2005年考研高数一真题及解析.pdf

郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 1 页 2005 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考数学试题参考答案和答案和评分评分参考参考 数数 学 一 学 一 一 填空题一 填空题 本题共本题共 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 曲线 12 2 x x y的斜渐近线方程为 11 24 yx 2 微分方程xxyyxln2 满足 9 1 1 y的解为 1 ln 33 x yx 3 设函数 18126 1 222 zyx zyxu 单位向量 1 1 1 3 1 n 则 3 2 1 n u 3 3 4 设 是由锥面 22 yxz 与半球面 222 yxRz 围成的空间区域 是 的 整个边界的外侧 则 zdxdyydzdxxdydz 3 22 R 5 设 321 均为 3 维列向量 记矩阵 321 A 93 42 321321321 B 如果1 A 那么 B 2 6 从数 1 2 3 4 中任取一个数 记为 X 再从X 2 1 中任取一个数 记为 Y 则 2 YP 13 48 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一个是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内有一个是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设函数 n n n xxf 3 1lim 则 f x在 内 C A 处处可导 B 恰有一个不可导点 C 恰有两个不可导点 D 至少有三个不可导点 8 设 F x是连续函数 f x的一个原函数 NM 表示 M 的充分必要条件是 N 则必有 A A F x是偶函数 f x是奇函数 B F x是奇函数 f x是偶函数 C F x是周期函数 f x是周期函数 D F x是单调函数 f x是单调函数 9 设函数 x y x y u x yxyxyt dt 其中函数 具有二阶导数 具有 一阶导数 则必有 B 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 2 页 A 2 2 2 2 y u x u B 2 2 2 2 y u x u C 2 22 y u yx u D 2 22 x u yx u 10 设有三元方程1ln xz eyzxy 根据隐函数存在定理 存在点 0 1 1 的一个邻域 在此邻域内该方程 D A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 zz x y B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 yy x z 和 zz x y C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 xx y z 和 zz x y D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 xx y z 和 yy x z 11 设 21 是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 21 则 1 12 A 线性无关的充分必要条件是 B A 0 1 B 0 2 C 0 1 D 0 2 12 设A为n 2 n 阶可逆矩阵 交换A的第1行与第2行得矩阵B B A分别为 A B的 伴随矩阵 则 C A 交换 A的第 1 列与第 2 列得 B B 交换 A的第 1 行与第 2 行得 B C 交换 A的第 1 列与第 2 列得 B D 交换 A的第 1 行与第 2 行得 B 13 设二维随机变量 X Y 的概率分布为 Y X 0 1 0 0 4 a 1 b 0 1 已知随机事件 0 X与 1 YX相互独立 则 B A a 0 2 b 0 3 B a 0 4 b 0 1 C a 0 3 b 0 2 D a 0 1 b 0 4 14 设 2 21 nXXX n 为来自总体 N 0 1 的简单随机样本 X为样本均值 2 S为样 本方差 则 D A 1 0 NXn B 22 nnS C 1 1 nt S Xn D 1 1 1 2 2 2 1 nF X Xn n i i 三 解答题解答题 本题共本题共 9 小题 满分小题 满分 94 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 11 分分 设 0 0 2 22 yxyxyxD 1 22 yx 表示不超过 22 1yx 的最 大整数 计算二重积分 D dxdyyxxy 1 22 