建立控制方程以及结果

建立控制方程2.1思路高温超导体的独特性质，使其在广泛的领域中发挥了相当大的作用。然而，要优化设计一个实用的超导系统，必须预测出超导体在不同的磁场、电场中的行为，获得相应的耦合电磁场分布、临界电流以及电磁力。多年来，研究人员已找到多个解决超导临界状态的方法。例如一种简单的分析方法针对处在均强场的简单几何模型【2,3】。而对于处在复杂电磁场并有复杂形状的模型，目前仅能利用数值方法予以解决。解二维或三维模型的Maxwell方程，采用的数值方法多为有限元法（FEM）或者有限差分法。这些方法可根据主要公式分类为：方程【4,5】，方程【6,7】以及不存在应变的方程【8】。如今有很多商业有限元建模程序包可以仿真用偏微分方程（PDE）描述的物理过程。最近，有限元软件已经能够处理高度非线性化的电流电压特征，并能很好地对相应磁场现象进行建模分析。由于最近开发出能够基于方程建模的有限元软件包，因而能够很快地设定针对满足Maxwell方程组的临界状态的求解器，并能通过设定PDE方程的边界条件和初始条件完成对磁场的定义。成熟的商业有限元软件能快速且高精度地解决复杂问题。而且商业软件的强大的后处理模块以及可视化设计大大降低了分析结果的难度。本文多采用的有限元分析软件是多物理场耦合分析软件COMSOL 3.3。本文利用FEM建模程序包，针对二维的超导体的临界状态，提出了一个普适的解决方案。这种数值方法相对灵活、拓展性强，且无需编写算法。该方案适用于现有的绝大多数商业FEM软件，并能相对简单地解析复杂模型。图52.2建立偏微分方程先将空间划分为三个子域，如图3所示， 以及分别代表超导区域、电介质区域（通常为空气）以及磁化区域。每一个子区域各由一个偏微分方程组描述。在编写偏微分方程时需注意所有偏微分方程组的有着完全相同的因变量，而且任意一个子区域的边界条件与它相邻的子区域的边界条件在它们接触的边界上相容。然后需要设置不同的磁场条件，例如均匀场或非均匀场的超导体、超导体磁体系统以及输送电流的超导导线等等，具体方法是在内部边界以及外部边界上定义合适的边界条件。考虑一条沿z轴无限长的超导导线的任意一个x-y切面，如图3所示。以磁场强度为因变量。该模型为二维模型，磁场强度方向垂直于z轴，有两个分量和，方向分别沿x轴和y轴。临界电流密度和感生电动势方向沿z轴。根据Faraday定理可得 因为有 公式（22）可转换为 根据定律可得 如果超导体为型超导体，则和常取值，。而的具体数值可以是常值，也可以由磁场决定。若的数值由磁场决定，则有 其中，和是超导体材料的固有属性，与磁场强度或磁感应强度无关。根据Ampere定律，即 可将变量和联立起来。由于仅有沿z轴的一个分量，因而Ampere在这种情形之下的形式为 将公式（29）代入公式（26）可得的另外一个形式，即 将上式代入式（24）之后，得到公式 公式（31）即为超导体子域磁场的控制方程，它包含了两个偏微分方程，两个方程均有两个因变量和。只需要合适的边界条件便可利用有限元程序予以求解。讨论非超导体的子域，空气电介质的关系与超导体的不同，需要遵守Ohm定律，即 其中是空气的电导率。将（32）代入式（26）可得 再将公式（29）代入公式（33）可得 公式（34）为空气电介质子域磁场的控制方程，与公式（31）共同构成全域磁场的控制方程。2.3 在COMSOL中构造偏微分方程尽管（31）（34）已经能够描述全域磁场，然而需要对其进行处理方能用于COMSOL软件。构造偏微分方程需要设定必要参数、全域变量、子域变量，并建立模型。在图（6）中，绿色区域为空气电介质子域，并将其命名为子域1；蓝色为超导子域，并将其命名为子域2，两者共同组成磁场全域。