直线方程教参.doc

第9章 直线方程教学要求1、 理解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；理解“倾斜角”、“斜率”的概念；掌握求“斜率”的方法和公式；2、 掌握直线方程的“点斜式”、“两点式”以及“直线方程的一般式”；了解“直线方程的参数式”；3、 掌握两条直线平行及垂直的的条件，掌握求两直线交点和夹角、点到直线的距离的方法和公式；4、 了解二元一次不等式表示平面区域的方法，以及简单的线性规划的问题；教材分析一、 本章的地位与结构1、 本章的地位直线方程是解析几何中很重要的一个内容。它是在解决了平面直角坐标系中“点”与“数”之间的对应关系后，再将几何的“形”与代数的“方程”进行了对应分析，进而尝试了用代数的方法讨论几何的问题。在数学研究方法中这是一个飞跃，是形成学生“数、形结合”的观点的一个重要的教学内容。在本章中所用到的数学方法，将在后一章二次曲线中进一步使用。因此，学好本章内容也是学好下一章内容的重要基础。2、 本章的结构体系本章主要分为三节，第一节“直线方程的概念”，主要介绍“直线的方程”和“方程的直线”这两个概念，以及“倾斜角”和“斜率”的概念。第二节“直线方程的几种形式”，主要介绍直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式。第三节“两条直线的位置关系及点到直线的距离”，主要介绍用解析法来判断两直线位置关系的方法，以及求两直线交点坐标和夹角，求点到直线的距离和两直线间的距离的方法；第四节“二元一次不等式表示的平面区域”，主要介绍用二元一次方程来表示直角坐标系中的平面区域，为线性规划的问题奠定基础。本章在内容编排上是从概念入手。首先，通过引入直线方程的概念，将几何中的“直线”与代数中的“二元一次方程”对应起来；接着便一步步引导学生由点斜式、两点式等方法推导直线方程；最后再反过来应用直线方程判断两直线的位置关系，求两直线的交点坐标、夹角等几何问题。较好地进行了“数”与“形”的互通和深化。二、 本章的重点和难点1、 重点直线的斜率，直线方程的点斜式，两直线平行、垂直的判定，点到直线的距离等是本章的重点。2、 难点直线方程的概念，求直线的方程，求两直线的夹角等是本章的难点。教学建议本章课时数为10课时，具体分配如下：9.1直线方程的概念约2课时9.2直线方程的几种形式约3课时9.3两条直线的位置关系及点到直线的距离约5课时本章中的选学内容直线的参数方程及二元一次不等式表示的平面区域的教学时数没有计算在内第一节 直线方程的概念一、 关于“直线的方程”的教学点是最基本的几何元素，在坐标平面内我们可以用坐标来表示点。而直线又可以看作是点的集合或运动的轨迹，根据直线的条件，我们可以用一组关于动点坐标的方程式来表示直线，这就是所谓直线方程的概念。教材中是通过一次函数图像的概念逐步引入直线方程的概念。画一次函数图像，很重要的一步是根据函数解析式取值描点，这个过程就反应了点与数的对应关系。教材中只要求学生了解直线与方程的对应关系，不必过分论证直线与方程的对应关系。二、 关于“直线的倾斜角和斜率”的教学1、直线“倾斜角”和“斜率”的概念，可以对照日常生活中的坡度、斜度等概念进行讲解，以消除学生的陌生感。在讲解斜率时，有必要帮助学生复习正切函数的相关知识，尤其是特殊角的正切函数值。2、斜率计算公式是通过向量的方法推导出来的，比较而言这个方法算是比较简单的了，如果学生基础较差的话，也可以不讲，只要求学生能用即可。3、当直线平行于轴和垂直于轴时，对应的直线倾斜角和斜率比较特殊，应向学生讲解清楚，以利于后面求特殊位置的直线方程。4、关于斜率不存在的情况，可以从两个方面向学生讲解：（1）当直线垂直于轴时，倾斜角为900，这时不存在，所以斜率不存在；（2）因为，如果直线垂直于轴，即，所以斜率不存在；5，为帮助学生理解和应用斜率计算公式，教材中安排了三点共线的问题，有必要引导学生掌握，为后面推导直线方程作准备。第二节 直线方程的几种形式一、 关于“直线的点斜式方程”的教学1、直线的点斜式方程是直线方程最基本的一种形式，斜截式方程、两点式方程、截距式方程都可以看作是点斜式方程的特例。因此，在讲解点斜式方程时要重点介绍方程的推导和应用，要给学生充分的练习时间。2、推导点斜式方程主要是根据斜率计算公式，讲解时要强调方程的形式特点。3、教材中是将斜截式方程作为点斜式方程的应用例子来讲的，但因为斜截式方程与一次函数直接关联，也可以要求学生掌握斜截式方程的相关性质，尤其是掌握根据斜截式方程来判断直线斜率的方法。二、 关于“直线的两点式方程”的教学1、推导直线的两点式方程主要根据斜率的计算公式和点斜式方程，为便于学生理解和掌握，可以通过实例（如教材中的P7例3）来讲解其推导的过程。