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 3 页 解法解法 1 42 2232 2 0 0 1 sincos 1 D xyxy dxdydrr dr 3 分 42 32 2 0 0 sin cos 1 drr dr 5 分 4 12 33 0 1 1 2 2 r drr dr 10 分 3 8 11 分 解法解法 2 记 22 1 1 0 0 Dx yxyxy 0 0 21 22 2 yxyxyxD 则有 22 1 1 1 xyx yD 22 2 1 2 xyx yD 4 分 于是 12 22 1 2 DDD xyxy dxdyxydxdyxydxdy 6 分 4 12 33 22 0 00 1 sin cos2sin cosdrdrdrdr 9 分 8 3 4 1 8 1 11 分 16 本题满分本题满分 12 分分 求幂级数 1 21 12 1 1 1 n nn x nn 的收敛区间与和函数 f x 解解 因为 1 21 1 21 lim1 1 21 21 1 n nnnn nnnn 所以当 2 1x 时 原级数绝对收敛 当 2 1x 时 原级数发散 因此原级数的收敛半径为 1 收敛区间为 1 1 3 分 记 1 2 1 1 1 1 2 21 n n n S xxx nn 则 1 21 1 1 1 1 21 n n n S xxx n 122 2 1 1 1 1 1 1 nn n Sxxx x 6 分 由于 0 0 0 0S S 所以 2 00 1 arctan 1 xx S xS t dtdtx t 2 00 1 arctanarctanln 1 2 xx S xS t dttdtxxx 9分 又 2 12 2 1 1 1 1 1 nn n x xx x 11 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 4 页 从而 2 2 2 1 x f xS x x 2 2 2 2 arctanln 1 1 1 1 x xxxx x 12分 17 本题满分本题满分 11 分分 如图 曲线 C 的方程为 yf x 点 3 2 是它的一个拐点 直线 1 l与 2 l分别是曲线 C 在点 0 0 与 3 2 处的切线 其交点为 2 4 设函数 f x具有三阶连续导数 计算定积分 3 0 2 dxxfxx 解解 3 3 0 xx fx dx 3 23 0 0 21 xx fxxfx dx 2 分 3 0 21 xfx dx 4 分 3 3 0 0 21 2 xfxfx dx 6 分 3 0 2 2 2 7 dxxf 8 分 3 0 162 f x 20416 11 分 18 本题满分本题满分 12 分分 已知函数 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 0 0f 1 1f 证明 I 存在 1 0 使得 1 f II 存在两个不同的点 1 0 使得 1 ff 证证 I 令 1g xf xx 则 g x在 0 1 上连续 且 0 10 1 10gg 所以存在 0 1 使得 10gf 3 分 即 1f 5 分 II 根据拉格朗日中值定理 存在 0 1 使得 0 1 ff f 1 11 ff f 11 分 从而 1 1 1 ff 12 分 19 本题满分本题满分 12 分分 设函数 y 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上 曲线积分 L yx xydydxy 42 2 2 的值恒为同一常数 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 5 页 I 证明 对右半平面 x 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有0 2 2 42 C yx x y d ydxy II 求函数 y 的表达式 I 证证 如图 设C是半平面0 x内的任一分段光滑简单闭曲线 在C上任意取定两 点 M N 作围绕原点的闭曲线 MQNRM 同时得到另一围绕原点的闭曲线 MQNPM 根据题设可知 2424 2 2 0 22 MQNRMMQNPM y dxxydyy dxxydy xyxy 根据第二类曲线积分性质 利用上式可得 24 2 2 c y dxxydy xy 2424 2 2 22 NRMMPN y dxxydyy dxxydy xyxy 2424 2 2 22 NRMNPM y dxxydyy dxxydy xyxy 2424 2 2 0 22 MQNRMMQNPM y dxxydyy dxxydy xyxy 4 分 II 解解 设 2424 2 22 yxy PQP Q xyxy 在单连通区域0 x 内具有一阶连续偏导数 由 I 知 曲线积分 24 2 2 L y dxxydy xy 在该区域内与路径无关 故当0 