高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用应用能力提升 文 北师大版.doc

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】 知识点、方法题号平面向量的数量积2,4平面向量的夹角与垂直1,7,11平面向量的模3,8平面向量数量积的综合问题6,9,10平面向量与其他知识的交汇5,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016内江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若ab,则|b|等于(b)(a)5(b)25(c)5(d)20解析:由题意可得ab=(1,-2)(x,2)=x-4=0,解得x=4.故|b|=x2+22=25.2.(2015高考新课标全国卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a等于(c)(a)-1(b)0(c)1(d)2解析:a=(1,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.3.(2015秦安县一模)已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=52,则|b|等于(c)(a)5(b)10(c)5(d)25解析:因为|a+b|=52,|a|=5,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=50,得|b|=5.4.(2015日照一模)如图,在abc中,ab=bc=4,abc=30,ad是边bc上的高,则adac的值等于(b)(a)0(b)4(c)8(d)-4解析:因为ab=bc=4,abc=30,ad是边bc上的高,所以ad=4sin 30=2.所以adac=ad(ab+bc)=adab+adbc=adab=2412=4.5.(2015临沂二模)设向量a=(cos ,-1),b=(2,sin ),若ab,则tan（-4）等于(b)(a)-13(b)13(c)-3(d)3解析:因为ab,所以2cos -sin =0,即tan =2,所以tan（-4）=tan-11+tan=2-11+2=13.6.(2015安徽二模)如图,半圆的直径ab=6,o为圆心,c为半圆上不同于a,b的任意一点,若p为半径oc上的动点,则(pa+pb)pc的最小值为(c)(a)92(b)9(c)-92(d)-9解析:因为圆心o是直径ab的中点,所以pa+pb=2po,所以(pa+pb)pc=2popc,因为po与pc共线且方向相反,所以当大小相等时数量积最小,由条件知当po=pc=32时,最小值为-23232=-92.7.(2015浙江模拟)向量m=(-1,1),n=(-2,2),若mn,则=;若(m+n)(m-n),则=.解析:当mn时,2(-1)-1(-2)=0,解得=0;当(m+n)(m-n)时,m+n=(2-3,3),m-n=(1,-1),所以(2-3)+3(-1)=0,解得=3.答案:038.(2015海淀区模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.解析:因为|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,所以ab-a2=2,设a与b的夹角为,所以16cos -1=2,所以cos =12,因为0,所以=3,|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4ab+b2=4-41612+36=27.答案:3279.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xr).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab,得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.综上,|a-b|为2或25.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若ab=a,bc=b,求abc的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)因为ab与bc的夹角=23,所以abc=-23=3.又|ab|=|a|=4,|bc|=|b|=3,所以sabc=12|ab|bc|sinabc=124332=33.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015南昌市一模)已知三角形abc中,ab=ac,bc=4,bac=120,be=3ec,若p是bc边上的动点,则apae的取值范围是.解析:因为三角形abc中,ab=ac,bc=4,bac=120,所以ab=43,abc=30,所以abbc=434（-32）=-8,因为be=3ec,所以be=34bc,bp=bc,01.因为apae=(ab+bp)(ab+be)=ab2+bcab+34bc2+3abbc4,所以apae=163-8+12+34(-8)=4-23,01.所以apae的取值范围是-23,103.答案:-23,10312.(2015泸州模拟)abc中,a,b,c的对边分别为a,b,c,重心为g,若2aga+3bgb+3cgc=0,则cos b=.解析:因为重心为g,2aga+3bgb+3cgc=0,所以2a=3b=3c,不妨设2a=3b=3c=1,则cos b=14+19-1321213=112.答案:11213(2015淮安一模)已知向量a=(1,2sin ),b=(sin)+3),1),r.(1)若ab,求tan 的值.(2)若ab,且(0,2),求的值.解:(1)若ab,则ab=sin(+3)+2sin =0,所以5sin +3cos =0,所以tan =-35.(2)若ab,且(0,2),则2sin sin(+3)=1,整理得sin2+3sin cos =1,所以1-cos22+32sin 2=1,所以32sin 2-12cos 2=12,即sin(2-6)=12,(0,2),2-6(-6,56),所以2-6=6,所以=6.14.(2015黄山一模)已知a=(sin(-4),-1),b=(-1,3),其中(0,2),且ab,(1)求sin 的值;(2)已知abc中,a=,bc=22+1,求边ac的最大值.解:(1)因为ab,所以3sin(-4)=1,即sin(-4)=13.因为(0,2),所以(-4)(-4,4).所以cos(-4)=223.所以sin =sin(-4+4)=sin（-4）cos 4+cos（-4）sin 4=22（13+223）=4+26.(2)在abc中,由正弦定理可得acsinb=bcsina,所以acsinb=22+1sin=32,所以ac=32sin b32,当且仅当sin b=1,即b=2时取等号,所以边ac的最大值是32.精彩5分钟1.(2015高考福建卷)已知abac,|ab|=1t,|ac|=t.若点p是abc所在平面内的一点,且ap=ab|ab|+4ac|ac|,则pbpc的最大值等于(a)(a)13(b)15(c)19(d)21解题关键:解决本题关键是要抓住abac,建立平面直角坐标系,将pbpc表示成关于t的表达式求最值.解析:以a为原点,ab所在直线为x轴,ac所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则b（1t,0）(t0),c(0,t),p(1,4),pbpc=（1t-1,-4）(-1,t-4)=17-（4t+1t）17-22=13）当且仅当t=12时,取“=”）,故pbpc的最大值为13,故选a.2.(2015兴国县一模)如图,在oab中,点p是线段ob及线段ab延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意一点,且op=xoa+yob,则在直角坐标平面内,实数对(x,y)所示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是.解题关键:本题中oab可为任意三角形,故可一般问题特殊化处理,把aob视为等腰直角三角形,建立