高考数学一轮复习 必考部分 第十一篇 复数 算法 推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理应用能力提升 文 北师大版.doc

第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】 知识点、方法题号归纳推理3,7,8,10,11,15类比推理2,4,6,9,13,14演绎推理1,5,12基础对点练(时间:30分钟)1.(2016烟台模拟)命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(c)(a)使用了归纳推理(b)使用了类比推理(c)使用了“三段论”,但大前提错误(d)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.2.给出下面类比推理命题(其中q为有理数集,r为实数集,c为复数集):“若a,br,则a-b=0a=b”类比推出“若a,bc,则a-b=0a=b”;“若a,b,c,dr,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dq,则a+b2=c+d2a=c,b=d”;若“a,br,则a-b0ab”类比推出“若a,bc,则a-b0ab”.其中类比结论正确的个数是(c)(a)0(b)1(c)2(d)3解析:正确,错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选c.3.(2016长沙校级二模)已知211=2,2213=34,23135=456,以此类推,第5个等式为(d)(a)241357=5678(b)2513579=56789(c)2413579=678910(d)2513579=678910解析:因为211=2,2213=34,23135=456,所以第5个等式为2513579=678910.故选d.4.(2016济南一模)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论(d)垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(a)(b)(c)(d)解析:垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确.垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确.垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确.垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai0,1(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0a1,h1=h0a2,运算规则为00=0,01=1,10=1,11=0.例如原信息为111,则传输信息为01 111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是(c)(a)11 010(b)01 100(c)10 111(d)00 011解析:对于选项c,传输信息是10 111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=01=1,而h1=h0a2=11=0,故传输信息应是10 110.故选c.6.已知等差数列an中,有a11+a12+a2010=a1+a2+a3030,则在等比数列bn中,会有类似的结论:.解析:由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=b11b20,所以10b11b12b20=30b1b2b30.答案:10b11b12b20=30b1b2b307.(2016渭南一模)观察下列不等式:121;12+162;12+16+1123;则第5个不等式为.解析:由121;12+162;12+16+1123;归纳可知第4个不等式应为12+16+112+1202;第5个不等式应为12+16+112+120+1305.答案:12+16+112+120+13058.在平面内有n(nn*,n3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域,则f(5)的值是,f(n)的表达式是.解析:由题意知,n条直线将平面分成n(n+1)2+1个平面区域,故f(5)=16,f(n)=n2+n+22.答案:16f(n)=n2+n+229.在圆中有结论:如图所示,“ab是圆o的直径,直线ac,bd分别是圆o过a,b的切线,p是圆o上任意一点,cd是过p的切线,则有po2=pcpd”.类比到椭圆:“ab是椭圆的长轴,直线ac,bd分别是椭圆过a,b的切线,p是椭圆上任意一点,cd是过p的切线,则有.”解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:pf1pf2=pcpd10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式,sin2 15+cos2 15-sin 15cos 15=1-12sin 30=34.(2)推广的三角恒等式为sin2 +cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明:sin2 +cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=12-12cos 2+12+12(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-32sin cos -12sin2 =1-12cos 2+14cos 2+34sin 2-34sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=34.能力提升练(时间:15分钟)11.从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(c)(a)2 097(b)1 553(c)1 517(d)2 111解析:根据如题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=1 517,得a=157,是自然数.且a为表中第20行第5个数,符合,若9a+104=2 097,a221.4不合题意;若9a+104=1 553,a=161,a为表中第21行第一个数不合题意;若9a+104=2 111,a=223,a为表中第28行第7个数,不合题意.12.设f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述:f(x)-20=01f(x)+10=01f(x)-10=03f(x)+20=01f(x)=03关于f的极小值,试问下列选项中正确的是(c)(a)010(b)-20-10(c)-100,y0,所以yx+4xy2yx4xy=4,所以1x+4y12(5+4)=92,当且仅当yx=4xy,x+y=2,即x=23,y=43时,1x+4y取最小值92.参考上述解法,已知a,b,c是abc的三个内角,则1a+9b+c的最小值为.解析:a+b+c=,设a=,b+c=,则+=,+=1,参考题干中解法,则1a+9b+c=1+9=(1+9)(+)1=1(10+9)1(10+6)=16,当且仅当=9,即3=时等号成立.答案:1614.在rtabc中,abac,adbc于d,求证:1ad2=1ab2+1ac2.在四面体abcd中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由.证明: 如图所示,由射影定理ad2=bddc,ab2=bdbc,ac2=bcdc,所以1ad2=1bddc=bc2bdbcdcbc=bc2ab2ac2.又bc2=ab2+ac2,所以1ad2=ab2+ac2ab2ac2=1ab2+1ac2.猜想,在四面体abcd中,ab,ac,ad两两垂直,ae平面bcd,则1ae2=1ab2+1ac2+1ad2.证明:如图,连接be并延长交cd于f,连接af.因为abac,abad,adac=a,所以ab平面acd.所以abaf.在rtabf中,aebf,所以1ae2=1ab2+1af2.因为ab平面acd,所以abcd;因为ae平面bcd,所以aecd,又ab与ae交于点a,所以cd平面abf,所以cdaf.所以在rtacd中1af2=1ac2+1ad2,所以1ae2=1ab2+1ac2+1ad2.15.(2016聊城模拟)下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.解:(1)由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+32=12.f(3)=f(2)+3+34=27.f(4)=f(3)+3+36=48.f(5)=f(4)+3+38=75.(2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+32n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,所以f(2)-f(1)=61+3,f(3)-f(2)=62+3,f(4)-f(3)=63+3,f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,将上面(n-1)个式子相加,得f(n)-f(1)=61+2+3+(n-1)+3(n-1)=6(1+n-1)(n-1)2+3(n-1)=3n2-3.又f(1)=3,所以f(n)=3n2.精彩5分钟1.(2016安阳模拟)我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a,类比上述结论,在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值(a)(a)63a(b)64a(c)33a(d)34a解题关键:在正四面体内任取一点,将四面体分割成四个三棱锥.解析:正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点到四个面的距离分别为h1,h2,h3,h4,每个面的面积为34a2,正四面体的体积为212a3,则有1334a2(h1+h2+h3+h4)=212a3,得h1+h2+h3+h4=63a.故选a.2.(2016揭阳一模)对任意的a,br,定义:mina,b=a,(ab),b,(ab),maxa,b=a,(ab),b,(ab),则下列各式中恒成立的个数为(b)mina,b+maxa,b=a+b;mina,b-maxa,b=a-b;(mina,b)(maxa,b)=ab;(mina,b)(maxa,b)=ab.(a)1(b)2(c)3(d)4解题关键:按照新定义对各式是否恒成立作出判断.解析:因为对任意的a,br,定义:mina,b=a,(ab)b,(ab)maxa,b=a,(ab),b,(ab,则mina,b-maxa,b=b-aa-b,故不一定成立;若ab,且b0,则有(mina,b)(maxa,b)=ab,若ab,且a0,(mina,b)(maxa,b)=baab.故不一定成立.故选b.3.(2016铜川模拟)观察以下等式:1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=1513=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=1