x 时总有 QP xy 6 分 2425 242242 2 2 4242 2 2 Qyxyxxyx yy xxyxy 243243 24 224 2 2 4 2 4 2 2 Pyxyy yxyy yy y yxyxy 9 分 比较 两式右端的系数 得 435 2 4 2 yy y yy yy 由 得 2 yyc 将 y 代入 得 535 242ycyy 11 分 所以0c 从而 2 yy 12 分 20 本题满分本题满分 9 分分 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 1 22 1 1 xxaxxaxaxxxf 的秩为 2 I 求a的值 II 求正交变换Qyx 把 321 xxxf化成标准形 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 6 页 III 求方程 321 xxxf 0 的解 解解 I 由于二次型f的秩为 2 对应的矩阵 110 110 002 aa Aaa 的秩为 2 所以有 11 40 11 aa a aa 得0a 2 分 II 当0a 时 110 110 002 A EA 110 110 002 2 2 4 分 可知A的特征值为 123 2 0 A的属于 12 2 的线性无关的特征向量为 TT 12 1 1 0 0 0 1 A 的属于 3 0 的线性无关的特征向量为 T 3 1 1 0 易见 123 两两正交 将 123 单位化得 TTT 121 11 1 1 0 0 0 1 1 1 0 22 eee 取 123 Qe e e 则Q为正交矩阵 令xQy 得 22222 1231 1223312 22f x x xyyyyy 7 分 III 解法解法 1 在正交变换xQy 下 123 0f x x x 化成 22 12 220yy 解之得 12 0yy 从而 T 1233 3 33 00 0 0 1 1 0 xQe e ey ek yy 其中k为任意常数 9 分 解法解法 2 由于 22222 1231231 2123 22 20f x x xxxxx xxxx 所以 12 3 0 0 xx x 其通解为 T 1 1 0 xk 其中k为任意常数 9 分 21 本题满分本题满分 9 分分 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是cbacba 不全为零 矩阵 k B 63 642 321 k为常数 且0AB 求线性方程组0Ax 的通解 解解 由0AB 故3 BrAr 又 a b c不全为零 可知 1r A 当9k 时 则2 Br 于是1r A 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 7 页 当9k 时 则1 Br 于是1r A 或2r A 2 分 对于9k 由0AB 可得 1 20 3 A 和 3 60A k 由于 TT 12 1 2 3 3 6 k 线性无关 故 2 为0Ax 的一个基础解系 于是0Ax 的通解为 1 122 xcc 其中 12 c c为任意常数 5 分 对于9k 分别就1r A 和2r A 进行讨论 如果2r A 则0Ax 的基础解系由一个向量构成 又因为 1 20 3 A 所以0Ax 的通解为 T 1 1 2 3 xc 其中 1 c为任意常数 7 分 如果1r A 则0Ax 的基础解系由两个向量构成 又因为A的第一行为 a b c且 a b c不全为零 所以0Ax 等价于 123 0axbxcx 不妨设0a TT 12 0 0 b aca 是0Ax 的两个线性无关的解 故0Ax 的通解为 1 122 xcc 其中 12 c c为任意常数 9 分 22 本题满分本题满分 9 分分 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 01 02 0 xyx f x y 其 他 求 I X Y 的边缘概率密度 yfxf YX II YXZ 2的概率密度 zfZ 解解 见数学三 22 题 I 和 II 23 本题满分本题满分 9 分分 设 12 2 n X XX n 为来自总体 N 0 1 的简单随机样本 X为样本均值 记 1 2 ii YXX in 求 I i Y的方差 1 2 i DY in II 1 Y与 n Y的协方差 1n YYCov 解解 参见数学三 23 题 I 和 II 只需将其中的 2 当作 1 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 8 页 数数 学 二 学 二 一 一 填空题填空题 本题本题 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 1sin xyx 则 x dy dx 2 曲线 3 2 1 x y x 的斜渐近线方程为 3 2 yx 3 1 022 2 