非线性电路模拟

非线性电路模拟非线性科学是一门新兴的科学，是研究和探索自然界和人类社会中种种复杂的非线性问题及其共同特征的一门综合性学科。对于电路系统来说，在满足一些特定条件的电路中，电路输出并非规则表输出、也不是噪声信号，描述电路的微分方程组的解既不是周期性的也不是准周期的，但在状态空间上是表现出有界性，并且其相轨迹始终不会重复，这便是非线性电路中的混沌现象。蔡氏电路是其中最著名的具有混沌输出的简单电路，具有丰富的混沌动力学特征，是目前实验和观察的最容易实现的混沌电路之一，因此也是目前研究最多的一类混沌电路。其中大部分针对混沌电路的非线性动力学行为、混沌电路的设计、混沌电路的实验来进行。但是对混沌电路功率特性研究较少，原因在于从动力学角度功率消耗特性对非线性动力学研究而言，对吸引子的刻画与信号的频谱分析相比，没有额外给出更多的信息。但是由于目前自供能系统对微功耗的要求，功耗对于混沌电路应用十分关键，因此成为非线性动力学应用的关键指标。在本文中，我们通过分析和并且对典型混沌电路蔡氏电路进行数值模拟，给出一个关于混沌信号发生器的电能消耗的理论框架。以蔡氏电路为例，此系统可以由常微分方程描述。我们首先给出一些混沌信号发生器在特定输出模式下的电能消耗的理论分析，它提供了一个用来理解蔡氏电路电能消耗的清晰的物理图像。此外，使用数值方法，混沌输出信号的电能消耗是通过解常微分方程获得。第1章 绪 论1.1 本论文的背景和意义很长时间以来，人们在认识和描述物体或者物质运动时，大多数情况下只局限于线性动力学的描述方法，在数值计算广泛发展以前，对于可以获得确定的运动的解析解的情况研究很多。但是在实际系统中，一般情况下，系统都是非线性的，线性是比较好的近似，但是对于一些特定条件下的系统，可以表现出特殊的非线性行为。非线性科学是一门新兴的科学，也是一门综合性的学科，是用来研究和探索人类社会中和自然界中各种复杂的非线性问题的学科。线性关系是简单的比例关系，并且具有互不相干的特征，而非线性关系不仅简单地表现为对线性关系地偏离，其中的影响因素会发生可能的相互作用，并且这种相互作用的结果使得系统的整体行为不再简单地等于部分之和，即可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损，甚至，非线性关系是引起行为突变的关键原因。对线性关系发生的细小偏离，很多条件下并不会引起行为的突变，因此我们可以从近似的线性系统的情况出发，通过对线性理论的修正去描述和理解。然而，当满足一定耦合相互作用条件时，系统就会表现出明显的非线性现象，此外系统动力学行为还可以表现出突变等复杂的动力学特征。【1】非线性混沌行为的研究不仅对于复杂性可以进行深入的理解，也可以在实践中得到应用，甚至可以在我们的日常生活中发生影响，例如，混沌同步可应用于保密通信系统中，混沌信号分析对研究系统在发生混沌行为的情况下的稳定性也非常重要，特别是在脑电波和心电波信号中，例如心电图如果出现混沌信号，就与心脏疾病相关。对非线性的研究中，非线性电路是其中重要的领域之一。本论文研究着眼于以下几个方面：首先我们可以通过研究来理解非线性电路的部分特性，而后我们通过对电路功耗进行理论分析、仿真和验证，从而有利于在我们以后应用系统设计电路中，有目的地选择电路参数，达到满足微功率应用的目的。1.2 本论文的主要内容和研究方法本文对非线性电路中的经典电子电路设计蔡氏电路（Chuas circuit）进行了原理介绍和三种固定输出模式下的模拟和仿真。主要内容如下：第一章绪论，主要介绍了非线性电路的发展现状和以及我们研究非线性电路的目的和意义，并对本文的主要工作和结构安排做出了简单说明，最后又介绍了对非线性电路研究的历史回顾和前景展望。第二章蔡氏电路，首先对非线性电路做了系统性概括说明，并解释了非线性电路中最为常见的混沌现象，以及具有混沌特性的电路中最为典型的蔡氏电路的原理图解和动力学行为分析，为模拟实验提供理论支持。第三章分析与模拟实验，我们研究了一个简单混沌电路即简单蔡氏电路的三个典型输出模式的功耗。最后做出系统图表并得出相应结论。本论文运用了由特殊到普遍的研究方法，从收集资料，列出大纲，一直到开始写作，文章通过对一个典型非线性电路即蔡氏电路的三个输出模式的分析和模拟，得出部分非线性电路的功耗特征，有助于分析非线性电路。1.3 本论文的主要工作和结构安排本文的主要工作有开题、理解、实验和写论文。