2、直线方程的截距式方程是通过两点式来推导的。关于截距的概念也有必要向学生讲解。3、为帮助学生加深理解斜率和截距的概念，可以增加如下练习内容：练习 根据下面的图判断k和b取值：k_0k_0k_0k_0a_0a_0a_0a_0b_0b_0b_0b_0三、 关于“直线的一般式方程”的教学实事上，直线的一般式方程已在前面的讲述中反复出现，所以关于其形式没有更多讲述的必要。关于直线的一般式方程需要掌握的有：（1） 根据一般式方程求直线的斜率；（2） 根据一般式方程求直线在轴和轴上的截距；（3） 掌握直线平行于轴和垂直于轴时（即A为零或B为零的情况）的直线方程的形式；四、 关于“直线的参数式方程”的教学*1、这是选学内容，仅供部分工科、理科专业的学生选学。2、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式等对应的都是代数中的二元一次方程。而直线的参数式方程是引入了除“”和“”之外的另一个变量“”（即谓“参数”），得到的是一组关于“”、“”和“”的三元一次方程组。3、推导直线的参数方程，首先要讲清“方向向量”的概念，然后利用向量平行的表示方法写出关系式：由此推出方程：即为直线的参数式方程。4、在直线参数式方程中消除参数“”可得到直线的一般式方程，所以由参数式化一般式容易。但由一般式化参数式，可以得到各种不同形式的参数方程。例如：将直线方程化为参数方程，任意设代入方程，得所以对应的参数方程是：（方程1）如果设代入方程，得则对应的参数方程是（方程2）方程1与方程2虽然形式不一样但表示的都是同一条直线。第三节 两条直线的位置关系及点到直线的距离一、 关于“两条直线的平行和垂直”的教学1，初中平面几何中已经讨论过两直线平行或垂直的问题，在初中平面几何中主要是通过图形的比较来判断两直线的位置关系。本节将讨论用代数的方法判断两直线位置的问题，2，推导两直线平行的条件是从两直线平行推出倾斜角相同，从而推出斜率相等，即：3，教材中特别强调了，即平行直线不包括重合的情况。所以在判断两直线平行时，除了比较两直线的斜率是否相等外，还要比较它们的截距是否相等。4，教材中在推导两直线垂直的条件时，是应用了向量的方法。其实也可以象前面推导两直线平行的条件那样用三角函数的知识来推导两直线垂直的条件。过程如下：图5，当两直线中有一条直线的斜率不存在时（即直线垂直于轴），就不能用斜率关系式来判断两直线的位置关系，这时就要作图分析了。6，教材中没有讨论直接由一般式方程中的系数A、B、C判断两直线平行或垂直的情况，教学中可以引导学生加以讨论。二、 关于“两条直线相交”的教学1，两直线的交点对应于二元一次方程组的解，因此求交点与解方程组是同一个问题。可以引导学生讨论方程组的无解、有无数解、有唯一解与两直线平行、重合、相交的对应关系。2，两直线的夹角是取两直线相交所成较小的那个角，因此，两直线的夹角大于或等于零且小于或等于900。教材中用三角函数的方法详细推导了求两直线夹角的公式，应用时要注意公式中绝对值的符号。3，求两直线夹角时，如果有，公式中的分母为零，这时就不能用公式求夹角了，直接用两直线位置关系分析可知两直线垂直，即夹角为900。三、 关于“点到直线的距离”的教学1，教材中关于点到直线的距离公式，是用向量的方法给予证明的，难度较大，所以不要求学生掌握，只要求掌握公式的应用即可。2、不直接用公式，也可以仅用直线方程的相关知识逐步求出点到直线的距离。考虑到“点到直线的距离”问题是直线方程的综合应用问题，其解答分析的过程包含了斜率、直线方程、两直线的位置关系、两直线的交点以及两点间的距离等内容，而这些内容又都是要求学生所应掌握的重点内容。因此，在讲课中可以增加了一个例题，引导学生一步步分析推理。借此也可以训练学生的逻辑推理能力。例题已知直线的方程是，求点到直线的距离。图（1） 求出己知直线的斜率：；（2） 求出垂线的斜率：（3） 求出垂线的直线方程：，即为（4） 联立方程，解之得，即得交点坐标（5） 求到的距离，即2，求两平行线间的距离，虽然在练习中给出了计算公式，但最好还是要求学生掌握P19例10中所用的方法，通过取点，利用点到直线的距离公式来求两平行线间的距离。第四节 二元一次不等式表示的平面区域1，本节内容是解决线性规划问题的基础。如果不准备讲线性规划的问题，这部分内容建议不讲。2，直角坐标平面中任意一条直线都可以将平面划为两个部分，这条“分界”直线可以用一个二元一次方程表示，则被直线分割的两个区域便可以由对应的二元一次不等式来表示。3，教材中用描点的方式判断不等式所表达的平面区域，这是重点，可以让学生多作练习。此外，教材还用了集合的概念，解释不等式与平面区域的问题，这也是有必要让学生掌握的。4