一元二次方程的整根问退.doc

一元二次方程整数根问题对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的实数根问题，可以用根的判别式=b2-4ac来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。本文对这一问题作一探讨。 1 直接求解例1m是什么整数时方程（m2-1）x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛）解：显然m1,原方程可分解为（m-1）x-6(m+1)x-12=0x1= x2= x1 , x2是正整数m-1=1或2或3或6 m+1=1或2或3或4或6或12解得m=2或3.但m=3时x1=x2不合题意，舍去。当m=2时x1=6 ,x2=4符合题意。 故m=2。2.利用判别式0例2 已知方程ax2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a的值解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a0=(a-3)2-4a(a-2)03a2-2a-90满足上式的整数a的值有-1，1，2，检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ； 当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ； 当a=1时x2+2x-1=0无整数解。 故a= -1或2例3 求满足方程y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x,y）(1995江苏省初中数学竞赛)解：将原方程变形为2x4-4yx2+(y4+1)=0有0即（-4y）2-8(y4+1)0即-8(y2-1)20 即（y2-1）20 故y=1或-1当y= -1时原方程无解；当y=1时（x2-1）2=0,x=1或-1满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。3利用判别式是完全平方式例4 设m为整数且4m40,方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）解：易得=4（2m+1）由=4（2m+1）是完全平方数和4m0经检验：当a=1时x=2或是-3； 当 a=1/2时x=1或-3；当a=1/3时x= -2或-1; 当 a= 时x=0或- （舍去）所有正数a的和为1+1/2+1/3=11/6 6利用整数性质 例10如果方程x2-ax+b+1=0的两 根x1，x2都 为自然数，试证：a2+b2必为合数（祖冲之杯初中数学竞赛）证明：x1+x2=a x1x2=b+1由于 x1，x2为自然数 故a为自然数 b为非负整数a2+b2为自然数 又a2+b2=(x1+x2)2+(x1x2-1)2=(x12+1)（x22+1)显然x12+11 x22+11 a2+b2为合数例11 已知m.n为整数，方程x2+10mx+5n3=0、有实数，问方程有无整 数根？（全国初中数学竞赛培训题）解：如果整糸数方程有整数根，那么判别式是完全平方数。=100m2-4(5n3)=100m2-20n12=10(m2-2n1)2的末位数只能是2或8 不是完全平方数 这个方程无整 数根7利用二次函数例12已知b,c为整数， 方程5x2+bx+c=0的两个根都大于-1且小于0 ，求b和c（全国初中数学竞赛题）解：构造二次函数y=5x2+bx+c的图象和题设条件知：当x=0时5x2+bx+c0 有c0 - 当x= -1时5x2+bx+c0有b5+c -抛物线顶点横坐标-b/10满足-1-b/100有0bb220c c5如果c=1则由得0b6且b220得b=5如果c=2则0b7且b240 无整数解如果c=3则0b8且b260无整数解如果c=4则0b0知n为任意实数时方程都有实数根，设第一个方程 的两 根为a和b则a+b=2n;ab=(-3n-2)/4 于是（a-b）2=(a+b)2 -4ab=4n2+3n+2 由方程得x-(2n+2)x+(n-1)=0x1=2n+2 x2= -n+1 如果x1为整数 ，则4n2+3n+2=2n+2于是n1=0 n2= -1/4。当n1=0时x1=2； n2= -1/4时x1=3/2不是整 数， 舍去。如果x2为整数，则4n2+3n+2= -n+1于是n3=n4=-1/2此时x2=3/2不是整数，舍去。综上所述n=0时第一个方程的两个实根的差的平方等于第二个方程的一个整数根。练习题1 方程x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a为非负整数)至少有一个整数根，求：a 。 (1998全国初中数学竞赛)a=1,3,52 设方程mx2-(m-2)x+m-3=0有整数解，试确定整 数m的值，并求出这时方程的所有整 数解。m=1,x= -2,13 设a为整 数，如果存在整数b和c使得(x+a)(x-15)-25=(x+b)(x+c)成立，求a.。（1998上海市初中数学竞赛）a=9,-15,-394 m是什么整数时关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数？(福州初中数学竞赛)m=7或-15 设关于x的二次方程 (k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数，求适合条件的所有实数k的值。（2000全国初中数学竞赛）k=6,3,10/36 求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a.(1996湖北省黄冈地区初中数学竞赛)a= -1,0,17 试求所有这样 的整 数a使得二次方程ax2+2ax+(a-9)=0至少有一个整 数根。（提示：a=9(x+1)21，解得 -4x2分别讨论x的值可得a=1,9）8 试求正数a使得二次方程(a2+1)x2+2ax+(a2-1)=0两根都是整 数。（提示：（x2+1）a2+2xa+x2-1=0 =4x2-4(x2+1)(x2-1)0即 x4-x2-10从中求出x2的范围，x的范围，最后得x= -1或0或1，经检验得a=1)9 已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x1,x2及x11,x21且 x1x20,x11x210 求证：x10， x20， x110 ，x210 求证b-1cb+1 求b,c所有可能的值。