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对一道数学题的研究性学习 七宝中学 授课教师 卜照泽 案例 过抛物线y2 2px p 0 焦点的一条直线和抛物线相交 两点的纵坐标为y1 y2 求证 y1y2 p2 解 案例 过抛物线y2 2px p 0 焦点的一条直线和抛物线相交 两点的纵坐标为y1 y2 求证 y1y2 p2 即 一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 两交点的纵坐标为y1 y2 若y1y2 p2 那么该直线过此抛物线的焦点吗 问题1 试问上题的逆命题是否成立 解 一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 两交点的纵坐标为y1 y2 若y1y2 p2 那么该直线过此抛物线的焦点吗 如 一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 两交点的纵坐标分别为y1 y2 若该直线过定点 c 0 c 0 那么y1y2是否为定值 问题2 上题的条件推广以后 又如何呢 解 如 一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 两交点的纵坐标分别为y1 y2 若该直线过定点 c 0 c 0 那么y1y2是否为定值 问题3 一条直线和抛物线相交 两交点的纵坐标为 若 那么该直线过定点 问题4 若一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 交于a b两点 o为坐标原点 如果 那么直线ab过定点吗 解 若一条直线和抛物线y2 2px p 0 相交 交于a b两点 o为坐标原点 如果 那么直线ab过定点吗 问题5 若一条直线和抛物线相交 交于a b两点 o为坐标原点 如果直线ab过定点 2p 0 则有成立 问题6 在抛物线y2 2px p 0 中 过顶点o作两条直线交抛物线于a b两点 且 c为定值 连a b交x轴于e点 则e点为定点 解 在抛物线y2 2px p 0 中 过顶点o作两条直线交抛物线于a b两点 且 c为定值 连a b交x轴于e点 则e点为定点 在平面直角坐标系xoy中 直线l与抛物线相交于a b两点 1 求证 如果直线l过点t 3 0 那么 是真命题 2 写出 1 命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 2006年上海高考卷第20题 问题7 若过抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 作两条直线使它们的斜率之积为定值 则另一条边所在的直线是否过定点 课后思考 在数学的领域中 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要 康托尔 数学的创作绝不是单靠推论可以得到的 首先通常是一些模糊的猜测 揣摩着可能的推广 接着下了不十分有把握的结论 然后整理想法 直到看出事实的端倪 往往还要费好大的劲儿 才能将一切付诸逻辑式的证明 这过程并不是一蹴可就的 可经过许多失败 挫折 一再地猜测 揣摩 哈尔莫斯 名人名言 在学习过程中要培养自己自觉地探究精神 如对己解决的数
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