高三数学 函数的奇偶性课件新人教A版.ppt

要点梳理1 奇函数 偶函数的概念一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 函数的奇偶性 f x f x f x f x 基础知识自主学习 2 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考查定义域是否关于 对称 2 考查表达式f x 是否等于f x 或 f x 若f x 则f x 为奇函数 若f x 则f x 为偶函数 若f x 且f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 即非奇非偶函数 原点 f x f x f x f x 3 奇 偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是偶函数 两个偶函数的和 积是 一个奇函数 一个偶函数的积是 奇函数 偶函数 奇函数 相同 相反 基础自测1 对任意实数x 下列函数为奇函数的是 a y 2x 3b y 3x2c y ln5xd y x cosx解析a为非奇非偶函数 b d为偶函数 c为奇函数 设y f x ln5x xln5 f x xln5 f x c 2 2008 全国 理 函数的图象关于 a y轴对称b 直线y x对称c 坐标原点对称d 直线y x对称解析 f x 是奇函数 f x 的图象关于原点对称 c 3 下列函数中既是奇函数 又在区间 1 1 上单调递减的函数是 a f x sinxb f x x 1 c d 解析 函数是奇函数 排除b c b中函数是非奇非偶函数 c中是偶函数 1 1 f x sinx在 1 1 上是增函数 排除a 故选d d 4 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 a b c d 解析依题意得 b 5 2008 福建理 函数f x x3 sinx 1 x r 若f a 2 则f a 的值为 a 3b 0c 1d 2解析设g x x3 sinx 很明显g x 是一个奇函数 f x g x 1 f a g a 1 2 g a 1 g a 1 f a g a 1 1 1 0 b 题型一函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性 1 2 判断函数的奇偶性 应先检查定义域是否关于原点对称 然后再比较f x 与f x 之间是否相等或相反 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 定义域关于原点对称 故原函数是奇函数 2 0且1 x 0 1 x 1 定义域关于原点不对称 故原函数是非奇非偶函数 判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 一是定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域对解决问题是有利的 二是判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 探究提高 知能迁移1判断函数f x 的奇偶性 解 2 x 2且x 0 函数f x 的定义域关于原点对称 f x f x 即函数f x 是奇函数 4 x2 0 x 3 3 题型二函数奇偶性的应用 例2 判断下面函数的奇偶性 并求函数的单调区间 求定义域 判断奇偶性 研究在 0 1 上的单调性 解所以函数f x 的定义域为 1 0 0 1 f x 的定义域关于原点对称 且对定义域内的任意x 所以f x 是奇函数 思维启迪 任取x1 x2 0 1 且设x10 即f x 在 0 1 内单调递减 由于f x 是奇函数 所以f x 在 1 0 内单调递减 f x 的单调递减区间为 1 0 和 0 1 探究提高根据函数的奇偶性 讨论函数的单调区间是常用的方法 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究 只需研究对称区间上的单调性即可 知能迁移2已知定义域为r的函数f x 是奇函数 1 求a b的值 2 若对任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 解 1 因为f x 是奇函数 所以f 0 0 2 由 1 知由上式易知f x 在 上为减函数 又因f x 是奇函数 从而不等式f t2 2t f 2t2 k 2t2 k 即对一切t r有3t2 2t k 0 从而判别式 4 12k 0 解得k 题型三抽象函数的奇偶性与单调性 例3 12分 已知函数f x 当x y r时 恒有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果x为正实数 f x 0 并且f 1 试求f x 在区间 2 6 上的最值 1 根据函数的奇偶性的定义进行证明 只需证f x f x 0 2 根据函数的单调性定义进行证明 并注意函数奇偶性的应用 思维启迪 1 证明 函数定义域为r 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令y x f 0 f x f x 令x y 0 f 0 f 0 f 0 得f 0 0 f x f x 0 得f x f x f x 为奇函数 4分 2 解方法一设x y r f x y f x f y f x y f x f y x r f x 0 f x y f x 0 f x y x f x 在 0 上是减函数 8分又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 10分 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 12分 方法二设x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即f x 在r上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 10分 f 1 f 2 f 2 2f 1 1f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 12分 探究提高 1 满足f a b f a f b 的函数 只要定义域是关于原点对称的 它就是奇函数 2 运用函数的单调性是求最值 或值域 的常用方法之一 特别对于抽象函数 更值得关注 知能迁移3函数f x 的定义域为d x x 0 且满足对于任意x1 x2 d 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明你的结论 