高考数学一轮复习 必考部分 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线应用能力提升 文 北师大版.doc

第5节抛物线【选题明细表】 知识点、方法题号抛物线的定义2,3抛物线的标准方程1,6抛物线的几何性质5,7,11直线与抛物线的关系4,12,13综合8,9,10,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015河北唐山摸底)抛物线y=2x2的准线方程是(d)(a)x=-12(b)y=-12(c)x=-18(d)y=-18解析:抛物线y=2x2可化为x2=12y,焦点在y轴上,2p=12,所以p2=18,所以抛物线y=2x2的准线方程是y=-18.2.在平面直角坐标系中,到点(1,1)和直线2x+y=3距离相等的点的轨迹是(a)(a)直线(b)抛物线(c)圆 (d)双曲线解析:因为点(1,1)在直线2x+y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线2x+y=3垂直的直线.3.抛物线x2=4y上一点a(x0,2),则点a到点m(0,1)的距离为(c)(a)5(b)22 (c)3(d)4解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),准线l:y=-1.而m点恰好为抛物线的焦点,故由定义得|am|等于点a到准线的距离d,则d=2-(-1)=3.4.已知点a(2,1),抛物线y2=4x的焦点是f,若抛物线上存在一点p,使得|pa|+|pf|最小,则p点的坐标为(d)(a)(2,1)(b)(1,1)(c)(12,1)(d)(14,1)解析:如图,设抛物线准线为l,作aal于a,则|pa|+|pf|aa,即当p点为aa与抛物线交点时,|pa|+|pf|最小,此时p(14,1).故选d.5.过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点,o为坐标原点.若|af|=3,则aob的面积为(c)(a)22(b)2(c)322(d)22解析:法一由题意设a(x1,y1),b(x2,y2)(y10,y20,y20),由已知过点(2,-2),代入得p=1,即方程为x2=-2y;当y=-1时,x=2,此时水面宽为22米,那么减少了(4-22)米.答案:4-229.设p是曲线y2=4x上的一个动点.(1)求点p到点a(-1,1)的距离与点p到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若b(3,2),求|pb|+|pf|的最小值.解:(1)如图(1),易知抛物线的焦点为f(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知,点p到直线x=-1的距离等于点p到f的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点p,使点p到点a(-1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小.显然,连接af交抛物线于点p,故最小值为22+12=5.(2)如图(2),过b作bq垂直准线于q,交抛物线于p1,此时,|p1q|=|p1f|,那么|pb|+|pf|p1b|+|p1q|=|bq|=4,当且仅当b,q,p三点共线时,等号成立,故最小值为4.10.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x10)的焦点为f,过点f倾斜角为60的直线l与抛物线c在第一、四象限分别交于a,b两点,则|af|bf|的值等于.解析: 如图,分别过a,b作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为d,e.过b作bhad,垂足为h.设|af|=m,|bf|=n.则由抛物线定义得|ad|=m,|be|=n.故|ah|=m-n.又|ab|=|af|+|bf|=m+n.在rtabh中,cos bad=|ah|ab|=m-nm+n,故m-nm+n=cos 60=12.解得mn=3.答案:314. 如图,已知直线与抛物线y2=2px(p0)相交于a,b两点,且oaob,odab交ab于d,且点d的坐标为(3,3).(1)求p的值;(2)若f为抛物线的焦点,m为抛物线上任一点,求|md|+|mf|的最小值.解:(1)设a(y122p,y1),b(y222p,y2),ko d=33,则kab=-3,直线ab的方程为y-3=-3(x-3),即3x+y-43=0,将x=y22p代入上式,整理得3y2+2py-83p=0,所以y1y2=-8p,由oaob得y12y224p2+y1y2=0,即y1y2+4p2=0,所以-8p+4p2=0,又p0,则p=2.(2)由抛物线定义知|md|+|mf|的最小值为d点到抛物线y2=4x准线的距离,又准线方程为x=-1,因此|md|+|mf|的最小值为4.15.已知抛物线e:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点m,过点m作圆c:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为a,b,|ab|=423.(1)求抛物线e的方程;(2)过抛物线e上的点n作圆c的两条切线,切点分别为p,q,若p,q,o(o为坐标原点)三点共线,求点n的坐标.解:(1)如图(1),由已知得m(-p2,0),c(2,0).设ab与x轴交于点r,由圆的对称性可知,|ar|=223.于是|cr|=|ac|2-|ar|2=13,所以|cm|=|ac|2|cr|=3,即2+p2=3,p=2.故抛物线e的方程为y2=4x.(2)如图(2),设n(s,t),p,q是nc为直径的圆d与圆c的两交点,圆d方程为(x-s+22)2+(y-t2)2=(s-2)2+t24,即x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0. 又圆c方程为x2+y2-4x+3=0.-得(s-2)x+ty+3-2s=0. p,q两点坐标是方程和的解,也是方程的解,从而为直线pq的方程.因为直线pq经过点o,所以3-2s=0,s=32.故点n坐标为(32,6)或(32,-6).精彩5分钟1.(2015河南省六市第二次联考)从抛物线y2=4x图像上一点p引抛物线准线的垂线,垂足为m,且|pm|=3,设抛物线焦点为f,则mpf周长为(d)(a)6+32(b)5+23(c)8 (d)6+23解题关键:关键根据题意找m点坐标,由两点距离公式求解.解析: 如图,设p(x0,y0),抛物线y2=4x的准线x=-1,f(1,0)则m(-1,y0),|pf|=|pm|=x0+1=3,解得x0=2.所以y02=4x0=8,所以|mf|=(1+1)2+y02=22+8=23,所以cmpf=|pm|+|pf|+|mf|=6+23.2.(2015沈阳市郊联体二模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,abc的顶点都在抛物线上且满足fa+fb+fc=0,则1kab+1kbc+1kca等于(d)(a)3(b)-3(c)23(d)0解题关键:关键是设出三顶点坐标,由向量关系转化为三边斜率关系.解析:设a(y122p,y1),b(y222p,y2),c(y322p,y3).由fa+fb+fc=0,知f(p2,0)为abc的重心,所以y122p+y222p+y322p=3p2=3p2,y1+y2+y3=