Cantor集的性质及应用.pdf

文章编号 1009 7740 2004 02 0070 04 Cantor集的性质及应用 刘小洋 江 南 连云港师范高等专科学校 数学系 江苏 连云港222006 摘 要 文章总结归纳了Cantor集的一些重要性质 并举例说明如何利用Cantor集的性质来解决实变函数中的一 些典型问题 关键词 Cantor集 基数 测度 积分 中图分类号 O174 1 文献标识码 A 0 引言 本文主要归纳了Cantor的主要性质 并举例说明 了如何利用Cantor集的性质来解决实变函数中的一 些典型问题 其中Cantor集是指 将闭区间 0 1 三等 分 挖去中间的开区间 1 3 2 3 再将余下的两个闭区 间 0 1 3 及 2 3 1 各三等分 挖去中间的开区间 1 9 2 9 及 7 9 8 9 然后将余下的四个闭区间同法处理 如此无限进行下去 所剩下的集合P称为Cantor三分 集 简称Cantor集 如图 被挖去的集 G 1 3 2 3 1 9 2 9 7 9 8 9 是 一个开集 且有P 0 1 G 1 Cantor集的主要性质 性质1 P非空 在P的构造过程中 被挖去的开 区间的端点及0 1都不会被除去而留在P内 性质2 P的基数为C 已知 0 1 和a进位无限 小数全体是一一对应的 考虑三进位小数表示法 由 P的作法 每次都是把区间三等分 然后去掉中间的 开区间 所以去掉的点 即G中的点在用三进位小 数表示时 必出现1这个数字 令A为三进位无限小 数中不出现数字1的全体 即 A x 0 a1a2 an ai是0或2 i 1 2 x 为无限小数 则A 0 1 0 1 且A G 故A 0 1 G P 但A显然与二进位无限小数全体可建立一一对 应 只要令 x 0 a1a2 ak y 0 a1 2 a2 2 ak 2 即可 故A C 而A P 0 1 由伯恩斯坦定理 P C 性质3 P是闭集 因 G 1 3 2 3 1 9 2 9 7 9 8 9 n 1 2n 1 k 1I n k 为可数个互不相交的开区间的并集 故G为开 集 而P 0 1 G为闭集 性质4 P是完备集 被挖去的开集G没有相邻 接的构成区间 故P没有孤立点 性质5 P是疏朗集 在P的构造过程中 挖去 手续进行到第n次后 剩下的是2 n 个长度为 1 3 n的小 闭区间 对于以P中某点x为中心的无论怎样小的开 区间 x x 当n充分大时总有 1 3 n 2 因此这 2004年6月 第2期 连云港师范高等专科学校学报 Journal of Lianyungang Teachers College June 2004 No 2 收稿日期 2003 11 12 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 个小区间不可能包含在P中 性质6 P是可测集且测度为零 第n次挖去的 开区间记为I n k 共有2 n 1个 每个小区间的测度 I n k 1 3 n 这2 n 1 个互不相交的开区间的并集的测度 2n 1 k 1 I n k 2 n 1 3 n 1 3 2 3 n 1 I n k 是G的构成 区间 从 G n k I n k n 1 2n 1 k 1 I n k n 1 1 3 2 3 n 1 1 因此 P 0 1 G 0 性质7 P上的任何函数均是可测函数 零测度 集上的任何函数都是可测函数 性质8 P上的任何函数Lebesgue可积 零测度 集上的任何函数Lebesgue可积 且积分值为零 3 Cantor集性质的应用 实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分 理论 从而扩大函数的可积性范围 诸如Dirichlet函 数 D x 之类的点点不连续的函数也能求出其积分 值 而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测 度 到定义在可测集上函数的可测性 最终讨论可测 函数的可积性问题 下面给出的几道例题分为三种 类型分别利用了Cantor集的某些优良性质来解决以 上三部分内容中一些典型问题 3 1 研究集合的有关性质 如完备性 基数 测度等 当然重点是讨论集合的 测度 为了推广区间长度的概念 对一般点集建立一 种能反映集合的 容量 与长度概念相当的度量 这 种度量既要发展长度的概念 又必须保留长度概念的 一些最基本的性质 也就是集合的 测度 测度理论 是建立新型积分理论的基础 例1 设在 0 1 中作点集 E x 在x的十进位小数表示中只出现9个数 码 试问E的测度与基数是多少 解 不妨设x在的十进位制小数中不出现数字 2 约定采用0 2 0 1999 0 62 0 61999 等表 示 于是按照Cantor集的方法作一开集G G n 1 Gn 其中 G1 0 2 0 3 是将 0 1 分成十等分所得 的第三个开区间 显然G1中任一小数点后第一位数 字是 2 将 0 1 十等分并去掉G1后所余下的9个 区间分别再十等分 各自的第三个开区间之并记为 G2 G2中任一数 其小数点后第二位数字是 2 将 余下的9 n 1个区间每个进行十等分 取各自的第三开 区间 它们的并记为Gn 则Gn中任一数 其小数点后 第n位数字是 2 令E 0 1 G 由G的作法知 E中任一数 其 小数点后任一数字都不是 2 且E与Cantor集的构 造完全类似 由性质2及性质6有 1 E 的基数是c 2 E 可测 且 E 0 事实上 E 1 G 1 n 1 Gn 1 n 1 9 n 1 10 n 0 例2 试作一闭集F 0 1 使F中不含任何开 区间 且 F 1 4 解 仿照Cantor集的作法步骤完成F的构作 第一步 在 0 1 的中央挖去长为1 4的开区间 G1 3 8 5 8 第二步 在余下的两个闭区间 0 3 8 和 5 8 1 中分别挖去中央处的长为 1 3 1 4 的开区间 它们的并 是G2 