1 xdx xx 4 4 同数学一 2 题 5 当0 x 时 2 xkx 与 1arcsincosxxxx 是等价无穷小 则 3 4 k 6 同数学一 5 题 二 选择题二 选择题 本题共本题共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 同数学一 7 题 8 同数学一 8 题 9 设函数 yy x 由参数方程 2 2 ln 1 xtt yt 确定则曲线 yy x 在3x 处的法线与x 轴交点的横坐标是 D A 1 ln23 8 B 1 ln23 8 C 8ln23 D 8ln23 10 设区域 4 0 Dx yxyxyo f x为D上的正值连续函数 a b为常 数 则 D af xbf y d f xf y B A ab B 2 ab C ab D 2 ab 11 同数学一 9 题 12 设函数 1 1 1 x x f x e 则 D A 0 1xx 都是 f x的第一类间断点 B 0 1xx 都是 f x的第二类间断点 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 9 页 C 0 x 是 f x的第一类间断点 1x 是 f x的第二类间断点 D 0 x 是 f x的第二类间断点 1x 是 f x的第一类间断点 13 同数学一 11 题 14 同数学一 12 题 三 解答题三 解答题 本题共本题共 9 小题 满分小题 满分 94 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 11 分分 设函数 f x连续 且 0 0f 求极限 0 0 0 lim x x x xt f t dt xf xt dt 解解 原式 00 0 0 lim xx x x xf t dttf t dt xf xt dt 2 分 00 0 0 lim xx x x xf t dttf t dt xtu xf u dt 设 4 分 00 0 0 lim xx x x f t dtxf xtf t dt xf u dt 洛必达法则 7 分 0 0 lim x xf xfxf x 微分中值定理 10 分 0 0 0 f ff 1 2 11 分 16 本题满分本题满分 11 分分 如图 12 CC和分别是 1 1 2 xx yeye 和的图像 过点 0 1 的曲线 3 C是一单增的函数图像 过 1 C上任意一点 M x y分别作垂直于x轴和y轴的直线 xy ll和 记 12 C C与 x l所 围图形的面积为 1 S x 23 CC与 y l图形的面积为 2 Sy 如果总 有 12 S xSy 求曲线 3 C的方程 xy 解解 由题设 12 S xSy 知 01 1 1 ln 2 xy xx eedxyy dx 即 01 11 ln 22 xy x edxyy dy 5 分 两边对x求导 得 11 ln 22 x dy eyy dx 8 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 10 页 由 x ye 得 11 22 xxx exee 于是 11 22 x x ex e 10 分 从而 11 ln 22 yy y 故 3 C的方程为 11 ln 22 xy y 11 分 17 本题满分本题满分 11 分分 同数学一 17 题 18 本题满分本题满分 12 分分 用变量替换cos 0 xtt 化简微分方程 2 1 0 xyxyy 并求其满足 00 1 2 xx yy 的特解 解解 11 sin dydydy y dx dxdtt dt dt 1 ddy y dx dx dx dt 22 22223 cos111cos sinsinsinsinsin t dyd yd yt dy t dtt dttt dtt dt 3 分 将 y y 代入原方程 得 2 2 223 1coscos 1 cos 0 sinsinsin d yt dyt dy ty t dtt dtt dt 即 2 2 0 d y y dt 5 分 其特征方程为 2 10 解得 i 于是此方程的通解为 12 cossinyCtCt 8 分 从而原方程的通解为 2 12 1yC xCx 10 分 由于 00 1 2 xx yy 得 12 2 1CC 故所求方程的特解为 2 21yxx 12 分 19 本题满分本题满分 12 分分 同数学一 18 题 20 本题满分本题满分 11 分分 已知函数 zf x y 的全微分22dzxdxydy 并且 1 1 2f 求 f x y在椭圆域 2 2 1 4 y Dx yx 上的最大值和最小值 解法解法 1 由22dzxdxydy 可知 22 zf x yxyC 再由 1 1 2f 得2C 故 22 2zf x yxy 3 分 令 20 20 ff xy xy 解得驻点 0 0 5 分 在椭圆 2 2 1 4 y x 上 22 4 4 2zxx 即 