2013年高中数学教学论文 等差数列前n项和公式的两个侧重.pdf

等差数列前 n 项和公式的两个侧重 等差数列前 n 项和公式的两个侧重 摘要 本文从在思想方法的角度给出了等差数列前 n 项和两个公式的侧重点 关键词 等差数列 思想 前 n 项和公式 我们知道 教材就等差数列前 n 项和给出了两个公式 设等差数列 n a的前 n 项和公式和 为 公差为 则 n Sd nN 1 1 2 n n n Snad 公式一 1 2 n n aa S n n和 公式二 这两个公式在解决问题时如何使用 下面举例说明 以下 不再说明 m n p qN 一 侧重于函数方程思想的公式一 1 方程思想 一 侧重于函数方程思想的公式一 1 方程思想 所谓方程思想就是将题目条件运用前 项和公式 表示成关于首项a1公差d的两个方程 通过解决方程来解决问题 例 1 已知 an 为等差数列 前 10 项的和S10 100 前 100 项的和S100 10 求前 110 项的和S110 剖析 方程的思想 将题目条件运用前n项和公式 表示成关于首项a1和公差d的两个方程 解析 设 an 的首项为a1 公差为d 则 100910 1 10da 1099100 2 1 100 2 1 1 da 解得 100 1099 50 11 1 d a 2 1 S110 110a1 110 109d 110 拓展 观察结构特点 将公式一做如下变形 拓展 观察结构特点 将公式一做如下变形 11 1 1 22 n n Sn nd Snadan n 在处理问题是会更方便 在处理问题是会更方便 例 2 如果等差数列 的前 n a4 项和是 2 前 9 项和是6 求其前 n 项和公式 解 由变形公式得 dn S n S d SS n 4 2 1 4 49 2 1 49 4 49 2 1 代入得 2 1nnSn 30 43 30 7 2 9 2 94 SS将 用心 爱心 专心 1 2 函数思想 2 函数思想 将 2 11 1 222 n n ndd Snadnan 当 0d 数列为常数列 当 则于 n 的二次函数 若令 n a0d n S是关 1 22 dd ABa 例题 3 设等差数列 则 2 An此时可利用二次函数 的知识解决 n SBn n a满足 3 且 则 81 35aa 1 0a n a的前多少项的和最大 解析 思路一 由 3 a8 5a13得 d 39 a 2 1 若前n项和最大 则 0 39 2 0 1 39 11 11 naa 又a1 0 得 2 ana 2 41 2 39 n n 20 即 n a的前 20 项和最大 这一做法为通法 思路二 2 111 1 1 40 n Sdnanaa nn 当且仅当 1 11 23939 n n nan 时 点评 点评 20n n Sn最大 这一做法突显了数列的函数特征 思路三 1 由35aa 得 3 11 152515 aa aa 5125 8131525 25 22 aa SS 8 又 的图象是开口向下的抛物线上的点列 对称轴恰为 1 0a n S20n n 20 故时Sn 最大 数列的函数特性做处理 巧妙 点评 点评 这一做法中几乎没有运算 抓住了题目条件 结合 显得十分 二二 侧重于等差数列性质的公式二 1 侧重于性质 若 侧重于等差数列性质的公式二 1 侧重于性质 若 mnpq 则则 qmnp aaaa 前项和的题目 常与等差数列的上述性质融合在一起 将与其 他条件进行转换 例题 4 一个只有 有些涉及等差数列n 1n aa 有限项的等差数列 它的前 5 项的和为 34 最后 5 项的和为 146 所有项的 七项等于 和为 234 则它的第 A 22 B 21 C 19 D 18 解 解 列有n项且首项为a 末项为设该数 公差为 则依题意有 1 and 12345 1234 1 34 1 146 2 234 3 2 nnnnn n aaaaa aaaaa aa n 用心 爱心 专心 2 用心 爱心 专心 3 结合上述性质可得 代入 3 有 从而有 12 aan 1 36 n 13 aa 113 36 又所求项a7恰为该数列的中间项 a aa 7 113 2 36 2 18 点评 点评 依题意能列出 3 个方程 若将 故选 D aan 1 作为一个整体 问题即可迎刃而解 在求时 巧用等差中项的性质也值得关注 知识的灵活应用 来源于对知识系统的深刻理解 重于等差中项 重于等差中项 利 用 等 差 中 项 可 以 实 a7 2 侧2 侧 施 等 差 数 列 前项 和与 其 通 项的 转 换 n n S n a 121 21 21 n nnn aSna 2 aa 和例题 5 在等差数列 n a n b中 它们的前项和分别为 且n nn S T 21Sn 7 7 a b32 n n Tn 则的 值是多少