7 48 11 48 37 48 41 48 第n步 在余下的2 n 1 个闭区间中 分别挖去其 中央处长为 1 3 n 1 1 4 的开区间 记这2 n 1 个互不 相交的开区间之并为Gn 令G n 1 Gn 则G为开集 且F 0 1 G与Cantor集具有 类似的性质 从而F为可测集 且 G n 1 Gn n 1 1 4 2 3 n 1 3 4 故 F 0 1 G 1 3 4 1 4 3 2 关于函数的可测性 Riemann积分的定义 简单地说 是对 差不多 连续的函数而作的 准确地说 一个定义在 a b 上的 有界函数是Riemann可积的充要条件是该函数在 a b 上几乎处处连续 实变函数中所要建立的Lebes2 gue积分论是要把积分对象扩充到更大的一类函数 可测函数上去 与连续函数不同 可测函数在极 限运算下是封闭的 这就使所建立的新积分在理论上 使用起来更加便利 17 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 例3 设为Cantor集 E为 0 1 中的不可数集 在 0 1 上定义函数 f x x 2 x P E x 2 4 x 0 1 P E 判断 f x 在 0 1 上是否可测 解 由性质6 P 0 又P Efn 1 E fnk f 由性质6 P 0 则fn fn 1a e 于 0 1 n 1 2 即 0 E f n fn 1 fn 1 n 1 2 n 又由测度 的非负性与可加性 有 G 0 于是对 x0 0 1 G 有 fn x 0 fn 1 x 0 且fnk x 0 f x0 从而 lim n fn x 0 f x0 由x0 0 1 G的任意性 有lim n fn x f x x 0 1 G 即fn a e f于 0 1 3 3 关于函数的可积性 实变函数论最终所需解决的就是函数的可积性 问题 正是由于以往所研究的Riemann可积函数类太 窄 加上Riemann积分的其它一些缺陷 如交换积分 与极限运算的条件太苛刻 一致收敛 可积函数类的 充要条件没有解决 从而求原函数的问题也就得不到 彻底解决等等 比如像Riemann函数 x 与Dirichlet 函数 D x 均是 0 1 上点点不连续的函数 而前者可 积后者不可积 近代科学技术以及数学自身的发展要 求建立一种更灵活 更广泛的新积分 而实变函数论 中的Lebesgue积分正好解决了以上问题 下面所举的 两个例子就是关于定义在包含Cantor集的集合上函 数的Lebesgue积分的通常求法 例5 设 f x 在Cantor集P上为0 而在P的补 集G中长为 1 3 n的构成区间上 f x 为 n 1 n 求积分 1 0 f x dx 解 令Gn为G中长为 1 3 n的各开区间之并 则Gn 有2 n 1个长为1 3 n的开区间 且 Gn 2 n 1 1 3 n 由题意 知 f x 0 x P n 1 n x Gn n 1 2 由积分的完全可加性及Cantor集的性质8知 1 0 f x dx pf x dx Gf x dx p0 dx n 1 Gn n 1 ndx n 1 Gn n 1 ndx n 1 n Gn 1 3 n 1 n 1 n 2 3 n 1 令h x n 1 n 1 n x n 1 则由幂级数的求 和运算得 h x 2 1 x 3 从而 1 0 f x dx 1 3 h 2 3 18 例6 在 0 1 上定义f x 在Cantor集P中的点 x 有f x 0 在P的邻区间 n n 中点x n n 2 有f x 1 x n n n 2 x n n 2 n 时 f x 是 线性的 试计算 1 0 f x dx 解 将 0 1 分成两两不相交的集之并 0 1 P 1 1 2 2 n n 由Cantor集的构造知 G1 1 1 是一个长为 1 3 的区间 G2 2 2 3 3 是21个长为 1 3 2的区间的 并 G3 4 4 7 7 是22个长为 1 3 3的区 27 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 间的并 Gn是2 n 1个长为1 3 n的区间的并 由积分的完 全可加性得 1 0 f x dx pf x dx n 1 n n f x dx 由Cantor集的性质8有 pf x dx 0 又由于 f x 在 n n 上黎曼可积 因此 L n n f x dx R n n f x dx 等于相应三角形的面积 1 1 f x dx 1 3 2 2 2 f x dx 3 3 f x dx 1 3 2 2 4 4 f x dx 5 5 f x dx 6 6 f x dx 7 7 f x dx 1 3 3 2 求和得 1 0 f x dx 1 2 1 3 2 3 2 2 2 3 3 2 n 1 3 n 1 6 1 2 3 2 3 2 2 3 n 1 1 2 参考文献 1 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 M 湖北 华中师范大学出版社 2002 2 魏国强 胡善文 实变函数简明教程 Z 上海 华东师范大学出版社 2001 3 周明强 实变函数 M 北京 北京大学出版社 1996 4 郑维行 王声望 实变函数与泛函分析概要 M 北京 人民大学出版社 1981 作者简介 刘小洋 1979 江苏泰州人 连云港师范高等专科学校数学系教师 江 南 1979 江苏连云港人 连云港师范高等专科学校数学系教师 The quality and Application of Cantor Set LIU Xiao yang JIANG nan Department of Mathematics Lianyungang Teachers College Lianyungang 222006 China Abstract This article sums up some important quali