调和函数梯度模长的下调和性

调和函数梯度模长的下调和性本文主要研究的是调和函数梯度模长的下调和性。具体地说，我们得到了如下结果：给定中区域上的调和函数和正整数，其中，那么是上的下调和函数，其中。1.1 概述调和函数是一类十分重要的函数。经过200多年的发展，对调和函数的研究有了丰富的研究成果。有关调和函数的理论是数学的重要内容之一并且被广泛应用到物理、计算机以及工程学等方面。在数学、数学物理以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。调和函数是一二阶连续可微函数（其中是里的一个开子集），其满足方程，即在上满足方程：上式也可记作。方程，又名调和方程、位势方程，是偏微分方程的一种。他们是为了纪念法国数家而命名的。求解方程是电磁学、天文学、热力学以及流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，这是由于方程用势函数的形式描写了流场、电场以及引力场等物理对象。1.2 储备知识1.2.1几个重要的调和函数设是欧氏空间中的一点，用表示的范数。最简单的非常数的调和函数是坐标函数，例如：。稍微更复杂一点的调和函数有在上定义。接下来是一个对调和函数研究非常重要的函数，函数表达式为， ，我们可以证明上述函数在上是调和的。 1.2.2 调和函数的性质及定理调和函数拥有许多非常好的性质，下面有它的几条比较重要的性质及定理。调和函数的和差以及数乘结果仍然是调和函数。所有调和函数都是解析的，即他们可以局部的展开成幂级数。调和函数总是无穷次可导的。如果是上的一调和函数，那么的所有偏导数也是上的调和函数。在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。收敛的调和函数列的一致极限仍是调和的。极大值定理：如果是的一个紧子集，那么在上最大值和最小值只能在上到达。如果是连通的，这个定理意味着不能达到最大值和最小值，除非它是常函数。均值定理：设球以为中心，以为半径，同时球完全在中。那么调和函数在球边界上取值的平均值等于在球内部取值的平均值。刘维尔定理：任何非负的调和函数都是常数。 第二章 非负函数的下调和性2.1 下调和函数的两个重要定理假设为欧氏空间上的一个开集，其中。中的每一个点均可表示为，对于上的任一矢量函数,我们定义的范数为,其中为的扩展实值分量。的下调和函数有以下定理：定理 A：如果在的任一子集内不恒等于0，那么是下调和函数，当且仅当是在上对所有时的下调和函数。这一定理已被Montel证明，这个定理表明当是对于任意的下调和函数时，与之相似的结论成立。我们来证明以下结论：定理1：函数是在上的对于任意的下调和函数，当且仅当是在上是下调和函数。Stein和Weiss所做的一项关于调和函数梯度的范数的最新研究给出如下定理：定理 B: 如果是在上的调和函数的梯度, 那么是在上对于任意的下调和函数。这里我们给出定理B的另一种证明方法，这种证明方法比参考文献5中给出的证明更简明。这个定理也引出了一些进一步的研究。如果我们用表示极径函数，其中为原点，那么我们有定理 2：函数是在上对于任意的下调和函数，当且仅当是在上对于任意的下调和函数。定理 3：如果是在上的调和函数，那么是在上对于任意的下调和函数。定理2和3提供了定理B的另一种替代证明，虽然此时是比较困难的。我们还给出一个新的例子来表明，定理B的结果是最佳的，即该比率不能被一个更小的数字取代。定理2也解释了这一比率的导出。实际上，在证明中将会看出，是不等式关于的共轭，而也就是在空间中下调和函数的幂，其中。2.2 定理1的证明我们从定理1的证明开始。