高考数学一轮复习 第二章 第11课时定积分与微积分基本定理课时作业 理 新人教版.doc

第11课时定积分与微积分基本定理考纲索引1. 定积分的概念及几何意义.2. 微积分基本定理.3. 定积分的应用.课标要求1. 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.知识梳理1.定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式,当n时,上述和式无限接近,这个叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作,即.(2)在中,分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.2. 定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分的几何意义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分).甲 乙(2)一般情况下,定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3. 定积分的性质(1) (k为常数);(2) ;(3) (其中ac0,若,则t等于().a. 1b. -2 c. -2或4d. 44.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是().(第4题)5.已知函数y=f(x)的图象是折线段abc,其中a(0,0), ,c(1,0).函数y=xf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为.指 点 迷 津【想一想】定积分g(x)的几何意义是什么?【答案】由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.【想一想】一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?【答案】一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个.在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.考点透析考向一利用微积分基本定理计算定积分例1计算下列定积分:【方法总结】计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.变式训练1.利用微积分基本定理求下列定积分:考向二利用定积分求面积例2(1)由曲线f(x)= 与y轴及直线y=m(m0)围成的图形的面积为,则m的值为().a. 2b. 3 c. 1d. 8(2)曲线y=cosx(0x)与坐标轴所围成的图形面积是.【方法总结】1.求曲边多边形的面积的步骤为:(1)画出草图,在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;(2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限;(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和;(4)计算定积分.2.失误与防范(1)被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.(2)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量.(3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限.(4)定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.(5)将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.变式训练2.(1)定积分的值为.(2)设a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.考向三定积分在物理中的应用例3一物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在s6s间的运动路程为.【方法总结】1.做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程,可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个物体在一段时间内的位移,只要求出其运动的速度函数,再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可,即物体做变速直线运动的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分.另外物体做变速直线运动的速度v,等于加速度函数a=a(t)在时间区间a,b上的定积分.2.如果力f(x)使得物体沿力的方向由x=a运动到x=b(a1),则a的值是.【解题指南】利用微积分基本公式把定积分转化为代数式.【解析】由于dx=(x2+lnx)=a2+lna-(12+ln1)=a2+lna-1=3+ln2,则a=2.【答案】2真题体验1. (2014陕西)定积分的值为().a. e+2b. e+1c. ed. e-12. (2014江西)若f(x)=x2+2,则等于().a. -1 b. c. d. 13. (2014山东)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().4. (2014湖南)已知函数f(x)=sin(x-),且,则函数f(x)的图象的一条对称轴是().参考答案与解析 知识梳理1.(1) 某个常数常数 (2)a与ba,b函数f(x)xf(x)dx3. 4.f(b)-f(a) 基础自测1.d2.c3.d4.b5. 考点透析 变