2 52 11 zxx 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 11 页 其最大值为 1 3 x z 最小值为 0 2 x z 8 分 再与 0 0 2f 比较 可知 f x y在椭圆域D上的其最大值为 3 最小值为 2 10 分 解法解法 2 同解法 1 得驻点 0 0 5 分 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆 2 2 1 4 y x 上的极值 设 2 222 2 1 4 y Lxyx 6 分 令 2 2 220 20 2 10 4 x y Lxx Lyy Lx 解得 4 个可能的极值点 0 2 0 2 1 0 和 1 0 8 分 又 0 2 2 0 2 2 1 0 3 1 0 3ffff 再与 0 0 2f 比较 得 f x y 在椭圆域D上的其最大值为 3 最小值为 2 10 分 21 本题满分本题满分 9 分分 计算二重积分 22 1 D xyd 其中 01 01 Dx yxy 解解 如图 将D分成 1 D与 2 D两部分 11 222222 1 1 1 D DD xydxydxy d 2分 由于 1 11 222 00 1 1 8 D xyddxrrdr 4 分 2 2 11 2222 01 1 1 x D xy ddxydy 6分 2 33 11 2122 2 100 22 1 333 x y x yydxxxdx 3 11 22 2 00 2212 1 3333 xdxxdxI 其中 3 1 24 22 00 3 13 1 sincos 4 2 216 Ixdxxttdt 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 12 页 所以 2 22 12 31 1 33 1683 D xyd 8分 因此 22 11 1 88343 D xyd 9分 22 本题满分本题满分 9 分分 确 定 常 数a 使 向 量 组 TTT 123 1 1 1 1 1 1 aaa 可 由 向 量 组 TTT 123 1 1 2 4 2 aaa a 线性表示 但是向量组 123 不能由向量 组 123 线性表示 解法解法 1 记 12323 AB 由于 123 不能由向量组 123 线 性表示 故秩 3r A 从而 2 1 2 0Aaa 所以1a 或2a 4 分 当1a 时 T 1231 1 1 1 故 123 可由 123 线性表示 但 T 2 2 1 4 不能由 123 线性表示 所以1a 符合题意 7 分 当2a 时 由于 122112122112 122121006033 242211000033 B A 考虑线性方程组 2 Bx 因为秩 2r B 秩 3r B A 所以方程组 2 Bx 无解 即 2 不能由 123 线性表示 与题设矛盾 因此1a 9 分 解法解法 2 记 12323 AB 对矩阵 A B 施行初等行变换 2 11122122122 111011022 1140110243 a A Baaaaaaa aaaaaaa 122122 011022 00 1 2 03642 aaaa aaaa 由于 123 不能由 123 线性表示 故 3r A 因此1a 或2a 4 分 当1a 时 1 1 1 122122122 1 1 1 111000033 1 1 1 141000003 A B 考虑线性方程组 2 Ax 因为秩 1r A 秩 2 2r A 所以方程组 2 Ax 无解 所 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 13 页 以 2 不能由 123 线性表示 另一方面 由于90B 故 1 2 3 i Bx 有唯一解 即 123 可由 123 线性表示 所以1a 符合题意 7 分 当2a 时 112122122122 121122033000 211242000006 A B 考虑线性方程组 2 Bx 有 2 12211221 12220003 24210060 B 由于 2r B 秩 2 3r B 故方程组 2 Bx 无解 即 2 不能由 123 线性表示 与题设矛盾 因此1a 9 分 23 本题满分本题满分 9 分分 同数学一 21 题 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 14 页 数数 学 学 三三 一 填空题一 填空题 本题本题 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 极限2 1 2 sinlim 2 x x x x 2 微分方程0 xyy 满足初始条件 1 2y 的特解为2 xy 3 设二元函数 1 ln 1 x y zxexy 则dyeedxdz 2 2 0 1 4 设行向量组 2 1 1 1 2 1 a a 3 2 1 a 