1 数理逻辑介绍.docx

第2讲 数理逻辑介绍1. 若干哲学观点分析哲学也称为语言哲学和逻辑哲学，开始于德国数学家弗雷格对于自然语言的逻辑分析工作，后被奥地利哲学家维特根斯坦发扬光大，使得近代哲学研究成功转型为语言分析，并成为现代哲学研究的主流。学习分析哲学有利于澄清我们对于一些常用概念的认识。以下所列条目是基于本人的理解和独立思考而提出的观点，欢迎批评、指正。认知对象：客观世界中存在的事物，这是第一认知对象。人们在认知过程中所形成的抽象概念是第二认知对象。概念是人们头脑中的观念，所反映的是对象的相似性（similarity）和不变性（invariance），也称为模式（mode），包括结构模式、行为模式和关系模式。这些抽象模式称为概念的内涵（intension）或者所指（referent）。概念是人们对于客观对象进行抽象所得的观念。一旦形成就拥有不依赖于客观对象的独立存在性。例如，“圆”这个概念来自于客观事物，又超越和独立于客观事物，有自己确定的内涵。因此，概念不是客观事物的附属，而是思维世界中的独立存在。柏拉图（Plato）称之为理念（idea），并且认为理念是独立于物质世界的另一种存在。概念是没有真假对错之分的，它是一个模式，按照该模式可以对现实对象进行归类。例如，我们可以用圆这个概念对事物进行归类，将所有近似圆形的事物归为一类。同类事物具有相同的性质，相同的性质具有相同的作用。因此，对事物进行归类有利于我们有效地认识和应用事物。当然，我们的认知并不满足于获得一些概念，还会继续探索这些概念的属性和相互作用，等等。因此，概念是人类认知的结果，也是进一步认知的对象。命题：在思维中将某对象归于某模式，即认为某对象具有某性质或者模式，这种思维中的归属联系就是命题。因此，命题也是人们头脑中的一种观念，不过，命题与概念不同，它不是一种模式，不是由客观对象身上升华而成的模式，而仅仅是将一个给定对象与某概念进行联接，将对象归于这个概念所划定的类。如果说概念是进行思维概括操作的结果，那么命题可以说是简单的思维联接操作的结果。因此，命题是有真假对错之分的。如果命题所指代的归属关系是客观存在的，则该命题为真（true），否则为假（false）。语言：是一个符号系统，用于表达和记录思维中的概念和命题。语言由符号（symbol）和语法（grammar）组成。语法是符号组成语句的规则。语句的功能就是描述我们思维中的概念和命题。在语言中，概念通常用一个简短的名字进行表示，称为词语（word），比较复杂的概念往往用固定词组（set phrase）表示。一个词语所表示的概念称为词语的含义（meaning）或者语义（semanteme）。在一个语言中，定义一个概念就是用词语和句子对概念内涵进行充分而明确地描述。仅仅是表达一个命题的句子称为陈述句（statement），被表达的命题称为该陈述句的语义（semanteme）或者含义（meaning）。有些感叹句、反问句其实也表达了命题，但是它们还有其它的语用表达功能，包括传递说话人的情感、意愿等等。需要注意的是，并非任何陈述句都表达一个命题。例如，“我正在说假话”是陈述句，但其所表达的语义不是命题。思考：“今天是星期一”所表达的是命题吗？语句分析：弗雷格将一个句子的成分分为主词、谓词和量词等三个部分。主词表示对象。谓词表示对象的性质、状态和动作，相当于定语和谓语（把状语和补语视为谓语的一部分）。量词用以表示主词所表示的对象的数量，只有两种，即全称量词和存在量词，分别表示“所有”和“存在”。例如，“有的果子成熟了更可口”，其中量词是“有的”，主词是“果子”，谓词有两个，即“成熟了”和“更可口”。我们将要学习的一阶逻辑是对弗雷格的这种语言分析方法的形式化。2. 数理逻辑推理、实验和计算是人类认知活动中的三种主要途径和工具。逻辑学(logic)研究推理规则。推理是从已知的知识中获得其中蕴含的新知识，或者是用已知的知识论证某个判断的真假。数理逻辑：也称为形式逻辑、符号逻辑，是关于推理的数学理论，其目的是为推理建立数学模型，使得推理和数学证明成为一种有规则的符号运算过程，从而确保推理的正确性。3. 历史在古希腊时期产生了两种逻辑学：亚里士多德的三段论逻辑（syllogistic logic）和斯多葛学派的命题逻辑（propositional logic，也称语句逻辑或句式逻辑，sentential logic）。1） 亚里士多德的三段论逻辑：这是有记载的最早的逻辑学说。亚里士多德总结了多个推理模式，例如“Barbara模式”：亚里士多德把这些推理模式合称syllogism。由于这些推理模式都是由两个前提推出一个结论，故中文翻译为“三段论”。三段论所讨论的命题结构比较简单，共有如下4种形式：SaP：所有S是P。SeP：没有S是P。SiP：有的 S是P。SoP：有的S不是P。