普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷参考版解析）.doc

1 20162016 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数数 学 理工类 学 理工类 本试卷分为第 卷 选择题 和第 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时 120 分钟 第 卷 1 至 3 页 第 卷 4 至 6 页 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 第第 i i 卷卷 注意事项 1 每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选 涂其他答案标号 2 本卷共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 参考公式 参考公式 如果事件 a b 互斥 那么 如果事件 a b 相互独立 p a b p a p b p ab p a p b 柱体的体积公式 v 柱体 sh 锥体的体积公式 v v 1 3sh 其中 s 表示柱体的底面积其中 s 表示锥体的底面积 h 表示柱体的高 h 表示锥体的高 第 卷注意事项 本卷共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 2 3 4 32 aby yxxa 则ab a 1 b 4 c 1 3 d 1 4 2 设变量 x y 满足约束条件 20 2360 3290 xy xy xy 则目标函数 25zxy 的最小值为 a 4 b 6 c 10 d 17 3 在 abc 中 若 13ab bc 3 120c 则 ac a 1 b 2 c 3 d 4 2 4 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出 s 的值为 a 2 b 4 c 6 d 8 5 设 an 是首项为正数的等比数列 公比为 q 则 q 0 是 对任意的正整数 n a2n 1 a2n0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐 近线相交于 a b c d 四点 四边形的 abcd 的面积为 2b 则双曲线的方程为 a 22 44 3 1 yx b 22 34 4 1 yx c 2 2 2 4 1 xy b d 22 24 1 1 xy 7 已知 abc 是边长为 1 的等边三角形 点 d e 分别是边 ab bc 的中点 连接 de 并延长到点 f 使得 de 2ef 则af bc 的值为 a 5 8 b 1 8 c 1 4 d 11 8 8 已知函数 f x 2 4 0 log 1 1 3 3 0 a xaax xx x a 0 且 a 1 在 r 上单调递减 且关于 x 的方程 f x 2 x 恰好有两个不相等的实数解 则 a 的取值范围是 a 0 2 3 b 2 3 3 4 c 1 3 2 3 3 4 d 1 3 2 3 3 4 第第 iiii 卷卷 注意事项 注意事项 1 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2 2 本卷共 本卷共 1212 小题 共计小题 共计 110110 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 已知 a b r i 是虚数单位 若 1 i 1 bi a 则 a b 的值为 10 28 1 x x 的展开式中 x2的系数为 用数字作答 11 已知一个四棱锥的底面是平行四边形 该四棱锥的三视图如图所示 单位 m 则该四棱锥的体积 为 m3 3 第 11 题图 12 如图 ab 是圆的直径 弦 cd 与 ab 相交于点 e be 2ae 2 bd ed 则线段 ce 的长为 13 已知 f x 是定义在 r 上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数 a 满足 f 2 a 1 f 2 则 a 的取值范围是 14 设抛物线 2 2 2 xpt ypt t 为参数 p 0 的焦点为 f 准线为 l 过抛物线上一点 a 作 l 的垂线 垂足为 b 设 c 7 2 p 0 af 与 bc 相交于点 e 若 cf 2 af 且 ace 的面积为3 2 则 p 的值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知函数 f x 4tanxsin 2 x cos 3 x 3 求 f x 的定义域与最小正周期 讨论 f x 在区间 4 4 上的单调性 16 本小题满分 13 分 4 某小组共 10 人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为 1 2 3 的人数分别为 3 3 4 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 i 设 a 为事件 选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 求事件 a 发生的概率 ii 设x为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量x的分布列和数学期望 17 本小题满分 13 分 如图 正方形 abcd 的中心为 o 四边形 obef 为矩形 平面 obef 平面 abcd 点 g 为 ab 的中点 ab be 2 i 求证 eg 平面 adf ii 求二面角 o ef c 的正弦值 iii 设 h 为线段 af 上的点 且 ah 2 3 hf 求直线 bh 和平面 cef 所成角的正弦值 20 本小题满分 14 分 设函数 f x x 1 3 ax b x r 其中 a b r i 求 f x 的单调区间 ii 若 f x 存在极点 x0 且 f x1 f x0 其中 x1 x0 求证 x1 2x0 3 iii 设 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 0 2 上的最大值不小于 5 参考版解析 1 d 解析 1234a 14710b 14ab 选 d 2 b 解析 3 0 zmin 6 z 2x 5y 0 可行域如上图所示 则当取点 3 0 时 25zxy 取得最小值为 6 3 a 解析 设acx 由余弦定理得 2 9131 cos120 232 x x 