4 3 2 1 线性相关 且 a1 则 a 2 1 5 同数学一 6 题 6 设二维随机变量 X Y 的概率分布为 Y X 0 1 0 0 4 a 1 b 0 1 若随机事件 0 X与 1 YX相互独立 则a 0 4 b 0 1 二 选择题 本题共二 选择题 本题共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 当a取下列哪个值时 函数 32 2912f xxxxa 恰有两个不同的零点 B A 2 B 4 C 6 D 8 8 设 cos cos cos 2 22 3 22 2 22 1 dyxIdyxIdyxI DDD 其中 1 22 yxyxD 则 A A 123 III B 321 III C 312 1 III D 213 III 9 设 2 1 0 nan若 1n n a发散 1 1 1 n n n a 收敛 则 D A 1 12 n n a收敛 1 2 n n a发散 B 1 2 n n a收敛 1 12 n n a发散 C 1 212 n nn aa收敛 D 1 212 n nn aa收敛 10 设 sincosf xxxx 下列命题中正确的是 B 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 15 页 A f 0 是极大值 f 2 是极小值 B f 0 是极小值 f 2 是极大值 C f 0 是极大值 f 2 也是极大值 D f 0 是极小值 f 2 也是极小值 11 以下四个命题中 正确的是 C A 若 x f 在 0 1 内连续 则 xf在 0 1 内有界 B 若 xf在 0 1 内连续 则 xf在 0 1 内有界 C 若 x f 在 0 1 内有界 则 xf在 0 1 内有界 D 若 xf在 0 1 内有界 则 x f 在 0 1 内有界 12 设矩阵 3 3 ijx Aa 满足 T AA 其中 A为A的伴随矩阵 T A为A的转置矩阵 131211 aaa为三个相等的正数 则 11 a为 A A 3 3 B 3 C 3 1 D 3 13 同数学一 13 题 14 设一批零件的长度服从正态分布 2 N 其中 2 均未知 现从中随机抽取 16 个零件测得样本均值x 20 cm 样本标准差 s 1 cm 则 的置信度为 0 90 的置信区 间是 C A 16 4 1 20 16 4 1 20 05 005 0 tt B 16 4 1 20 16 4 1 20 1 01 0 tt C 15 4 1 20 15 4 1 20 05 005 0 tt D 15 4 1 20 15 4 1 20 1 01 0 tt 三 解答题三 解答题 本题共本题共 9 小题 满分小题 满分 94 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本本题满分题满分 8 分分 求 1 1 1 lim xe x x x 解解 1 1 1 lim xe x x n 1 1 lim 22 x x ex exx 2 2 1 lim x exx x x 3 分 x ex x x 2 21 lim 5 分 2 2 lim x x e 7 分 2 3 8分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 16 页 16 本题满分本题满分 8 分分 设 f u 具有二阶连续导数 且 g x y yx fyf xy 求 2 2 2 2 2 2 y g y x g x 解解 2 y x f x y f x y x g 1 分 1 2 4 2 32 2 y x f yx y f x y x y f x y x g 3 分 1 y x f y x y x f x y f xy g 4 分 1 3 2 2222 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f xy g 1 3 2 2 y x f y x x y f x 6 分 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 y x f y x x y f x y y x f y x x y f x y x y f x y y g y x g x 2 x y f x y 8 分 17 本题满分本题满分 9 分分 同数学二 21 题 18 本题满分本题满分 9 分分 求幂级数 n n x n 2 1 1 12 1 在区间 1 1 内的和函数 S x 解解 设 S x n n x n 2 1 1 12 1 S1 x 1 2 12 n n n x S2 x 2 1 n n x 则 1 1 21 xxSxSxS 由于 1 2 2 1 2 2 x x xxS n n 3 分 2 2 1 2 1 1 1 1 n n x xS xxx x 因此 1 xxS 1 1 ln 2 1 1 0 2 2 x x