其中S和P所表示的词语分别称为主词（subject）和谓词（predicate），分别指代某一类对象。符合上述形式之一的命题称为主谓命题（subject-predicate proposition）。主谓命题所表达的是主词对象对于谓词对象类的隶属关系，其中“所有”和“有的”等词语的作用是量化这个隶属关系。（注：我们这里把some翻译为“有的”，一般教材翻译为“某些”。）注意，在一个语言中，有些词语仅指代唯一的对象，例如一些人名和地名，这些词语称为专名。但是大部分词语所指代是某一类对象中的任何对象，是这些对象的共同名称，简称通名。例如，在“苏格拉底是人”这句话中，“苏格拉底”是专名，“人”是通名，所以这句话所表达的命题是Sip型的，而不是SaP型的。注意，在一个命题中的主词和谓词可以另一个命题的谓词和主词。例如，我们可以说“有的人是苏格拉底”。 三段论的4种图式：设S，P是三段论中结论的主词和谓词。三段论中的两个前提分别涉及P和S，前者称为大前提（major premise），后者称为小前提（minor premise）。联系大小前提的是一个同时出现在这两前提中词语，称为中项（the middle term），暂记为M。在大前提和小前提中，M都可以是主词，也可以是谓词。因此，按照M在两个前提中的位置，三段论被分类为如下4个图式（figure）：在每个图式中，在主词和谓词之间分别加入4个字母a,e,i或o，则可得444个不同的三段论，从而4个图式共含有256个可能的三段论。当然，这些三段论中大部分是错误的推理模式。亚里士多德逻辑学的主要贡献在于，所给出的19条三段论中除了有两个是错误的之外包含了所有正确的三段论。2） 斯多葛学派的命题逻辑：学派创始人是著名的诡辩家芝诺（Zeno）。思考宇宙决定论与人类自由之间的关系。（Seneca主张美德是快乐的充分条件“virtue is sufficient for happiness”，声称“对于人类来说，个人是神圣的。”这最早的人本主义思想。）命题逻辑考虑复合命题与其中基本命题的真假关系。克律西普斯（Chrysippus）把命题逻辑发展成为一个形式逻辑。到了17世纪被德国数学家莱布尼兹变为符号逻辑。然而没有多少人了解莱布尼兹的这项工作。到了19世纪，布尔（Boole）和德摩根（De Morgan）独立地完成了命题逻辑的符号化工作。3） 莱布尼兹的梦想：17世纪末德国数学家莱布尼兹（Leibniz）曾梦想把推理变成一种演算（calculus），以化解人们之间的观念冲突和争辩。为了实现这个梦想，他认为需要发展两个工具，一个是可描述所有的命题的通用语言，一个是论证命题真假的推理演算系统。莱布尼兹确信他可以在5年之内发展出这两个工具。事实上，他发展了一些基础性的理论和方法，但在当时并不为人所知，对后人的研究工作没有产生影响。4） 欧拉圆圈法：18世纪著名数学家欧拉提出了一种优雅的判断三段论有效性的方法，称为欧拉圆圈法（method of Euler circles），见下图。SM73 251 64 P这三个圆圈分别表示结论主词S、结论谓词P和中间项M（所对应的类）。两个圆圈的重叠部分表示一个类的部分成员隶属于另一类。例：设某三段论的大前提为“所有M是P”，小前提为“所有S是M”，结论为“所有S是P”。我们用欧拉圆圈法判断其有效性如下。根据大前提可知3号和5号区域为空，根据小前提可知1号和7号区域为空。由于3号和7号区域为空，所以S类完全包含于P类之中。于是得结论，所有S都是P。5） 布尔代数：在研究亚里士多德逻辑学时，19世纪爱尔兰数学家乔治布尔（George Boole）想到了一种很有创意的代数分析方法。用变元表示类，常元1表示所有对象组成的类，0表示空类，即不含任何对象的类；设定满足几条运算定律的3种对于类的基本运算：并x+y、交xy、差x-y；亚里士多德三段论所处理的主谓命题表示为类的代数方程。例如，若s是主语所指代的所有对象组成的类，p是谓语所定义的类，即所有使谓语成立的对象，则方程sp=0表示s中任何对象都不满足谓语p。推理变成了由表示前提的方程判断表示结论的方程是否成立的代数演算。这就是布尔首先提出的逻辑代数化方法，成功地将亚氏三段论形式化为一个代数系统。这一转变所带来的好处是，用很少的几个代数定律就可以判断所有可能的256种三段论的对错。事实上，用布尔的代数演算系统成功地找出了亚里士多德的19种三段论中的两个错误。布尔（George Boole）的方法实质上是将逻辑学转化为一种代数，用代数公式表示命题，用代数运算实现推理（参考维基百科）。1848年布尔发表了他的第一篇关于符号逻辑的论文The Mathematical Analysis of Logic，1854年发表了他的名著The Laws of Thoughts。可以说，这些工作实现了命题逻辑的代数化。