高考数学复习不等式选讲第60讲不等式的证明优选学案.docx

第60讲不等式的证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明2会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：2，会用向量递归方法讨论排序不等式3了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题4了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2017全国卷，232015全国卷，242015湖南卷，16(3)不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向分值：510分1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab0_ab_.(2)作商法：_1_ab(a0，b0)2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过_推理论证_而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种_执果索因_的思考和证明方法3反证法先假设要证的命题_不成立_，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_推理_，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)_矛盾_的结论，以说明假设_不正确_，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地_放大_或_缩小_以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法5数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当_nn0_时命题成立；(2)假设当_nk_(kN*，且kn0)时命题成立，证明_nk1_时命题也成立综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式(1)代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立7排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”. ()(2)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()(3)不等式|xa|xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.()(4)不等式|xa|xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.()2若a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为(D)A2B3C4D5解析为a，b的等差中项，ab21.ab111，ab.114.的最小值为5.故选D.3设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(B)A8B4C1D解析因为3a3b3，所以ab1.(ab)2224，当且仅当，即ab时“”成立故选B.4若直线3x4y2，则x2y2的最小值为_，最小值点为_.解析画出直线3x4y2的图象，再画以原点为圆心的圆，要使圆和直线有交点，则最小半径为直线与圆相切时，r，切点为直线3x4y2与4x3y0的交点因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.5定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“函数”，以下函数中为“函数”的序号为_.yx31；y3x2sin x2cos x；yy解析由排序不等式原理可知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)或f(x)是R上的增函数易知是R上的减函数；是R上的偶函数；对于，y32sin0；对于，根据其图象可以判定为增函数一比较法证明不等式比较法证明不等式的步骤 (1)作差(商)；(2)变形；(3)判断差的符号(商与1的大小关系)；(4)下结论其中“变形”是关键，作差比较法中通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负【例1】 已知a，b，x，y(0，)，且，xy.求证：.证明方法一，且a，b(0，)，ba0.又xy0，bxay. 0，即.方法二x，y，a，b(0，)，要证，只需证明x(yb)y(xa)，即证xbya.而由0，得ba0.又xy0，xbya显然成立故原不等式成立二分析法和综合法证明不等式分析法和综合法证明不等式的技巧证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路，如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”分析法，寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程【例2】 (2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.三柯西不等式的应用柯西不等式应用的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件(2)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明【例3】 (1)已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值证明(1)由柯西不等式得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2，当且仅当，即2b3c6d时，等号成立(2)因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时，x2y2z2有最小值.1设abc0，则2a210ac25c2的最小值是(D)A1B2C3D4解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时等号成立，如取a，b，c满足条件故选D.2若P(x0，y0，z0)，则P与3的大小关系为_P0,1y0,1z0，3，即P0时，解集为，则6，2，无解；当aa2bab2.证明(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.2已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc，同理，b2(a2c2)2ab2c，c2(a2b2)2abc2，相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.3已知a，b，c(0，)，求证：23.证明欲证23，只需证ab2abc3，即证c23，a，b，c(0，)，c2c33，c23成立，故原不等式成立4设a，b为正实数，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解析(1)由22，得ab，当ab时取等号故a2b22ab1，当ab时取等号所以a2b2的最小值是1.(2)由(ab)24(ab)3，得24ab，即24ab，从而ab2.又a，b为正实数，所以ab2，所以ab2，所以ab1.5已知函数f(x)|x|2x1|，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)已知aM，比较a2a1与的大小解析(1)f(x)|x|2x1|由f(x)1，得或或解得0x2，故Mx|0x2(2)由(1)知0a2，因为a2a1，当0a1时，0，所以a2a1；当a1时，0