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 解 1 对于任意x1 x2 d 有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x2 1 得f 1 2f 1 f 1 0 2 令x1 x2 1 有f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 0 令x1 1 x2 x有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 3 依题设有f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 f 3x 1 f 2x 6 3 f 3x 1 2x 6 f 64 f x 在 0 上是增函数 等价于不等式组 x的取值范围为 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简 或应用定义的等价形式 f x f x f x f x 0 1 f x 0 方法与技巧 思想方法感悟提高 3 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之也真 利用这一性质可简化一些函数图象的画法 也可以利用它去判断函数的奇偶性 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 失误与防范 2 判断函数f x 是奇函数 必须对定义域内的每一个x 均有f x f x 而不能说存在x0使f x0 f x0 对于偶函数的判断以此类推 一 选择题1 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 a b c d 解析依题意得 b 定时检测 2 若函数f x 是定义在r上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的取值范围是 a 2 b 2 c 2 2 d 2 2 解析 f x 是偶函数且在 0 上是减函数 且f 2 f 2 0 可画示意图如图所示 由图知f x 0的解集为 2 2 d 3 2009 辽宁理 9 已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足的x的取值范围是 a b c d 解析方法一当2x 1 0 即x 时 因为f x 在 0 上单调递增 故需满足当2x 1 0 即x 时 由于f x 是偶函数 故f x 在 0 上单调递减 此时需满足 方法二 f x 为偶函数 f 2x 1 f 2x 1 又 f x 在区间 0 上为增函数 不等式等价于 4 2009 陕西文 10 定义在r上的偶函数f x 对任意x1 x2 0 x1 x2 有则 a f 3 f 2 f 1 b f 1 f 2 f 3 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 1 f 2 解析对任意x1 x2 0 x1 x2 有则x2 x1与f x2 f x1 异号 因此函数f x 在 0 上是减函数 又f x 在r上是偶函数 故f 2 f 2 由于3 2 1 故有f 3 f 2 f 1 答案a 5 函数y f x 与y g x 有相同的定义域 且都不是常数函数 对定义域中任意x 有f x f x 0 g x g x 1 且x 0 g x 1 则f x a 是奇函数但不是偶函数b 是偶函数但不是奇函数c 既是奇函数又是偶函数d 既不是奇函数也不是偶函数 解析由条件知f x f x 答案b 6 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 1 2 x 则不等式f x 的解集是 a 1 b 1 c 1 d 1 解析当x 0时 1 2 x 0与题意不符 当x0 f x 1 2x 又 f x 为r上的奇函数 f x f x f x 1 2x f x 2x 1 f x 2x 1 2x x 1 不等式f x 的解集是 1 答案a 二 填空题7 已知函数y f x 为奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 解析 f x 为奇函数且f 3 f 2 1 f 2 f 3 f 3 f 2 1 1 8 设奇函数f x 的定义域为 5 5 当x 0 5 时 函数y f x 的图象如图所示 则使函数值y 0的x的取值集合为 解析由原函数是奇函数 所以y f x 在 5 5 上的图象关于坐标原点对称 由y f x 在 0 5 上的图象 得它在 5 0 上的图象 如图所示 由图象知 使函数值y 0的x的取值集合为 2 0 2 5 2 0 2 5 9 2009 山东理 16 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 解析因为定义在r上的奇函数 满足f x 4 f x 所以f 4 x f x 因此 函数图象关于直线x 2对称且f 0 0 由f x 4 f x 知f x 8 f x 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f x 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 不妨设x1 x2 x3 x4 由对称性知x1 x2 12 x3 x4 4 所以x1 x2 x3 x4 12 4 8 答案 8 三 解答题10 设函数f x x2 2 x 1 3 x 3 1 证明f x 是偶函数 2 画出这个函数的图象 3 指出函数f x 的单调区间 并说明在各个单调区间上f x 是增函数还是减函数 4 求函数的值域 1 证明 x 3 3 f x 的定义域关于原点对称 f x x 2 2 x 1 x2 2 x 1 f x 即f x f x f x 是偶函数 2 解当x 0时 f x x2 2x 1 x 1 2 2 当x 0时 f x x2 2x 1 x 1 2 2 即f x x 1 2 2 0 x 3 x 1 2 2 3 x 0 根据二次函数的作图方法 可得函数图象如图 3 解函数f x 的单调区间为 3 1 1 0 0 1 1 3 f x 在区间 3 1 和 0 1 上为减函数 在 1 0 1 3 上为增函数 4 解当x 0时 函数f x x 1 2 2的最小值为 2 最大值为f 3 2 当x 0时 函数f x x 1 2 2的最小值为 2 最大值为f 3 2 故函数f x 的值域为 2 2 11 已知f x 是r上的奇函数 且当x 0 时 f x xlg 2 x 求f x 的解析式 解 f x 是奇函数 可得f 0 f 0 f 0 0 当x 0时