参数名称描述单位值1alpha超导体典型指数无21临界电流密度A/m22e7rho_air空气电阻率ohm*m1e6标准电场强度V/m1e-4a超导体宽度m0.12b超导体高度m0.04R空气包半径m0.2外界最大磁场强度A/m1e6mu0磁导率H/m4e-7*piFren交流电频率Hz5等效磁场强度A/m2e4表1图6在COMSOL中，广义偏微分方程的形式为 其中为质量系数，为阻尼/质量系数，为守恒通量，为源项。利用PDE模块解偏微分方程（31）（34），需要将它们转化为（35）的形式，因而有质量系数公式为 阻尼/质量系数公式为 守恒通量公式为 源项公式为 变量公式为 全局变量的设定有 磁化强度公式为 子域1的变量设定有 子域1的变量设定有 2.4设定边界条件建立型超导体在外部磁场的临界状态，需要使用边界条件描述不同的磁场状态。Dirichlet和Neumann边界条件能够描述大多数的电磁场状态，并且它们能在有限元软件中很容易地得以实现。讨论在均匀场的情况。导线沿z轴方向无限延伸，而均匀电磁场的电磁强度沿y轴方向。在电介质子域的外部边界（图3的边界1），可以应用Dirichlet边界条件，即 其中反映了方向沿y轴的外部磁场随时间变化规律，的具体表达式可根据实际情况设定为正弦函数、阶跃函数等。在本文中，的形式为 此时，外界磁场在x方向不存在磁场强度，在y方向以Fren的频率以正弦曲线的形式随时间变化。超导子域与电介质子域之间的边界状态是连续的，即 2.5在comsol中设定边界条件在COMSOL中需要分别设定零通量、初始值以及Dirchlet边界条件。如图（7），将外边界根据象限划分为边界1、2、3和4，超导体子域边界顺时针划分为边界5、6、7和8。85764132图7零通量设定用于边界1,、2、3、4，定义方程为 初始值设定用于全域，初始值设定公式如下 Dirichlet边界条件设定在边界1、2、3、4上。Dirichlet边界条件形式为 边界条件设定为 2.6磁化强度公式模型在y轴方向的磁化强度计算公式为 其中是模型超导体子域的总磁矩，它的表达公式为 由于在x轴y轴分量均为零，故而有 因为磁化强度的方程式为 积分区域为子域2。程序结果3.1 磁场强度及磁力线分布在COMSOL设定中，模型共运算两个周期，时间步长为，根据和Fren的数值的不同进行四组实验，参数设定如表（2）所示。其中，空白区域表示与组1数值相同。每次实验输出八个相位的图像，分别为、。参数名称描述单位组1组2组3组4alpha超导体典型指数无21临界电流密度A/m22e7rho_air空气电阻率ohm*m1e6标准电场强度V/m1e-4a超导体宽度m0.12b超导体高度m0.04R空气包半径m0.2外界最大磁场A/m1e61e63e63e6mu0磁导率H/m4e-7*piFren交流电频率Hz510510等效磁场强度A/m2e4表1四组实验一共得出四组图像，分别为：（1）在A/m Fren=5Hz时，有图8在A/m Fren=10Hz时，有图9在A/m Fren=5Hz时，有图10在A/m Fren=10Hz时，有图113.2曲线在COMSOL程序运算时，参数设定同表（2），亦通过改变和Fren值输出四个不同的磁化曲线图：（1）在A/m Fren=5Hz时，有图12（2）在A/m Fren=10Hz时，有图13（3）在A/m Fren=5Hz时，有图14（4）在A/m Fren=10Hz时，有图15由四个图像对比可知，磁化强度与磁场强度的关系由最大磁场强度有关，与磁场变化频率Fren无关。Z Hong的研究也表明这个结论【9】。在外界磁场的磁场强度由零逐渐增大的同时，超导体开始展现抗磁性。之后磁力线渗入到超导体内部，磁化强度增加。当外界磁场的磁场强度超过某临界值继续增大时，受场依存影响，磁通量变小，磁化强度变小。Sanchez提出了存在场依存超导体的磁化强度的变化曲线环【10