根据的下调和性可立即推出当时的下调和性，因为是关于t的一个对于的递增凸函数（可见，Rado3）。相反地，因为在上对于任意是下调和函数，我们有并且 在上是上半连续的，这两个属性也适用于。那么接下来还需证明平均值不等式，即对于任意和所有足够小的正数有 （1）其中，并且是曲面面积的测度，是单位球面的曲面面积。如果，那么（1）式显然成立；如果不成立，那么对于所有正整数，是下调和函数，并且在满足均值不等式。除此以外，在上的最小上界达到，且，这表明在上对于所有正整数m成立。现在不等式（1）遵循控制收敛定理。我们有以下的结论：定理1推论. 如果在的任一子集内不恒等于，那么是下调和函数，或存在一个，这样当时是下调和函数，或没有正数使为下调和函数。事实上，如果的某正幂，比如是下调和函数，然后要么一切正数对于是下调和函数（这意味着，由定理A，是下调和函数），或存在一个，使得在上不是调和函数。 第二种情况中，定理1表明，使得是下调和函数的任意正数组成的集合是连通闭合的，并包含在区间，这是的一个区间。定理1有对应的下调和函数，其中被取代。这一论证遵循类似的情况，并且我们还得到一个推论，即：任何通过更换通过和替换为，的形式是根据以下事实，即如果所有的正数对于是上调和的，那么也是上调和的，由上调和函数上包络性质应用到指数函数的幂级数展开。2.3 定理B的证明在这一部分中，我们给出定理B的简短证明。这足够表明在内的点处是下调和函数，即，该拉普拉斯算子是非负的。但我们现在取一个点且。因为我们可以用一个适合的常数乘以，所以不失一般性，我们假设。此外和在旋转坐标系下是不变的。因此，我们可以取一个新的坐标系使得在的对应点，我们有，并且，对于任意其中（首先我们可以选择平行于的轴，然后通过其他轴适当的旋转，就可以对角化矩阵中较小的重要元素。）我们得到因为是调和函数，所以由不等式，这又可以转化为下面的结果表明，该比率是最佳的。定理 4：假设对于任意成立，那么是调和函数，则是在当且仅当时，在上的下调和函数。具体证明在这里不做详细叙述。2.4 定理2的证明在此，我们跳到定理2的证明，我们需要一个引理引理 1：如果 在上是下调和函数 ，其中，并且如果满足以下条件：是有限值且在上是下调和的，其中，那么在上是下调和函数。已知，且是下半连续的，所以是上半连续的。再由的上半连续性，推出的上半连续性。因此，还需证明当时均值不等式在上是否成立。利用上文定义的和，我们有，在任意点，并且通过不等式那么定理2的唯一性现在就很容易证明了。假设在任意下，是下调和函数，并且。如果，则和是下调和函数，所以也是下调和函数。定理A现在给出了的下调和性。如果，那么是上调和函数，则的下调和性由引理1证明， 并且我们假设是在上的下调和函数对任意成立。作为第一步，我们证明了的下调和性。通过验证在中的点是否必须，我们发现，是有限的且是上半连续。如果我们现在取球和一个上的点序列，其中任意都在以为原点的射线上，使得 ，那么很容易得到，由以下公式 ，得到，下调和函数的序列下降到中，由此在上的下调和性服从。为了证明对于任意的下调和性，我们重新考虑一点且。设为一正数，使得到边界的距离大于。如果是下调和函数的第三体积积分平均值，且。我们知道，是下调和的并且在是两次可微的。此外，对于任意,当趋近于，趋近于极限。因此足以证明在上对于和的下调和性。那么由下调和函数的下包络特性可得在的局部下调和性。为了证明的下调和性，同时也为了完成我们的证明，我们给出两个引理：引理 2.如果在上对任意是下调和函数，那么在上对所有且是下调和函数。因为这涉及到证明体积平均值不等式，那么可证明成立，其中是第一体积积分，由下式给出其中，是上单位球的体积。对于所有的, 利用定理，可以得出这证明了的下调和性。引理 3. 