22 43340 xxxx 1x 或4 舍 1ac 选 a 4 b 解析 第一次 8s 2n 第二次 2s 3n 第三次 4s 4n 满足3n 输出4s 5 c 解析 设数列的首项为 1 a 则 222122 212111 1 0 nnn nn aaa qa qa qq 即1q 故0q 是1q 的必要不充分条件 6 d 解析 6 x y dc ba 渐近线 2 b ob yx 设 00 2 b b xx 则 00 12 228 bb xx 0 1x 1 2 b b 2 22 12 4 b 2 12b 22 1 412 xy 7 解析 b f e d cb a bcacab afaddf 13 22 abde 13 24 abac 13 24 bc afacababac 111331 1 11 1 222442 13131 44288 选 b 8 c 解析 7 由log 1 1 a yx 在 0 上递减 则01a 又由 f x在 r 上单调递减 则 2 0 4 3 03 0 1 13 34 340 2 aaf a a 由图像可知 在 0 上 2f xx 有且仅有一个解 故在 0 上 2f xx 同样有且仅有一个解 当32a 即 2 3 a 时 联立 2 43 32xaxax 则 2 42 4 32 0aa 解得 3 4 a 或 1 舍 当32a1 时 由图像可知 符合条件 综上 123 334 a 选 c 9 2 a b 解析 11ibia 1bibia 1ba 1 2 b a 2 a b 10 56 解析 3 5 527 8 1 c56xx x 系数为 56 11 2 解析 1 2132 3 v 8 3 2 1 12 2 3 3 解析 连接 od 可得 bodbde 2 3bdbo be 3bdde aecdeb aece debe 即 1 23 ec 2 3 3 ec e c d ba 13 13 22 a 解析 由 f x是偶函数可知 0 单调递增 0 单调递减 又 1 22 a ff 22ff 可得 1 22 a 即 1 1 2 a 13 22 a 14 6p 解析 x y 满足函数 2 2ypx 0 2 p f 3cfp 3 2 abafp 可得 2a pp 易知aebfec 1 2 aeab fefc 故 111 32 332 aceacf sspp 2 2 3 2 2 p 2 6p 0p 6p 9 15 解析 4tan sincos3 23 f xxxx 13 4sincossin3 22 xxx sin23 1cos23xx sin23cos2xx 2sin 2 3 x 定义域 2 x xkk z 2 2 t 44 x 5 2 636 x 设 2 3 tx sinyt 在 5 62 t 时单调递减 在 26 t 时单调递增 5 6 2 由 5 2 632 x 解得 412 x 由 2 236 x 解得 124 x 函数 f x在 124 上单调增 在 412 上单调减 16 解析 设事件a 选 2 人参加义工活动 次数之和为 4 112 343 2 10 c cc1 c3 p a 随机变量x可能取值 0 1 2 10 222 334 2 10 ccc4 0 c15 p x 1111 3334 2 10 c cc c7 1 c15 p x 11 34 2 10 c c4 2 c15 p x x012 p 4 15 7 15 4 15 78 1 1515 e x 17 解析 证明 找到ad中点 i 连结fi 矩形obef efob g i 是中点 gi是abd 的中位线 gibd 且 1 2 gibd o是正方形abcd中心 1 2 obbd efgi 且efgi 四边形efig是平行四边形 egfi fi 面adf eg 面adf oefc 正弦值 解 如图所示建立空间直角坐标系oxyz i z y x a b c d e f g h o 020b 200c 022e 002f 设面cef的法向量 1 nxyz 11 1 1 02020 202220 nefxyzy n cfxyzxz 得 2 0 1 x y z 1 20 1n oc 面oef 面oef的法向量 2 100n 12 12 12 2 6 cos 33 1 nn nn n n 2 12 63 sin1 33 nn 2 3 ahhf 222 24 2020 5555 ahaf 设 h xyz 2 24 20 55 ahxyz 得 3 2 5 0 4 5 x y z 3 24 2 55 bh 1 2 1 64 755 cos 212 2 3 5 bh n bhn bh n 18 解析 22 11211 2 nnnnnnnn cbbaaa ad a 2 121 2 2 nnnn ccd aad 为定值 n c为等差数列 2 2 1321 1 1 n k nkn k tbccc 2 1 1 4 2 n n ncd 2 1 2 1 ncd n n 由已知 222 121231221 22 4cbba aa ad ad add 将 2 1 4cd 代入 式得 2 2 1 n td n n 12 2 11 111 2 1 nn kk k tdk k 2 1111 1 23 1 122 1 kkd 2 1 2d 得证 19 解析 f b xb yb l k a m o h 113e ofoafa 2 22 3 3 11 33 a a a aaa 解之得2a 椭圆方程为 22 1 43 xy 由已知 设l斜率为k 0 k 方程为 2 yk x 设 bb b xy 00 2 m xk x 0 1 xmoamao h h oy 22 2222 1 34 1616120 43 2 xy kxk xk yk x 0 成立 由韦达定理 2 2 1612 2 34 b k x k 2 2 86 34 b k x k 2 12 2 34 bb k yk x k 00 1 2 hm lyk xxx k 令0 x 得 0 1 2 h ykxk k hffb 1 1 0 hbb fh fbyxy 即 2 0 22 86121 1120 3434 bhb kk xy ykxk kkk 2 0 2 920 1 12 1 k x k 2 83k 6 4 k 或 6 4 k 20 13 解析 1 3 1f xxaxb 2 31fxxa 0a 单调递增 0a f x在 1 3 a 单调递增 在1 1 33 aa 单调递减 在1 3 a 单 调递增 2 由 0 0fx 得 2 0 31xa 32 0000 131f xxxxb 2 00 121xxb 32 0000 32223132fxxxxb 2 000 18896xxxb 2 00 121xxb 001 32 fxf xf x 10 23xx 3 欲证