高三数学高考（理）二轮复习专题学案专题一 数学思想方法人教大纲版学案2 数形结合思想.ppt

学案2数形结合思想 1 集合及其运算 2 函数图象解决问题 3 三角函数图象及其应用 4 向量运算的有关问题 5 圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系 6 数学概念及数学表达式间的几何意义的应用 7 解析几何与立体几何问题中的数形结合 1 已知0 a 1 则方程a x logax 的实数根的个数为 a 1个b 2个c 3个d 1个或2个或3个解析在同一坐标系下 画出函数y a x y logax 的图象 则图象有两个交点 b 2 设数集m x m x m 数集n x n x n 且m n都是集合 x 0 x 1 的子集 如果把b a叫做集合 x a x b 的 长度 那么集合m n的长度的最小值为 a b c d 解析由题意知 集合m的 长度 为 集合n的 长度 为 而集合 x 0 x 1 的 长度 为1 设线段ab 1 a b可在线段ab上自由滑动 a b重叠部分的长度即为m n 如图 显然当a b各自靠近 ab两端时 重叠部分最短 其值为 答案c3 若奇函数f x 在 0 上是增函数 又f 3 0 则 x x f x 0 等于 a x x 3或 3 x 0 b x 0 x 3或x 3 c x x 3或x 3 d x 0 x 3或 3 x 0 解析由f x 为奇函数且f 3 0 得f 3 0 又f x 在 0 上是增函数 据上条件做出满足题意的y f x 草图 如图 如右图中找出f x 与x异号的部分 可以看出x f x 0的解集为 x 0 x 3或 3 x 0 答案da b c d 解析由题意在坐标系下画出 x y 1 的图象如右图阴影部分 若x 0时 y 1 此时u 0 若x 0时 变量可看成点a 0 3 与可行域内的点b连线斜率k的倒数 而k 3 3 答案b 题型一代数问题 几何化 以形助数 例1 解由题意令所以x2 2y2 16 0 x 4 0 y 其图象如右图所示 原式a x y其几何意义是直线在坐标轴上的截距 则a x y 探究拓展 在解答此类问题时 主要是通过对 数 的形式进行观察 分析 把 数 转成图形 再借助其几何意义 通过 换元 使问题得以顺利解答 变式训练1解析则3x2 y2 3 即 x 0 y 0 又a x y 所以a的几何意义是直线在x轴上的截距 其图形如图 则a 1 题型二几何问题 代数化 以数助形 例2 设m是抛物线y x2上的一点 若点m到直线l 4x 3y 8 0的距离d最小 求点m的坐标及距离d的最小值 解方法一设点m m m2 方法二设过点m平行于直线l与抛物线相切的 直线方程为4x 3y b 0 则整理得3x2 4x b 0 由题意可知 42 12b 0 方法三如图所示 若想使抛物线上的点到直线l的距离最小 只需抛物线在点m处的切线与直线l平行即可 因为直线l的斜率为 抛物线的导数为y 2x 探究拓展 在解答此类问题时 利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标 利用二次函数求最值 是解决距离问题的重要方法 而利用直线平行求距离也是常规方法 利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法 这些方法是几种不同数学思想的应用 注意体会 变式训练2设f1 f2是椭圆的两个焦点 若椭圆上存在点p 使 f1pf2 120 则椭圆的离心率e的取值范围是 a b c d 解析 选a 采用数形结合法 如图 当p与b重合时 当p与b不重合时 显然 f1pf2 故选a a 题型三 数 形 互化 相得益彰 例3 已知二次函数y f1 x 的图象以原点为顶点且过点 1 1 反比例函数y f2 x 的图象与直线y x的两个交点间距离为8 f x f1 x f2 x 1 求函数f x 的表达式 2 证明 当a 3时 关于x的方程f x f a 有三个实数解 1 解由已知 设f1 x ax2 由f1 1 1 得a 1 f1 x x2 设 k 0 它的图象与直线y x的交点分别为 由 ab 8 得k 8 2 证明方法一由f x f a 得 在同一坐标系内作出的大致图象 其中f2 x 的图象是位于第一 三象限的双曲线 f3 x 的图象是以 0 为顶点 开口向下的抛物线 因此f2 x 与f3 x 的图象在第三象限有一个交点 即f x f a 有一个负数解 又 f2 2 4 f3 2 当a 3时 f3 2 f2 2 a2 8 0 当a 3时 在第一象限f3 x 的图象上存在一点 2 f3 2 在f2 x 图象的上方 f2 x 与f3 x 的图象在第一象限有两个交点 即f x f a 有两个正数解 因此 在a 3时 方程f x f a 有三个实数解 方法二由f x f a 得即得方程的一个解x1 a 方程化为ax2 a2x 8 0 由a 3 a4 32a 0 得 a 3 x1 x2 若x1 x3 则3a2 a4 4a 得a 0或a 这与a 3矛盾 x1 x3 故原方程有三个实数解 探究拓展 在解答此类问题时 注意将方程f x g x 转化成函数 然后在同一坐标系下画出函数y f x 和y g x 的图象 通过研究函数图象交点的个数 来确定方程解的个数或函数零点的个数 变式训练3定义在r上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x 2009x log2009x 则在r上f x 0的实数根的个数是 解析因当x 0时 f