初中数学精华总结.doc

解题思路是前提，表述严密是保证。解题前首要做的是“问题分类”，然后从方程、函数、数形结合、特殊值上考虑。代数部分整式1整式包括单项式和多项式。数字和字母的乘积叫单项式，如、。几个单项式的和叫多项式，如。要求能找出系数、次数、常数项。.2. 单项式的运算： 单项式乘除，系数、字母分别乘除，如,；同底数幂的乘除，底数不变，指数加减，如，思考，从中可得结论同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘，如积得乘方，相当于每个因子先乘方在求积，如3多项式的运算单项式乘多项式，单项式乘多项式的每一项，再相加，如；多项式乘多项式，相当于几个“单项式乘多项式”，再相加，如；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。如多项式除以多项式不作要求4. 同类项：所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。合并同类项法则：同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。如5. 因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，是整式乘法的逆运算。提公因式法：；十字相乘法：，其中分组分解法待定系数法：令将等式右边展开合并，对应项相等，得到方程组；换元法令则原式化为，再将代入即可；求根公式法因式分解中的四个注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。6. 熟记以下6个公式并要求会逆用：和的平方公式差的平方公式平方差公式立方和公式立方差公式十字相乘公式分式1 形如，且中含有未知数的代数式叫做分式。判断一个式子是否为分式看两点：分母不为0；分母含未知数。2 分式的运算：分式加减：通分之后分子加减；分式乘除：两分式相乘，分子相乘做分子，分母相乘做分母，然后约分化简；两分式相除相当于乘以“除式”的倒数。如最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。3 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。分式方程解法：1）通过“等号两边同乘以最简公分母”去掉分母，化成整式方程；2）按整式方程解法，移项、合并、添括号、变号、系数化1等；3）验根，把根代入最简公分母，若为0则这个根为增根。如解分式方程解：1）等号两边同乘以最简公分母，得整式方程2）即，3）验根：，是分式方程的根。根式1 二次根式概念：形如的代数式叫二次根式。尤其要注意这个条件，如不是二次根式，是二次根式。2 最简二次根式要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不得含有仍能开尽的因数或因式。如，都不是最简二次根式，它们的对应最简形式为，。3 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如与是同类二次根式，与不是同类二次根式。4 二次根式的运算： 另外还包括合并同类二次根式，如分母有理化，即分母去根号，如，5 要求掌握二次根式的化简、合并、有理化三种过程。题型1 判断几个根式属不属于二次根式，最简二次根式，同类二次根式？ 方法：牢记定义所说的条件，缺一不可。题型2 二次根式的运算 方法：第一步，分母含根式的分母有理化 第二步，每一项化成最简二次根式 第三步，合并同类二次根式实数1 实数包括有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数是无限不循环小数。2 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。3 绝对值：一个数在数轴上对应点到原点的距离，用表示。，且4 相反数：符号相反，绝对值相同的两个数互为相反数。5 平方根：满足的叫做的平方根，记作。一个正数的平方根有两个，其中正的那个叫算数平方根；0的平方根仍是0；负数没有平方根。思考的平方根是，算数平方根是；在什么条件下成立？6 立方根：满足的叫做的立方根，记作。所有实数有且只有一个立方根。如果有意义，则的取值范围是思考平方根与立方根的区别7 熟记8 分数指数幂：形如（其中，为整数，为大于1的整数），是根式的另一种表示形式，即例题：1 若、为实数，且，则2 的平方根是3 若，则4 若，则的取值范围是5 六个数中无理数有个6 绝对值小于的整数分别是7 比较大小8 已知求的值9 计算一元二次方程1 形如的方程，叫一元二次方程。2 两种形式：一般式；两根式3 解得判定：无解，两等根，两不等根。4 一元二次方程的解法：直接开方法：对形如的直接开方十字相乘法：对形如的有公式法：，配方法：配出的形式后直接开方5 一元二次方程的应用涉及银行利率、利润、面积等问题，解题思路在二次函数中已说明。正比例函数与反比例函数1 自然界中的量分为两种，变量和常量。始终保持不变的量叫常量，如一天是24个小时，这24是不变的，是常量；一天的温度，这温度是变化的，为变量，通常都说它的一个范围，像今天气温。2 函数：函数就是表示变量与变量间的对应关系，记作。叫做自变量，叫做因变量，为对应关系。自变量的所有可能取值构成函数的定义域，因变量的所有可能取值构成函数的值域。例如路程随时间变化的关系（，时间为自变量，路程为因变量，定义域为，值域为3 定义域、值域、对应关系构成函数三要素，缺一不可。4 表示一个函数可以用解析式、图像、图表。5 初中数学学习一次函数、反比例函数、一元二次函数三种函数，要求重点掌握这三种函数的解析式和图像。6 一次函数：形如的函数叫正比例函数，定义域和值域均为全体实数。7 一次函数的图像为一条直线，请思考直线形态与系数、的关系。为直线与轴夹角的正切值，叫做斜率，即，、为直线上任意两点坐标。为直线与轴交点纵坐标，叫截距，将代入解析式即得。当时就是正比例函数，因此说正比例函数是一种特殊的一次函数。8 一次函数的两种解析式：一般式；点斜式9 反比例函数：形如的函数叫做正比例函数，定义域和值域均为除0外的所有实数，即。