab上截取be=bc，连接de，则图中等腰三角形共有（）a2个 b3个 c4个 d5个3. （2015四川遂宁第8题4分）如图，在abc中，ac=4cm，线段ab的垂直平分线交ac于点n，bcn的周长是7cm，则bc的长为（）a1cmb2cmc3cmd4cm4. （2015河北,第20题3分）如图，boc=9，点a在ob上，且oa=1，按下列要求画图：以a为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a1，得第1条线段aa1；再以a1为圆心，1为半径向右画弧交ob于点a2，得第2条线段a1a2；再以a2为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a3，得第3条线段a2a3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=5. (2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆oa=ob=18cm，若衣架收拢时，aob=60，如图2，则此时a，b两点之间的距离是 cm6.（2015曲靖23题10分）如图，过aob平分线上一点c作cdob交oa于点d，e是线段oc的中点，请过点e画直线分别交射线cd、ob于点m、n，探究线段od、on、dm之间的数量关系，并证明你的结论【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） a 11 b 16 c 17 d 16或17考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系专题： 分类讨论分析： 分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解解答： 解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17故选d点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论2. (2015年陕西省,6,3分)如图，在abc中，a=36，ab=ac，bd是abc的角平分线若在边ab上截取be=bc，连接de，则图中等腰三角形共有（）a2个 b3个c4个 d5个考点：等腰三角形的判定与性质分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形解答：ab=ac，abc是等腰三角形；ab=ac，a=36，abc=c=72，bd是abc的角平分线，abd=dbc=abc=36，a=abd=36，bd=ad，abd是等腰三角形；在bcd中，bdc=180dbcc=1803672=72，c=bdc=72，bd=bc，bcd是等腰三角形；be=bc，bd=be，bde是等腰三角形；bed=（18036）2=72，ade=beda=7236=36，a=ade，de=ae，ade是等腰三角形；图中的等腰三角形有5个故选d点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏3. （2015四川遂宁第8题4分）如图，在abc中，ac=4cm，线段ab的垂直平分线交ac于点n，bcn的周长是7cm，则bc的长为（）a1cmb2cmc3cmd4cm考点：线段垂直平分线的性质.分析：首先根据mn是线段ab的垂直平分线，可得an=bn，然后根据bcn的周长是7cm，以及an+nc=ac，求出bc的长为多少即可解答：解：mn是线段ab的垂直平分线，an=bn，bcn的周长是7cm，bn+nc+bc=7（cm），an+nc+bc=7（cm），an+nc=ac，ac+bc=7（cm），又ac=4cm，bc=74=3（cm）故选：c点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等4. （2015河北,第20题3分）如图，boc=9，点a在ob上，且oa=1，按下列要求画图：以a为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a1，得第1条线段aa1；再以a1为圆心，1为半径向右画弧交ob于点a2，得第2条线段a1a2；再以a2为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a3，得第3条线段a2a3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9考点： 等腰三角形的性质分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得a1ab的度数，a2a1c的度数，a3a2b的度数，a4a3c的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于90即可求解解答： 解：由题意可知：ao=a1a，a1a=a2a1，则aoa1=oa1a，a1oa2=a1a2a，boc=9，a1ab=18，a2a1c=27，a3a2b=36的度数，a4a3c=45，9n90，解得n10故答案为：9点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和5. (2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆oa=ob=18cm，若衣架收拢时，aob=60，如图2，则此时a，b两点之间的距离是 cm考点：等边三角形的判定与性质.专题：应用题分析：根据有一个角是60的等腰三角形的等边三角形进行解答即可解答：解：oa=ob，aob=60，aob是等边三角形，ab=oa=ob=18cm，故答案为：18点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60的等腰三角形的等边三角形进