高考数学一轮复习 必考部分 第五篇 数列 第3节 等比数列应用能力提升 文 北师大版.doc

第3节等比数列【选题明细表】 知识点、方法题号等比数列的判定与证明6,10,14等比数列的基本运算1,5,7,9等比、等差数列的综合2,4,11等比数列的性质8,13等比数列与其他知识的综合3,12,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015沈阳模拟)已知数列an是等比数列,且a1=18,a4=-1,则an的公比q为(c)(a)2(b)-12(c)-2(d)12解析:由a4a1=q3=-8q=-2.2.(2015商丘一模)公差不为零的等差数列an中,2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于(d)(a)2(b)4(c)8(d)16解析:由等差数列的性质,2a3-a72+2a11=0得a72=2(a3+a11)=4a7,所以a7=4或a7=0.由数列bn是等比数列,且b7=a7,所以b7=4,所以b6b8=b72=16.3.(2015山东一模)已知正数组成的等比数列an,若a1a20=100,那么a7+a14的最小值为(a)(a)20(b)25(c)50(d)不存在解析:因为正数组成的等比数列an,a1a20=100,所以a7+a142a7a14=2a1a20=2100=20.当且仅当a7=a14时,a7+a14取最小值20.4.(2015湛江一模)已知等比数列an的各项均为正数,且公比q1,若a2,12a3,a1成等差数列,则公比q等于(d)(a)1+32或1-32(b)1+32(c)1+52或1-52(d)1+52解析:因为a2,12a3,a1成等差数列,所以212a3=a1+a2,即a3=a1+a2,因为等比数列an的各项均为正数,且公比q1,所以a1q2=a1+a1q,化简得q2-q-1=0,解得q=1+52或q=1-52(舍去).5.在等比数列an中,a1=1,公比为q,且|q|1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于(c)(a)9(b)10(c)11(d)12解析:因为a1=1,所以am=a1a2a3a4a5=qq2q3q4=q10,即am=a1q10,所以m=11.6.(2015奉贤区一模)已知数列an的首项a1=1,an+1=3sn(nn*),则下列结论正确的是(b)(a)数列an是等比数列(b)数列a2,a3,an是等比数列(c)数列an是等差数列(d)数列a2,a3,an是等差数列解析:由an+1=3sn(n1),得an=3sn-1(n2),两式作差得an+1-an=3an(n2),即an+1=4an(n2),因为a1=1,an+1=3sn(n1),所以a2=3,所以数列a2,a3,an是公比为4的等比数列.7.已知等比数列an的公比为正数,且a2a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1=a2q=13.答案:138.等比数列an的首项a1=-1,前n项和为sn,若s10s5=3132,则an的通项公式an=.解析:因为s10s5=3132,所以s10-s5s5=-132,因为s5,s10-s5,s15-s10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-132,q=-12,则an=-1（-12）n-1=-（-12）n-1.答案:-(-12)n-19.(2015扬州期末)等比数列an中,sn是其前n项和,s3=7,s6=63.(1)求an;(2)记数列sn的前n项和为tn,求tn.解:(1)若q=1,则s6=2s3,与已知矛盾,所以q1,则s3=a1(1-q3)1-q=7,s6=a1(1-q6)1-q=63,解得a1=1,q=2,即an=2n-1.(2)由(1),求得sn=2n-1,于是tn=21-1+22-1+2n-1=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.10.(2015蓟县期中)已知数列an的首项a1=5,sn+1=2sn+n+5(nn*).(1)证明:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的通项公式an.(1)证明:因为sn+1=2sn+n+5,所以当n2时,sn=2sn-1+n-1+5,两式相减可得sn+1-sn=2(sn-sn-1)+1(n2),即an+1=2an+1,所以an+1+1an+1=2(an+1)an+1=2,又当n=1时,s2=2s1+1+5=16,所以a2=s2-s1=16-5=11,所以a2+1a1+1=11+15+1=2,所以数列an+1是以6为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)知a1+1=6,所以an+1=62n-1=32n,所以an=32n-1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015宣城三模)在等比数列an中,sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则s6等于(a)(a)634(b)16(c)15(d)614解析:设等比数列an的公比为q,由等比数列的性质可得a1a4=a2a3=2a1,解得a4=2,由a4与2a7的等差中项为17可得a4+2a7=217,解得a7=12(217-a4)=16,所以q3=a7a4=162=8,解得q=2.所以a1=a4q3=223=14,所以s6=14(1-26)1-2=634.12.(2015重庆一模)已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为.解析:设等比数列an的首项为a1,公比为q,因为a7=a6+2a5,则a1q6=a1q5+2a1q4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),若aman=4a1,则a1qm-1a1qn-1=16a12,解得m+n=6.则6(1m+4n)=(m+n)(1m+4n)=5+(nm+4mn)5+4=9,则1m+4n96=32.当且仅当nm=4mn即m=2且n=4时取等号.答案:3213.设数列an,bn都是正项等比数列,sn,tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和,且sntn=n2n+1,则logb5a5=.解析:设正项数列an的公比为q,正项数列bn的公比为p,则数列lg an是公差为lg q的等差数列,lg bn是公差为lg p的等差数列.故sn=nlg a1+n(n-1)2lg q.tn=nlg b1+n(n-1)2lg p.又sntn=n2n+1=lg a1+n-12lgqlg b1+n-12lgp.所以logb5a5=lg a5lg b5=lg a1+4lgqlg b1+4lgp=s9t9=919.答案:91914.(2014高考江西卷)已知数列an的前n项和sn=3n2-n2,nn*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mn*,使得a1,an,am成等比数列.(1)解:由sn=3n2-n2,得a1=s1=1,当n2时,an=sn-sn-1=3n-2,所以数列an的通项公式为:an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mn*,且mn.所以对任意的n1,都存在mn*,使得a1,an,am成等比数列.15.(2015宜昌校级二模)在等比数列an中,其前n项和为sn,已知a3=32,s3=92,(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得sn-sn+2=332成立,若存在,求出n的值,若不存在,请说明理由.解:(1)设等比数列的公比为q,依题意,有a1q2=32,a1+a1q+a1q2=92,解得a1=32,q=1或a1=6,q=-12,故数列an的通项公式为an=32或an=6(-12)n-1.(2)假设存在正整数n,使得sn-sn+2=332成立,当a1=32,q=1时,由sn-sn+2=33232n-32(n+2)=332,无解;当a1=6,q=-12时,sn=41-(-12)n,由sn-sn+2=332(-12)n=-132n=5.综合知,存在正整数n=5,使得sn-sn+2=332成立.精彩5分钟1.(2015上饶二模)三个实数a,b,c成等比数列,若a+b+c=1成立,则b的取值范围是(d)(a)(0,13 (b)-1,13(c)-13,0）(d)-1,0)(0,13解题关键:把a,c用b与公比q表示,由a+b+c=1进而得出b关于q的函数,利用基本不等式即可求出范围.解析:因为三个实数a,b,c成等比数列,可设bq,b,bq,因为a+b+a=1成立,所以bq+b+bq=1,所以b=qq2+q+1=1q+1q+1,因为q+1q(-,-22,+),所以b-1,0)（0,13.2.(2015日照二模)函数y=9-(x-5)2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是(d)(a)34(b)2(c)3(d)5解题关键:由图像上的点到原点的距离的最大值、最小值,求出公比的最大值、最小值.解析:函数y=