高考数学复习 专题11 矩阵与变换考点剖析.doc

矩阵与变换主标题：矩阵与变换副标题：为学生详细的分析矩阵与变换的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量难度：3重要程度：5考点剖析：1了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.命题方向：主要考查矩阵与变换，二阶逆矩阵与二元一次方程组及求矩阵的特征值与特征向量。规律总结：1矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等2矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律3对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换4伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合5逆矩阵的求法常用待定系数法6若a，b两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(ab)1b1a1，若a，b，c为二阶矩阵且a可逆，则当abac时，有bc，即此时矩阵乘法的消去律成立7关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵a，向量，若有特征值，则，即，所以0，即2(ad)(adbc)0.8求mn，一般都是先求出矩阵m的特征值与特征向量，将写成t11t22.利用性质mnt11t22求解知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.设a是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，、1、2是任意三个实数，则a()a；a()aa；a(12)1a2a.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：性质：一般情况下，abba，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(ab)ca(bc)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵a，b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵若二阶矩阵a存在逆矩阵b，则逆矩阵是唯一的，通常记a的逆矩阵为a1，a1b.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵a(detaadbc0)，它的逆矩阵为a1.(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵a可逆，那么该方程组有唯一解1，其中a1.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得a，那么称为a的一个特征值，而称为a的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设是二阶矩阵a的一个特征值，它的一个特征向量为，则a，即满足二元一次方程组故(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记f()为矩阵a的特征多项式；方程0，即f()0称为矩阵a的特征方程(3)特征值与特征向量的计算如果是二阶矩阵a的特征值，则是特征方程f()2(ad)adbc0的一个根解这个关于的二元一次方程，得1、2，将1、2分别代入方程组(*