如果在上对任意是下调和函数，那么在上对任意是下调和函数。因为，足以证明，其中。如果，那么结果平凡；如果不是，取上的一点，并取从开始的射线，平行于向量，这样向量和有相反的方向，在这些条件下，有由于可以在开区间上移动，当移动到上述射线，我们首先记，然后我们得到，即，或者，这就是所需的不等式。2.5 定理3的证明最后我们来证明定理3。取，以为原点取一组坐标系。如果我们取那么函数 和在上调和，它们的模下调和，且也是下调和，而上式即为。第三章 调和函数的高阶梯度3.1 调和函数的4个重要定理让为欧氏空间，上的一个开区间，内的一点表示为，让为正整数并研究一个集合的任一元素为当被用作指数时，我们通常写作，令为上无限可微的函数我们定义为的梯度由范数 （1）注意，梯度(序号1)的范数是且当时后一个等式表明术语集合以及的另一定义的可能性对于一个函数在上下调和，我们定义（1）立即给出 （2）。在中Calder6n和Zygmund证明定理1：让为上的一个开区间，其中，让为正整数，若在上具有调和性，那么在上是下调和函数，其中在本文中，我们首先运用的轴向多项式来证明定理1，这是定义在特殊情况下（但不损失轴向多项式一般性）的证明。其中轴与轴重合。轴多项式的度(是度的独特均匀下调和函数项式，使得在围绕着轴旋转不变无论何时且例如我们需要的性质是引理A：为比大的整数，若为齐次调和次多项式，那么 （3）当时，（3）为等式；当，当且仅当与成比例时，等式成立。引理 A 是定理 5 和引理 2 的直接结论。我们现在知道正数是使定理1成立的最小正数。若,则在上无论怎样选择，至少使在上消失一次，注意当时，则选择时，使得在上既不是下调和函数也不是上调和函数。（例如：当是中原点的实数部分时）当（不包括的情况）我们首先给出一个简单反例，其中是的一个真子集。取外轴的原点，设是极半径,让函数在上有调和性，通过和（2），我们很容易推断出是一个正常数，它遵循在上不是下调和函数（因为它在上是上调和函数），这一反例并不适用于的情况，并给出了当时，可能是上调和性的。我们所需要的一般的反例给出在下面定理2：若,是轴向阶多项式则是开放锥体上的上调和函数而下调和函数是其内在的补充；是根据一个取决于的正的常数。引理A的最后部分是我们需要用来证明定理2的唯一结论。取中一点，令为以为中心的极半径（变量的函数）。当为原点时，我们令，定理1表明不仅是下调和函数，这也可以由观察得到。定理3：令为上的一个开区间，令为正整数，若在上是下调和，则在上对于所有均为下调和函数。我们注意到定理3表明在上有下调和性（由于均值不等式在内一点遵循随着趋向于无穷）定理1和定理3等效。定理4：令为上的一个开区间，令为正数，令为上的非负函数，则为上的下调和函数，对所有当且仅当在上对于所有的为下调和函数时成立。在3中，我们用一个特殊情况证明了定理4，在4中，我们通引用3中给出的技术证明了定理4，定理3 是定理1和定理4的直接结果（以）.当时，定理3 是精确的，在这个意义上的幂不可以被大于的数替换，否则，对于定理4，有对于比小的使其在上是下调和函数；当时，幂可以被任一正数替换。在此之前，无论是从定理1、4还是从其他事实，所有的都是上的周期函数模量是周期函数在一个点的邻域模量从中不同的和（当）的均值不等式在是平凡的。3.2 定理1的证明我们从定理1的证明开始，假设 （4）因此，我们关注上一点，通过 （5）和公式（2），我们推断与轴线无关，选择该梯度矢量平行于的轴。故和（4）（5）一起，得出将（2）用于和上，我们可以得出 （6）（6）右侧的大括号只取决于在级数展开的中项的度。通过定理2 和，故，因此在点的开区间上是下调和函数，在上点处，均值不等式成立且平凡。当时，调和函数遵循调和函数这完成了定理1的证明