高考数学一轮复习 第四章 导数 课时24 导数的综合应用学案 文 北师大版.doc

课时24导数的综合应用（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题二、高考考点回顾1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题三、课前检测1.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是_ cm2/s.2若函数f(x)xasin x在r上递增，则实数a的取值范围为_3若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_4若f(x)，0abln 21且x0时，exx22ax1.【变式1】设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过p(1,0)，且在p点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.考点二 利用导数研究恒成立问题【典例2】已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0)，则获得最大利润时的年产量为()a1百万件 b2百万件c3百万件 d4百万件3已知函数f(x)是r上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0)在1，)上的最大值为，则a的值为()a b c1 d12已知对任意xr，恒有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 bf(x)0，g(x)0cf(x)0 df(x)0，g(x)03某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入r与年产量x的年关系是rr(x)则总利润最大时，每年生产的产品数是()a100 b150 c200 d3004在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)5用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为_6某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售设本年度成本价比上年度降低了x (0x1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x倍，问x在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量y关于x的函数为y2 011，则当x为何值时，本年度年利润最大？1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(00时，aacos xa，a1，0a1；当a0时适合；当a0时，aacos xa，a1，1a0.综上，1a1.3【答案】(2,2)【解析】由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)4【答案】f(a)f(b)【解析】f(x)，0ab0，即f(x)0，f(x)为增函数，f(a)f(b)5【答案】144 cm3【解析】设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x (0xln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r上单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.【变式1】【解析】 (1) f(x)12ax.由已知条件得即解得(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.【典例2】【解析】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立【变式2】【答案】4，)【解析】当x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)【典例3】【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，知每年的能源消耗费用为c(x) (0x10)再由c(0)8，得k40，因此c(x) (0x10)又建造费用为c1(x)6x.隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的极小值也是最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元【变式3】【解析】(1)y4 000x2 000x3 600xx3，所求的函数关系式是yx33 600x (xn，1x40)(2)易得y3 6004x2，令y0，解得x30.当1x0；当30x40时，y0，即a23a180.a6或a3.2【答案】d【解析】点(2，e2)在曲线上，切线的斜率ky|x2ex|x2e2，切线的方程为ye2e2(x2)，即e2xye20.与两坐标轴的交点坐标为(0，e2)，(1,0)，s1e2.3.【答案】c【解析】依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，所以f(x)在(0，)单调递增又函数f(x)是r上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x0时，f(x)0，0x1；当x0，x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，0时，f(x)0，g(x)0，由奇、偶函数的性质知，当x0，g(x)0.3【答案】d【解析】由题意得，总成本函数为cc(x)20 000100x，总利润p(x)又p(x)令p(x)0，得x300，易知x300时，总利润p(x)最大4【答案】d【解析】截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为，则kbh2，又h2d2b2，kb(d2b2)kb3kd2b，3kb2kd2，令0，得b2，bd或bd(舍去)hd.5【答案】128 000 cm3【解析】设水箱底边长为x cm，则水箱高h cm.水箱容积vv(x)x2h60x2(0x5(1310)解得0x.(2)本年度年利润为w(x)13(10.9x)10(1x)2 0112 011.w(x)2 011.令w(x)0，解得x1，x22.又0x1，所以函数w(x)在上为增函数，在上为减函数故当x时，w(x)取得最大值，即当x时，本年度的年利润最大1.【解】(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大2.【解析】(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时，要耗油2.517.5(升)所以，