6） 第二次数学危机：17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹共同创立了微积分理论，该理论成为研究物理学的得力工具，解决了大量工程技术问题，大大推进了让资本主义彻底打败封建主义的工业革命。然而其理论的严谨性也受到了人们的质疑。微积分是关于无穷小的运算理论。无穷小是什么？两位奠基人都没有给出明确的解释。英国哲学家、伦敦大主教贝克莱发表文章批评牛顿的流数（现在称为导数）概念是建立在无穷小这个幽灵的基础上。当时的法国数学家罗尔（Rolle）也说，微积分中充满了巧妙的谬论（ingenious fallacies）。（回顾罗尔定理（1691年）：可微曲线上任意两点之间一定存在一点，其导数等于过这两点的直线的斜率。）历史上的这场由于无穷小概念所引发的关于微积分的争议被后人称为第二次数学危机。7） 英雄时代：这个危机像乌云一样笼罩在整个18世纪的数学家们的头上。然而这一时期正是工业革命的大发展时期，数学和微积分在实际应用领域找到了用武之地。在实际问题的推动下，18世纪的数学得到前所未有的大发展，一颗颗数学巨星冉冉升起，其中包括英国的泰勒、马克劳林，瑞士的贝努利家族、欧拉，法国的棣莫弗（读作di mo fu）、达朗贝尔和著名的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒让德，还有18世纪末德国的数学王子高斯（1777年4月30日-1855年2月23日）。他们发展了牛顿-莱布尼兹的微积分理论，开辟了一个又一个研究领域，提出了一个又一个定理和方法，解决了一个又一个实际问题，让数学成为受人世人瞩目的显学。18世纪的数学家们，在没有严谨的逻辑保障下，像英雄一样勇往直前，攻城略地，将数学的威名传播到各个实践领域，因此，后人把18世纪称为数学的英雄时代。 8） 构建数学基础：19世纪是反思数学基础的时代。（1）柯西的极限概念：20年代开始，法国数学家柯西致力于将微积分理论进行严谨化。他提出了极限概念，将无穷小视为一个变量，其变化的趋势是收敛于0，从而消解了第二次数学危机的百年迷雾。（中国古人很早就有了极限思想，战国时期的庄子说过，“一尺之杵，日取其半，万世不竭”；中国汉朝数学家祖冲之在计算圆周率时采用的也是极限思想。）（2）戴德金的实数概念：然而还有其它许多概念需要澄清，包括“无理数”、“连续性”，等等。高斯的同乡戴德金在1872年发表了小册子连续性与无理数，给出了无理数和实数连续性的定义，并把直线视为实数集的几何模型，从而实数集成为直线的分析模型。（3）皮亚诺的算术：意大利数学家皮亚诺（1858-1932）为初等算术建立了一个严谨的公理化数学理论，现在称为皮亚诺算术。（4）布尔的命题代数：与此同时，一部分数学家开始尝试为逻辑学建立数学理论，包括前面提到的德摩根和布尔，他们的工作属于今天所称的命题逻辑。（5）弗雷格的谓词逻辑：命题逻辑不处理命题中的量词，如“所有”、“存在一个”，等等。这属于谓词逻辑处理的问题。谓词逻辑的创始人是德国数学家弗雷格（1848-1925），是19世纪最伟大的逻辑学家。正是由于他对数学和语言的逻辑分析工作，使人们看到了逻辑是数学的基础，数学概念的定义从逻辑开始。1879年发表概念演算一种按算术语言构成的思维符号语言，1884年发表算术的基础对于数的概念的逻辑数学分析，1893年算术的基本定律第一卷。弗雷格的工作还促进了近代哲学研究转向到对语言进行逻辑分析上。这被称为近代哲学的语言转向。因此，弗雷格是数理逻辑奠基人和现代语言哲学和分析哲学的开创者。（6）康托的集合论：德国数学家康托（1845-1918）为整个数学找到了一个最基本的概念集合，用这个概念可以定义其它几乎所有的数学概念，包括自然数、函数等等。1874年29岁的康托发表了一篇论文，开创了一门新的数学与逻辑学分支集合论。（7）希尔伯特的几何基础：在19世纪的最后一年，德国数学家希尔伯特发表了具有划时代意义的巨著几何基础，用5组共20条公理将欧几里得的不太严谨的直观几何学改造为严谨抽象的公理几何学。至此，数学的基础已经初步建立起来。（8）新的挑战：第二次数学危机终结了，数学的基础建立起来了，新的世纪也恰好到来了。1900年，世界各国数学家汇聚巴黎，交流成果，共祝胜利，展望新世纪的数学未来。会上，希尔伯特向20世纪的数学家们汇报了当前数学中还存在的23个重要问题。然而希尔伯特和与会的数学家们都没有注意到，在数学的基础中还存在着一个致命的问题。这个问题将导致第三次数学危机。现代数理逻辑将在这场危机中浴火重生，并引起人们思维观念上的革命性的改变。9） 现代数理逻辑：受到第二次和第三次数学危机的刺激，现代数理逻辑不仅仅研究推理，还研究一个理论的概念系统的合理性和公理系统的合理性，其直接动机是为数学建立坚实的基础，祛除传统数学中的悖论。现代数理逻辑有若干分支，包括：（1）经典逻辑。主要包括命题逻辑和谓词逻辑等两