x 0 即 2009x log2009x 在同一坐标系中画出函数y 2009x y log2009x的图象 如图 设图象相交于点m 即方程f x 0有一解 又f x 是定义在r上的奇函数 所以x 0是方程f x 0的解 当x 0时 方程f x 0有一解 故f x 0的实数根有3个 3 考题再现 2008 四川 已知x 3是函数f x aln 1 x x2 10 x的一个极值点 1 求a 2 求函数f x 的单调区间 3 若直线y b与函数y f x 的图象有3个交点 求b的取值范围 解题示范 1 因为所以f 3 6 10 0 因此a 16 2分 2 由 1 知f x 16ln 1 x x2 10 x x 1 3分当x 1 1 3 时 f x 0 4分当x 1 3 时 f x 0 5分所以f x 的单调增区间是 1 1 3 f x 的单调减区间是 1 3 6分 3 由 2 知 f x 在 1 1 内单调递增 在 1 3 内单调递减 在 3 内单调递增 且当x 1或x 3时 f x 0 所以f x 的极大值为f 1 16ln2 9 极小值为f 3 32ln2 21 9分所以在f x 的三个单调区间 1 1 1 3 3 上 直线y b与y f x 的图象各有一个交点 当且仅当f 3 b f 1 11分因此 b的取值范围是 32ln2 21 16ln2 9 12分 数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系 数量关系解决了几何图形的性质 数形结合思想方法的应用可分为两种情况 借助于 数 的精确性来阐明 形 的属性 借助于 形 的直观来阐明 数 之间的关系 数形结合的基本思路 根据 数 的结构特征 构造出与之相适应的几何图形 并利用图形的特征和规律 解决数的问题 或将图形信息部分或全部转换成代数信息 削弱或消除 形 的推理部分 把要解决的 形 的问题转化为数量关系的讨论 一 选择题1 不等式 x 的解集为 a x x 2或x2 c x 12时 y x 的图象恒在y 的图象的上方 b 2 已知函数f x log2 x 1 且a b c 0 则的大小关系是 a b c d 解析作出函数f x log2 x 1 的图象 如图 而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率 由图象可知 b 3 平面上的点p x y 使关于t的二次方程t2 tx y 0的根都是绝对值不超过1的实数 那么这样的点p的集合在平面内的区域形状是 解析因为方程t2 tx y 0的根都是绝对值不超过1的实数 所以画出不等式组所表示的平面区域可知 d 4 已知函数f x x2 2x 若关于x的方程f2 x bf x c 0有7个不同的实数根 则b c的大小关系是 a b cb b c或b c中至少有一个正确c b cd 不能确定解析令f x t 则f2 x bf x c 0 可化为t2 bt c 0 要使 有7个根 即f x x2 2x 与f x t有7个交点 如图 所以方 程 必有两解 而f x t中的一条直线经过f x x2 2x 折上去的顶点 故 式有一解t1 1 另一解t2 0 1 所以b t1 t2 2 1 c t1 t2 0 1 答案c 5 已知实数 则实数a的取值范围是 a b c d 解析原式可看成点p 1 3 q 两点连线的斜率 0 y 1 所以x2 y2 1 1 x 0 点q位于单位圆在第二象限的圆弧上且端点的坐标分别是b 1 0 c 0 1 kpb kpc 2 设过点p与圆弧有公共点的直线方 程为l kx y k 3 0 则 1 即k 结合图象 可得a 2 答案c 二 填空题6 已知函数f x x a x b 1 且a b 若m n是方程f x 0的两根 且m n 则实数a b m n的大小关系是 解析设函数g x x a x b 则f x g x 1 所以函数f x 的图象是把函数g x 的图象向上平移一个单位 则在同一坐标系中 作出函数g x f x 的图象如右图 由图象可知 实数a m n b a m n b 7 函数y f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点 则实数k的取值范围是 解析在坐标系中作出函数y f x 的图象 如图 因为直线y k与y f x 的图象有且仅有两个不同的交点 有图象可知 1 k 3 1 3 8 动点p a b 在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动 则的取值范围是 解析因为 而表示点 1 2 与点 a b 连线的斜率 则 2 2 所以 1 3 1 3 9 已知实数 则实数m的取值范围是 解析因为实数 所以0 a 2 又 令x a 1 则 x 1 1 所以实数m可看成点p 2 0 q x 两点连线的斜率 而点q位于圆x2 y2 1 x 1 1 y 0 上 当直线pq与半圆弧相切时 此时的斜率最小 因 oq 1 op 2 opq 30 则kpq 结合图形综上可知 m 0 0 三 解答题10 若方程lg x2 3x m lg 3 x 在x 0 3 内有唯一解 求实数m的取值范围 解原方程即为即设y1 x 2 2 x 0 3 y2 1 m 其图象如图 由图象可知 当1 m 0时 有唯一解 即m 1 当1 1 m 4时 有唯一解 即 3 m 0 综上可知 m 1或 3 m 0 11 如图 a b c为函数的图象上的三点 他们的横坐标分别是t t 2 t 4 t 1 1 设 abc的面积为s 求s f t 的解析式