开题过程是通过对题目的分析以及简单理解，整理准备工作当中搜集的资料，确定标题，撰写开题报告，其中包括课题研究的背景、课题研究的内容、课题研究的目的和意义、课题研究的方法等。理解过程即通过大范围阅读文献资料，深入理解课题内容，熟悉软件，安排即将进行的模拟仿真实验工作。实验过程即通过制定的计划用特定软件对实验参数进行模拟仿真并适当处理。写论文过程是撰写包括绪论、实验以及对数据的分析和结论的论文。本文首先用绪论介绍研究背景、意义等，同时介绍非线性电路，然后通过非线性电路的一个经典案例蔡氏电路的分析介绍，以及模拟实验数据的分析，得出相应结论。1.4 历史回顾和前景展望非线性科学研究的重要分支之一即非线性电路理论。科学技术在不断的进步，电子技术也得到迅猛发展，新的电子器件不断出现。随着高度非线性电子器件的广泛应用，电子电路中出现了大量的非线性现象，如周期跳跃、次谐波振荡、概周期运动、混沌以及分岔等。于是，从60年代起，有关非线性电路分析与综合、电路器件造型、故障诊断等对于各个领域的理论研究迅速展开。电路系统的优点是能够方便地提供实验研究，由此其在非线性动力系统中始终是独占一隅。80年代初期，Linsay通过研究含变容二极管的二阶非自治电路，在实际物理系统中首次验证了一个理论即Feigenbaum的倍周期分岔通向混沌理论。随后的几十年里，各国学者不仅仅构造了多个用于混沌机理研究的电路，并且还相继深入探讨了一批实用电路中的动力学行为，取得了非常大的进展。目前，非线性电路研究还处于发展的阶段，还有很多的问题亟待进一步的探讨。深入探讨电路的非线性动力学，将有几个方面成为研究重点，例如：非线性电路的混沌控制以及反控制；非线性电路的不光滑分岔等。【2】第2章 蔡氏电路2.1 非线性电路概论非线性电路系统是指系统中至少包含一个非线性元件的电路。事实上，一切由实际元件构成的电路都是非线性的，因为任何元件在足够大的电压或电流作用下其线性都会被破坏。因此，非线性电路具有普遍意义，而线性电路是它的特殊形式。在本文中，我们研究了一个简单非线性电路的三个典型输出模式，给出相应的数值计算和分析数据等用来分析其功耗等重要数据。非线性电路相较于线性电路具有以下特点：（1）自激震荡。在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压（或电流）却可以有周期的变化的分量，电路里出现了自激震荡。（2）稳态不唯一。用刀开关断开直流电路时由于电弧的非线性使这时的电路出现由不同起始条件决定的两个稳态。一个有电弧因而电路中有电流，另一个电弧熄灭因而电路中无电流。（3）谐波。正弦激励作用于非线性电路且电路有周期响应时，响应的波形一般为非正弦的，含有高次谐波分量或次谐波分量。（4）跳跃现象。非线性电路中，参数（电阻、电感、振幅、频率等）改变到分岔值时相应会突变，出现跳跃现象。铁磁谐振电路中就会发生电流跳跃现象。电路的响应与电路的各种参数有关，当某个参数发生微小变化的时候，响应一般也由微小变化，但在非线性电路中，参数改变到分岔值是，响应会突变，出现跳跃现象。（5）频率捕捉。正弦激励作用于自激震荡电路时，弱激励频率与自激震荡频率二者相差很小时，电路里只存在频率为激励频率的振荡，即响应就会与激励同步。【1】2.2 非线性电路的混沌现象 混沌现象是一种普遍的存在的非线性的现象，伴随着计算机水平的急速发展，混沌现象及它的应用研究已经成为自然科学和社会科学研究领域的一个非常重要的热点。【3】 混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌，指确定性系统中产生的一种对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。对于电路系统来说，在有些电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是准周期的，但在状态平面上是有界的，其相轨迹始终不会重复，这便是非线性电路中的混沌现象。基于MATLAB的蔡氏混沌电路作为一种普遍存在的非线性现象，混沌的发现对科学的发展有很大的影响。混沌是流体模型的动力湍流中最早被发现的。混沌理论已经被用作描述非线性物理，工程，生态，社会和经济系统的动态关系的基本方法。2.3 蔡氏电路原理 蔡氏电路（Chuas circuit）由于具有丰富的混沌动力学特征，所以是目前实验和观察的最好的混沌电路之一，也是目前研究最多的一类混沌电路，该电路是由美籍华人蔡少堂（Chua L O）教授首先发起研究的，它是一个三阶自治电路。混沌信号可由非线性电路产生。