2.4线段的垂直平分线.ppt

三角形 第2章 线段的垂直平分线 2 3 如图 人字形屋顶的框架中 点a与点a 关于线段cd所在的直线l对称 问线段cd所在的直线l与线段aa 有什么关系 我发现ad a d l aa 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点a与点 关于直线l对称 如果沿直线l折叠 则点a与点 重合 ad a d 1 2 90 即直线l既平分线段aa 又垂直线段aa 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 perpendicularbisector 线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴 如图 在线段ab的垂直平分线l上任取一点p 连接pa pb 线段pa pb之间有什么关系 作关于直线l的轴反射 即沿直线l对折 由于l是线段ab的垂直平分线 因此点a与点b重合 从而线段pa与线段pb重合 于是pa pb 已知 cd ab于o ao bo 点p在cd上 连结pa pb 求证 pa pb 证明 cd ab poa pob在 poa和 pob中po po poa pobao bo poa pob sas pa pb 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言 cd ab ao bo pa pb 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 反过来 如果已知一点p到线段ab两端的距离pa与pb相等 那么点p在线段ab的垂直平分线上吗 1 当点p在线段ab上时 因为pa pb 所以点p为线段ab的中点 显然此时点p在线段ab的垂直平分线上 2 当点p在线段ab外时 如图 因为pa pb 所以 pab是等腰三角形 过顶点p作pc ab 垂足为点c 从而底边ab上的高pc也是底边ab上的中线 即pc ab 且ac bc 因此直线pc是线段ab的垂直平分线 此时点p也在线段ab的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 几何语言 pa pb 点p在线段ab的垂直平分线上 举例 例1已知 如图 在 abc中 ab bc的垂直平分线相交于点o 连接oa ob oc 求证 点o在ac的垂直平分线上 举例 证明 点o在线段ab的垂直平分线上 oa ob 同理ob oc oa oc 点o在ac的垂直平分线上 已知 如图 点c d是线段ab外的两点 且ac bc ad bd ab与cd相交于点o 求证 ao bo 证明 ac bc 点c在线段ab的垂直平分线上 ad bd 点d在线段ab的垂直平分线上 cd是线段ab的垂直平分线 ao bo 例2 abc中 ab ac a的平分线与bc的垂直平分线dm相交于d 过d作de ab于e 作df ac于f 求证 be cf 举例 证明 连接bd和cd dm垂直平分bc bd cd d是 bac平分线上的点 且de ab df ac de df bde和 cfd是rt 在rt bde和rt cfd中bd cdde df rt bde rt cfd hl be cf 举例 如图 已知线段ab 作线段ab的垂直平分线 根据 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 要作线段ab的垂直平分线 关键是找出到线段ab两端距离相等的两点 作法 分别以点a b为圆心 以大于ab的长为半径画弧 两弧相交于点c和点d 过点c d作直线cd 则直线cd就是线段ab的垂直平分线 因为线段ab的垂直平分线cd与线段ab的交点就是线段ab的中点 所以可以用这种方法作出线段的中点 如何过一点p作已知直线l的垂线呢 1 当点p在直线l上 2 当点p在直线l外 在直线l上点p的两旁分别截取线段pa pb 使pa pb 1 当点p在直线l上 分别以a b为圆心以大于ab的长为半径画弧 两弧相交于点c 过点c p作直线cp 则直线cp为所求作的直线 2 当点p在直线l外 以点p为圆心 以大于点p到直线l的距离的线段长为半径画弧 交直线l于点a b 分别以a b为圆心以大于ab的长为半径画弧 两弧相交于点c 过点c p作直线cp 则直线cp为所求作的直线 1 线段的垂直平分线的性质是什么 2 线段的垂直平分线的判定是什么 例1如图 已知ad是 abc的bc边上的高 且 c 2 b 求证 bd ac cd 证