xdt t t x 6 分 又由于 1 S 0 0 故 1 S x 0 0 1 0 1 1 ln 2 1 1 x x x x x 所以 S x 1 S x 2 S x 0 0 1 0 1 1 1 1 ln 2 1 2 x x xx x x 9 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 17 页 19 本题满分本题满分 8 分分 设 f x g x在 0 1 上的导数连续 且 0 0f 0fx 0g x 证明 对任 何 1 0 a 有 1 00 1 a g x fx dxf x g x dxf a g 证法证法 1 设 1 00 1 0 1 x F xg t f t dtf t g t dtf x gx 2分 则 F x在 0 1 上的导数连续 并且 1 1 F xg x fxfx gfx g xg 由于 1 0 x时 0 0fxg x 因此 0 F x 即 F x在 0 1 上单调递减 4 分 注意到 11 00 1 1 1 Fg t f t dtf t g t dtfg 而 111 1 0 000 g t f t dtg t df tg t f xf t g t dt 1 0 1 1 fgf t g t dt 7 分 故 1 0F 因此 1 0 x时 0F x 由此可得对于任何 1 0 a有 1 00 1 a g x fx dxf x g x dxf a g 8 分 证法证法 2 0 00 aa a g x fx dxg x f xf x g x dx 0 a f a g af x g x dx 2分 1 00 a g x fx dxf x g x dx 1 00 a f a g af x g x dxf x g x dx 1 a f a g af x g x dx 4 分 由于 1 0 x时 0fx 因此 f x在 0 1 上单调递增 1 axafxf 又由于 1 0 x时 0g x 因此 1 f x g xf a g x xa 所以 11 0 1 a f x g x dxf a g x dxf a gg a 7分 从而 1 00 a g x fx dxf x g x dx 1 aggafagaf 1 gaf 8 分 20 本题满分本题满分 13 分分 已知齐次线性方程组 123 123 123 230 2350 0 xxx ixxx xxax 和 123 2 123 0 2 1 0 xbxcx ii xb xcx 同解 求 a b c的值 解解 方程组 ii 的未知量的个数大于方程的个数 故方程组 ii 有无穷多个解 因为方程组 i 与 i 同解 所以方程组 i 的系数矩阵的秩小于 3 2 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 18 页 对方程组 i 的系数矩阵施以等行变换 200 110 101 11 532 321 aa 5 分 从而2a 此时 方程组 i 的系数矩阵可化为 000 110 101 211 532 321 故 T 1 1 1 是方程组 i 的一个基础解系 7 分 将1 1 1 321 xxx代入方程组 ii 可得 b 1 c 2 或 b 0 c 1 9 分 当 b 1 c 2 时 对方程组 ii 的系数矩阵施以初等行变换 有 110 101 312 211 11 分 故方程组 i 与 ii 同解 当 b 0 c 1 时 方程组 ii 的系数矩阵可化为 000 101 202 101 故方程组 i 与 ii 的解不相同 综上所述 当 a 2 b 1 c 2 时 方程组 i 与 ii 同解 13 分 21 本题满分本题满分 13 分分 设 BC CA D T 为正定矩阵 其中 A B 分别为 m 阶 n 阶对称矩阵 C 为nm 矩阵 I 计算 DPPT其中 n T m EAC OE P 1 II 利用 I 的结果判断矩阵CACB T1 是否为正定矩阵 并证明你的结论 解解 I n mT EO CAE P 1 2分 T P DP 1 1 m m TT n n EOACEA C C AECBOE n m T EO CAE CACBO CA 1 1 4 分 1T AO OBC A C 6 分 矩阵CACB T1 是正定矩阵 8 分 由 I 的结果可知 矩阵 D 合同于矩阵 CACBO OA M T1 又 D 为正定矩阵 可知矩阵 M 为正定矩阵 10 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 19 页 因矩阵 M 为对称矩阵 故CACB T1 为对称矩阵 对 0 0 0 TX 及任意的 12 0 T n Yy yy 有 0 1 Y X CACBO OA YX T TT 11 分 即 0 1 YCACBY TT 故 CACB T1 为正定矩阵 13 分 22 本题满分本题满分 13 分分 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 