蔡氏电路是展现混沌行为的经典电路。蔡氏电路原理图解见图2-1（a）。蔡氏电路由两个电容（和），一个电感器（）,电阻()和非线性电阻（）组成。理想情况下，电容和电感作为电能存储单元，电阻是电能消耗单元，非线性电阻扮演“能源提供者”的角色，简单来说，就是非线性电阻作为电路中的“电源”存在。本实验中所用非线性电阻属于分段线性电阻，由三段组成，如图2-1（b）所示。在实践中，该非线性电阻由线性电阻和运算放大器组成。图2-1 （a） 蔡氏电路原理图（b） 非线性电阻R的分段线性特征2.4 蔡氏电路动力学行为分析 蔡氏电路的动力学行为可以由以下常微分方程描述： （1） 其中和分别是电容和电容两端的电压值，,是通过电感器的电流，是非线性电阻分段线性的函数。 为简单起见，由上式我们可以给出标准化的状态方程： （2）其中满足 （3）即： （4）而其中的和取决于分段函数每个部分的斜率。无量纲的变量和参数定义如下： (5)第3章 分析与模拟实验3.1 第一种输出模式 根据方程组（1），可以得出每个电路组件的功耗计算如下： （6） 其中，和是电容和电容，线性电阻，电感器和非线性电阻各自的的功率，而是线性电阻的阻值。 为了评估功率的大小，固定点模式可以由以下固定点条件得到： （7） 也就是说，电容两端的电压和通过感应器的电流是恒定不变的。这可视作稳定模式，在这个模式中，和的电压为0。因此，功耗取决于非线性电阻和线性电阻，由以下方程组可以得出： (8) 其中的是线性电阻的电压。在我们的这个例子中，非线性电阻值的绝对值等于线性电阻的电阻值，但二者的符号相反。因此，非线性电阻和线性电阻的功率绝对值是相等的，但符号相反，因此，理想蔡氏电路的总功率为0。这意味着非线性电阻扮演着电源的角色向线性电阻提供电能。在实际中，非线性电阻可以由外电源、线性电阻和运算放大器组成。根据以上结果，线性电路的功耗可以用来评估混沌信号发生器的功率，因此，固定点模式的功率电平被认为是一个对于混沌信号发生器的设计来说很方便的参考指数。3.2 第二种输出模式蔡氏电路的周期和混沌输出模式随参数和的变化而变化，为了描述混沌电路的混沌模式的特征，李雅普诺夫指数（）提供了一个量化措施。李雅普诺夫指数（LE）是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。系统的李雅普诺夫指数谱可有效地表征变量随时间演化时，系统对初值的敏感性。指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的，此方向的运动是稳定的。而正的指数值则表明体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠，以致吸引子中本来临近的轨线变得越来越不相关，从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测，即所谓的初值敏感性，而混沌运动的基本特点即是运动状态对初始条件的高度敏感性。当，蔡氏电路的工作模式是混沌的。当的值小于8.27而时，电路将输出周期性的信号。在我们的模拟仿真中，我们设置以下参数：并且。当初始条件选择为且，这意味着，且，蔡氏电路的工作模式为周期性的，李雅普诺夫指数近似为0。在这个模式中，所以输出模式是非混沌的。图3（a）展示了非线性电阻的功率和线性单元（，和）的总功率，非线性电阻的绝对值与线性单元总功率值相同。图3（b）展示了两个功率函数的不同，功率的差异大概在10-15左右，远小于图3（b）中所示的总功率，故而相对误差小于10-15。非线性电阻的平均功率是-2.46mW，而线性单元的总平均功率是2.46mW，非线性电阻的功率绝对值与线性单元的功率大小相等，方向相反。图3混沌信号发生器工作在周期性的输出模式（a）非线性电阻的功率和、和的总功率；（b）非线性电阻和其他线性元件的功率差别，平均值在2.46mW。3.3 第三种输出模式当参数大于8.27，这个电路的输出信号是混沌的。我们选择这样的参数且，符合以下基本原理： 。电容的电流和电压与周期性状态下同样的初始条件进行模拟，分别如图4（a）和（b）所示。很显然，电流和电压不具有周期性。因为以上参数下李雅普诺夫指数是0.407，所以输出是混沌信号。图4（c）展示了的电流-电压特性。和的电流-电压特性具有相似性。非线性电阻的功率是负的，但是其他线性单元的总功率是正的，如图4（d）所示。非线性电阻的平均功率是-2.45mV，所有线性单元的平均功率是2.