高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题06 数列的通项公式（含解析）.doc

第六章 数列数列的通项公式【背一背重点知识】1.求数列的通项公式，要注意多观察、多试验，大胆猜想，小心论证.2.已知求的问题，要特别注意的情况.3.求数列的通项公式，常见的有六种类型：（1）已知数列的前项，求其通项公式.常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法等，根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.（2）已知数列前项和，或前项和与的关系，求通项可利用.（3）已知递推式求通项，这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.（4）型，求问题，其关键是确定待定系数，使.（5）型，求问题，可用方法.（6）型，求问题，可用方法.【讲一讲提高技能】1. 必备技能：由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等.对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求和，便可利用累加法；对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求积，便可利用累积或迭代法；对于形如“”型递推关系求通项公式，可用迭代或构造等比数列法.2. 典型例题：例1若数列的前n项和为,则数列的通项公式是=_.分析：此题难度不大，符合求数列通项公式中的第（2）种类型，要注意检验时是否也成立，否则就只能用分段函数来表示. 当时，所以，即；当时，所以，因此数列是以首项为1，公差为的等比数列，故所求数列的通项公式为.【解析】例2在数列中，若前n项和满足，则该数列的通项公式【答案】【解析】试题分析：时，当时，所以数列为等比数列，公比【练一练提升能力】1. 已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）（1）求数列和数列的通项和；（2）设，证明：【答案】（1），（2）详见解析【解析】 2. 已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用，即可求出结果；（2）因为，再利用不等式放缩，可得，再采用裂项相消即可求出结果等差数列的性质【背一背重点知识】1.若、，且，为等差数列，则.2.在等差数列中，仍为等数列，公差为.3.若为等差数列，则仍为等数列，公差为.4.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值；时为递减数列，且当时前项和有最大值.5.若等数列的前项之和可以写成，则，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.6.设分别是等数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则有当数列项数为时，有；当数列项数为时，有，.【讲一讲提高技能】1.必备技能：等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题。应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系.2.典型例题：例1在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_.分析：此题主要考查的是等差数列的性质及等差数列前项和公式，难度不大可由题意确定得到，从而得到公差的不等式组，求出的范围.【解析】由题意得：，所以，即例2设等差数列的前项和为，若，则（ ）a63 b45 c43 d27【答案】b【解析】试题分析：由题意，得，解得，则45，故选b【练一练提升能力】1. 已知，是、的等差中项，正数是、的等比中项，那么、从小到大的顺序关系是（ ）a b c d【答案】b【解析】 2. 已知，若，则的表达式为_.【答案】【解析】试题分析：，即，当且仅当时取等号当时，当时，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列当时，等比数列的性质【背一背重点知识】1.通项公式的推广：.2.对于任意正整数，只要满足，则有.3.若（项数相同），是等比数列，则仍是等比数列.4.三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为比较方便.5.为等比数列的前和，则满足，但不一定成等比数列.【讲一讲提高技能】1必备技能：等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式的下标的大小关系，可以简化题目的运算2典型例题：例1在各项均为正数的等比数列中，则等于（ ）a5 b6 c7 d8【答案】c【解析】例2已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：.分析：本题第（）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（）问，可先由第（）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.【解析】（）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（）由（）知：，所以，因为当时，所以，于是=，所以.【练一练提升能力】1. 项数为奇数的等比数列，所有奇数项的和为255，所有偶数项的和为-126，末项是192，则首项（ ）a1 b2 c3 d4【答案】c【解析】 2.设是公比为q的等比数列. () 求的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列.【答案】() 分两种情况讨论. 当时，数列是首项为的常数列，所以.当时，上面两式错位相减: . 综上,得 () 使用反证法. 设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 当，使得成立,则不是等比数列. 当，使得成立,则恒为常数当时，.这与题目条件q1矛盾. 综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q1时, 数列不是等比数列.【解析】数列求和【背一背重点知识】非等差、等比数列求和的常用方法：1.倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前前项和即是用此类法推导的2.分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和就是用此法推导的4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和【讲一讲提高技能】1必备技能：数列求和的方法：（1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和；（2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2典型例题：例1已知数列是首项为的等比数列，其前项和为，且，则数列的前5项和为 a或 b或 c d【答案】d【解析】试题分析：由可知公比 ，数列是等比数列，公比为，首项为1，所以例2若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.分析：此题主要考查等差数列的性质、前项和公式的应用，难度不大由已知，可得，进一步得到，得出结论.【解析】由等差数列的性质，又因为，所以所以，所以，故数列的前8项最大.【练一练提升能力】1.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则_.【答案】63【解析】 2. 已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列（）求数列的通项公式；（）令（），求数列的前项和【答案】（）；（）【解析】（一） 选择题（12*5=60分）1.设是等差数列的前项和，若，则（ ）a5 b7 c9 d11【答案】a【解析】试题分析：因为是等差数列，所以，故选a2.设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（）abcd【答案】d 3.等差数列中，则的前8项和为（ ）a b c d【答案】b【解析】试题分析：设等差数列的等差中项为，又所以得，所以，所以，故选b4.设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）a.若d0，则数列sn有最大项b.若数列sn有最大项，则d0c.若数列sn是递增数列，则对任意，均有d.若对任意，均有，则数列sn是递增数列【答案】c【解析】选项c显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列s n是递增数列，但是s n0不成立故选c5. 在等差数列中,，则（ ） 【答案】b【解析】设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以，.故选b. 6.设等差数列满足，；则数列的前项和中使得取的最大值的序号为（ ）a4 b5 c6 d7【答案】b【解析】 7.在等差数列中，则数列的前11项和（ ）a24 b48 c66 d132【答案】d【解析】试题分析：由已知得，化简得：，即，所以故选d8.设函数，是公差为的等差数列，则（ ）a、 b、 c、 d、【答案】d【解析】，即，而是公差为的等差数列，代入，即，不是的倍数，.，故选d.9.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （）a b c d 【答案】c【解析】 10.等差数列an中，,则数列an的公差为（）a.1 b.2 c.3 d.4【答案】b【解析】由等差中项的性质知，又.故选b.11.已知等比数列中，公比，若，则有（ ）a最小值-4 b最大值-4 c最小值12 d最大值12【答案】b【解析】试题分析：由题意，因为，所以（时取等号），所以，最大值为4故选b12.已知等差数列中，公差；是数列的前n项和，则（ ）a b c d【答案】d【解析】试题分析：因为在等差数列中，公差，所以，则，所以；故选d（