知道反比例函数的图像。一元二次函数知识要点：1. 一元二次函数是含有一个自变量且自变量最高次数为2的函数，形如，其中自变量为，为因变量，自变量最高次数为2，二次项系数为，一次项系数为，称作常数项。判断一个函数是不是二次函数看三点：都是整式；自变量最高次数为2；二次项系数不为0。2. 一元二次函数的表达式有三种：一般式，顶点式，与X轴相交的二次函数还有交点式。应该掌握三种表达式之间的转化：由一般式求顶点式采用配方法；由一般式求交点式，先根据求根公式判断是否与X轴有交点，若有可采用公式法或十字相乘法得到交点式；由顶点式求交点式，先根据和的符号关系判断是否与X轴有交点，若有则求出交点横坐标写出交点式；由交点式求顶点式，先得顶点横坐标，代入交点式得顶点纵坐标，即可求得交点式由顶点式、交点式求一般式进行展开、合并同类项即可3. 一元二次函数的图像为抛物线，系数的符号决定开口方向，当时，开口向上，函数有最小值，最小值点坐标为；当时，开口向下，函数有最大值，最大值点坐标为；的大小决定开口宽度，越大开口越窄，越小开口越宽令，则，可见函数图像过点，又叫做截距。4. 已知任何一种表达式，能够绘制二次函数图像决定开口方向和顶点坐标，有时需要与X轴的交点坐标，然后绘制已知二次函数图像上的若干个点的坐标，能够求出二次函数表达式公式法或待定系数法，采用待定系数法时能根据图像特点，列写合适的表达式形式5. 联系图像，思考一元二次函数什么情况下与X轴有交点？结论：当一元二次函数所对应的一元二次方程有根时，也就是时，有交点。6二次函数图像平移规律：对左加右减，对上加下减7. 一元二次函数应用题解题思路：1)读：读题并找出谁是已知量、谁是自变量、谁是因变量，用文字描述出已知量、自变量与因变量可能存在的等量关系；2)设：设自变量为，因变量为；3)列：将文字描述的等量关系用含有字母、的式子代替；4)解：求解一元二次方程并检验5)答：将所求结果陈述一遍。几何部分相交线与平行线1 两直线相交，对顶角相等，相邻角互补。2 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。3 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，平行线间的距离处处相等。4 平行线性质：两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。反过来即为判定定理。三角形1 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边2 三角形内角和为，外角和为，一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。3 特别关注：直角三角形、等腰直角三角形、直角三角形、等边三角形4 等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一5 等底等高的三角形面积相等6 全等三角形对应边相等，对应角相等7 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度8 三角形的四心两圆：重心、垂心、内心、外心、内切圆、外接圆重心：三条中线交点；垂心：三条高线交点内心：三条内角平分线交点，是内切圆的圆心外心：三边中垂线的交点，是外接圆的圆心9 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半10 全等三角形的判定：三边对应相等的两三角形全等;有两边且夹角对应相等的三角形全等；有两个角且夹边对应相等的三角形全等；有两角且其一角的对边对应相等的三角形全等；斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等 相似与解直角三角形知识要点1 相似形的定义：如果两个图形状相同，大小成比例，则这两个图形叫做相似形，比例值叫做相似比，常用k表示。2 成比例的定义：如果四条线段、满足，则这四条线段成比例。其中、叫做比例外项，、叫做比例内向，当时，比例内向又叫做比例中项。3 比例的性质：若，则（十字相乘） （合比性质）（等比性质）你知道以上三个式子是如何推导出的吗？用同样的方法你还能得出其他什么结论？4 黄金分割点：在线段AB上，存在一个靠近B点的C点，满足，C点就叫做线段AB的黄金分割点。黄金分割点的位置时, 你知道这个值是怎么得来的吗?5. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例，对应角相等；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。.6相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，则这两个三角形相似；如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。7向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，通常用表示。向量的大小也就是向量的长度叫做向量的模，用表示。8实数k与向量相乘所得的积是一个向量，记作。这个向量与原向量方向相同或相反，这取决于的正负，模长是原向量长度的倍。9不平行的两个向量与相加，按照三角形或平行四边形法则得到向量，图形表示如下：不平行的两个向量与相减，相当于与相加，仍按三角形法则或平行四边形法则处理，如图：10封闭多边形的所有边顺序构成的向量之和为零向量，你知道这是为什么吗？11单位向量：长度为1的向量叫做单位向量，记作，则=1。对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，。12直角三角形边角关系: 三角比定义及特殊锐角三角比的值（略）同角的三角关系：，互余两角的三角关系：，正切余切类似。13能够通过辅助线构造直角三角形，并在直角三角形中“知2求1”，注意：“2”中至少有一个边条件。14遇到比较三角函数大小问题采用“数形结合”工具解决很方便。典型例题：1 代数求比值问题。凑项法：利用比例性质对已知等式进行加减乘除运算”凑出” 所求式子，然后将所求式子看做一个整体用代替，得到一元一次方程，解方程即可。