01 02 0 xyx f x y 其 他 求 I X Y 的边缘概率密度 XY fxfy II Z 2X Y 的概率密度 Z fz III 11 22 P YX 解解 I 当10 x时 xfX dyyxf x dy 2 0 x2 当0 x或1 x时 0 xfX 故 10 0 2 其他 xx xfX 2 分 当20 y时 yfY dxyxf 1 2 2 1 y y dx 当0 y或2 y时 0 yfY0 xfX 故 20 0 2 1 其他 y y yfY 4 分 II 解法解法 1 当0 z时 0 zFZ 5 分 当2 z时 1 zFZ 6 分 当20 z时 4 2 2 2 z zdxdyyxfzYXPzF zyx Z 8 分 故 20 0 2 1 1 其他 z z xFzfZ 9 分 解法解法 2 dxzxxfzfZ 2 其中 101 02 2 0 xzx f xxz 其 它 6 分 当0 z或2 z时 0 zfZ 8 分 当20 z时 1 2 2 1 z Z z dxzf 故 1 021 2 0 Z zz fz 其他 9 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 20 页 III 2 1 2 1 XYP 11 22 1 2 P xy P x 11分 4 3 4 1 16 3 13 分 23 本题满分本题满分 13 分分 设 12 2 n XXX n 为来自总体 0 2 N的简单随机样本 其样本均值为X 记 1 2 ii YXX in I 求 i Y的方差 1 2 i DY in II 求 1 Y与 n Y的协方差 Cov 1 Y n Y III 若 2 1 n YYc 是 2 的无偏估计量 求常数 c 解解 由题设 知 12 2 n X XX n 相互独立 且0 1 1 2 ii EXDXin 0 XE I XXDDY ii ik ki X n X n D 1 1 1 2 分 2 1 1 2 ni n n 4 分 II Cov 1 Y n Y 11nn EYYEY EY 1 n EYY 5 分 1 XXXXE n 1 2 1 XXEXXEXEXXE nn 7 分 1 1 1 2 2 1 2 11n n i in XE n XXE n XE n XDEXEX 1 1 1 n i niX XE n 2 1 n 9 分 III 1 2 1nn YYcDYYcE Cov2 11nn YYDYDYc 11分 2 211 nn n n n c 2 2 2 c n n 2 故 2 2 n n c 13 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 21 页 数数 学 四 学 四 一 填空题一 填空题 本题本题 6 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 24 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 同数学三 1 题 2 同数学三 2 题 3 同数学三 3 题 4 同数学三 4 题 5 同数学一 5 题 6 同数学三 5 题 二 选择题 本二 选择题 本题共题共 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 32 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一个是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内有一个是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 同数学三 7 题 8 同数学三 8 题 9 下列结论中正确的是 D A 1 1 xx dx 与 1 0 1 xx dx 都收敛 B 1 1 xx dx 与 1 0 1 xx dx 都发散 C 1 1 xx dx 发散 1 0 1 xx dx 收敛 D 1 1 xx dx 收敛 1 0 1 xx dx 发散 10 同数学三 10 题 11 同数学三 11 题 12 设A B C均为n阶矩阵 E为n阶单位矩阵 若B E AB C A CA 则B C为 A A E B E C A D A 13 同数学一 13 题 14 设 n XXX 21 为独立同分布的随机变量列 且均服从参数为 1 的指数分 布 记 x 为标准正态分布函数 则 C A lim 1 xx n nX P n i i n B lim 1 xx n nX P n i i n 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 2005 年数学试题参考答案和评分参考 2005 年 第 22 页 C lim 1 xx n nX P n i i n D