换元法：设所求式为，代入已知等式得到一元一次方程，解方程即可。若，则解法1：将原等式左边分式分子分母同除以，得， 令，得，化简得一元一次方程，所以解法2：令，则，代入原等式得，分子分母同约去得，化简得一元一次方程，所以。2 证相似或成比例问题。方法：第一步，明确已知条件和哪两个三角形可能相似（有时需要通过做辅助线构造）；第二步，将已知条件通过相似或比例传递到一对三角形中，即可解决。例题 在中，AC是高，且，试证明。解：这是证明成比例问题，即证第一步，明确已知后可知可能相似的三角形是，第二步，在中，在中，所以，即证毕。3 向量的线性运算问题与上述方法类似，将已知条件通过形似、比例或三角形法则传递到同一个三角形的三条边上。例题 已知O是的重心，求证：。解题思路：所证三边分属三个小三角形，用重心的比例性质和向量三角形法则将OA、OB、OC与大三角形的三边联系起来，因为我们知道4 解直角三角形问题方法：第一步，根据题意或通过辅助线构造直角三角形； 第二步，明确直角三角形的边角关系，写出等式； 第三步，设所求量为，根据上步等式列出方程求解。例题 已知：如图，在中，AD是边BC上的高，E为AC边的中点，BC=14，AD=12，求：（1）线段DC的长；（2）的值解：（1）第一步，观察可知，所求边DC在中，故无需另外构造三角形 第二步，在中， 在中， 第三步，设根据上述等式写出方程，化简得一元二次方程，解得（舍去）所以DC长为5.（2）第一步，由于不是一个直角三角形的角，故过E做EFDC，交DC于F，得到第二步，在中，第三步，圆1 定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，记作。顶点叫圆心，记作；定长叫半径，记作。2 圆心、半径构成圆的两要素，缺一不可。3 圆的性质：既是轴对称图形，又是中心对称图形；周长，面积，思考夹角为，半径为的扇形周长面积公式，怎么得来的？ 一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角为，反过来仍成立：圆周角所对的弦是直径；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，也平分所对的弧。弦长公式：，、分别为弦长、半径、弦心距，这是勾股定理的应用；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等4 理解圆与其他图形（点、直线、圆、三角形、正多边形）位置关系及判断依据5 切线：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；思考如何求圆外一点到切点的距离？6 与两圆都相切的直线叫两圆的公切线。知道两圆不同位置关系时公切线的条数。7 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；相切两圆的连心线经过切点8 割线：经过圆上两点的直线叫做圆的割线；如何求割线长？9 相交弦定理：圆内的两条相交弦、，被交点分成的两条线段长的积相等，即；切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即；割线定理：从圆外一点引两条割线与圆分别交于、，则有；请思考如何证明这三条定理？10 圆与正多边形：把一个圆等分，一次联结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多变形；正多边形是对称图形，当为奇数时，为轴对称图形；为偶数时为中心对称图形；正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角，叫中心角，其值等于；正多边形边心距求法与弦心距相同。四边形1. 多边形内角和为；外角和为2. 平行四边形、矩形、正方形、菱形各自性质及从属关系，梯形、等腰梯形3. 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分平面直角坐标系在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，记作直角坐标系。建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。可见点的坐标是一个实数对，其中是该点相对轴的距离，叫横坐标；是该点相对轴的距离，叫纵坐标。图形的运动图形的运动包括平移、旋转、翻折。平移过程中对应点的连线平行且相等；旋转过程中对应线段的夹角就是旋转角，转角为；翻折前后构成轴对称图形，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴。解答本章问题关键是找到图形运动过程中的等量关系，然后列方程或函数关系式求解。例：将举行纸片沿折叠，使点落在直角梯形的中位线上，若，则的长为几何证明1 证明：根据已知条件，推导出某个结论为正确的过程；2 命题：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，记作“若p，则q”。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 3 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。原命题为真，逆命题不一定为真。如原命题“对顶角相等”为真，逆命题“相等的角为对顶角”就为假；再如“两直线平行，同位角相等”为真，“同位角相等，两直线平行”也为真。4 公理：所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的真命题。如命题“两点间直线段最短”。5 定理：通过公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的结论。如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。6 线段的垂直平分线性质定理及逆命题都是真命题；角的平分线性质定理及逆命题都是真命题；勾股定理的逆命题也为真命题7 两点间距离公式：设平面直角