上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉.pdf

上海交通大学上海交通大学工程硕士 矩阵理论 考试试卷工程硕士 矩阵理论 考试试卷 A卷 考试时间 2010 6 20 09 00 11 00 院系 班级 学号 姓名 得分 注意 本试卷共 6 页 答案须写在此 6 页纸上 要求字迹清楚 一 本题 15 分 设U是 4 R中向量 1 1 2 3 6 Tu 2 4 1 3 6 Tu 3 5 1 6 12 Tu 生成的子空间 W是 4 R中向量 1 1 1 1 1 Tw 2 2 1 4 5 Tw 生成的子空间 分别求UW 与UW 的维数与一组基 二 本题 15 分 设 cossin Vaba b 其中为任意实数是实二维线性空间 对任意 f gV 定义 0 0 22 f gfgfg 证明 f g是V上的内积 并求 3cos 7 4sin 9 h 的长度 三 本题 15 分 设 114 020 033 A 求 A1000 四 本题 10 分 设 A 是 n 正阶方阵 若满足 A A 则称 A 为反 Hermite 阵 证明 反 Hermite 阵的特征值为零或纯虚数 五 本题 15 分 设四阶方阵 A 的特征为 1 1 0 0 求 A e sin A 六 本题 15 分 设 4 P t是实数域上的全体次数小于 4 的多项式形成的线性空间 其中的加法 与数乘 就是通常意义下的 函数的加法与数乘 即任意 4 f gP t R fg tf tg t ftf t 任意 23 32104 f taa tata tP t 定义变换 44 P tP t 为 23 01122330 f taaaa taa taa t 1 证明 为线性变换 2 任取 4 P t的一组基 写出 在这组基下的矩阵 3 求 的核空间和象空间的基与维数 七 本题 15 分 设 114 020 033 A 求 A 的正交三角及满秩分解 上上上海海海交交交通通通大大大学学学2010 2011学学学年年年第第第一一一学学学期期期 矩矩矩阵阵阵理理理论论论 试试试卷卷卷A卷卷卷 共共共八八八道道道大大大题题题目目目 八八八页页页试试试卷卷卷 姓名学号矩阵理论分班号成绩 本试卷共四道大题 总分100分 其中A 表示矩阵A的共轭转置 一 单单单项项项选选选择择择题题题 每题3分 共15分 1 设A 100 100 100 则A200 A199 A E B 0 C A D A2 2 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是 A 次数等于m m 1 的实系数多项式的集合 对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法 B Hermite 矩阵的集合 对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法 C 平面上全体向量的集合 对于通常的加法和如下定义的数乘运算k x x0 k是实数 x0是某一取定向量 D 投影矩阵的集合 对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法 3 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是 A 保持向量的长度不变 B 将标准正交基变为标准正交基 C 保持任意两个向量的夹角不变 D 在任意标准正交基下的矩阵为正交矩 阵 4 设A是幂等矩阵 则下列命题中不正确的是 A A与对角矩阵相似 B A的特征值只可能是1或者0 C sin A sin 1 A D 幂级数 k 0 Ak E A 1 5 设V1 V2是V 的两个线性子空间 则与命题 V1 V2的任意元素的分解式唯一 不等价 的命题是 A V1 V2 0 B dim V1 V2 dimV1 dim V2 C V1 V2的零元素的分解式唯一 D V1 V2 V 1 二 填填填空空空题题题 每空3分 共15分 设二维线性空间V 的线性变换T1 V 7 V 与T2 V 7 V 在基 1 2下的矩阵分别为 A 1 0 21 B 1 0 20 1 T1 T2的乘积T1T2 V 7 V 在基 1 2下的矩阵为 2 dim R T1 3 R T1 N T2 的一个基为 4 若常数k使得k A B 为幂收敛矩阵 则k应该满足的条件是 5 A 0 BB 的Jordan标准型为 2 三 计计计算算算题题题 12分 向量空间R2 2中的内积通常定义为 A B 2 i 1 2 j 1 aijbij A aij 2 2 B bij 2 2 选取A1 1 1 00 A2 0 1 11 构造子空间W A1 A2 1 求W 的一组基 2 利用已知的W和W 求R2 2的一个标准正交基 3 四 计计计算算算题题题 18分 已知 A 200 03 1 011 1 求矩阵A的Jordan标准型J和可逆矩阵P使得A相似于J 2 计算矩阵eA 3 求下列微分方程组的解 dx dt Ax x 0 x0 x0 1 1 1 4 五 计计计算算算题题题 10分 设A Cm n的秩为r A的奇异值分解为A UDV D O OO m n diag s1 sr 求矩阵B A A 的奇异值分解和它的Moore Penrose广义逆B 5 六计计计算算算题题题 18分 设多项式空间P4 t f t a0 a1t a2t2 a3t3 ai R 中的线性变换为 Tf t a0 a1 a1 a2 t a2 a3 t2 a3 a0 t3 1 取定一组基 求该线性变换在该基下的矩阵A 2 求与A相关的四个子空间N A R A R AT 和N AT 3 求线性变换T的值域的基与维数 4 求线性变换T的核的基与维数 6 七 证证证明明明题题题 6分 设A Cn n证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B 使得A B2 7 八 证证证明明明题题题 6分 设A为n阶矩阵 证明 A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g 使 得g A 0 8 附附附录录录 上上上海海海交交交通通通大大大学学学 2009 2010 学学学年年年第第第一一一学学学期期期 矩矩矩阵阵阵理理理论论论 试试试卷卷卷 姓名学号矩阵理论分班号成绩 本试卷共四道大题 总分 100 分 其中 A 表示矩阵 A 的共轭转置 一 单项选择题 每题3分 共15分 1 设有 R3上的两个子空间 U x y z T R3 x y z 0 W x y z T R3 x y z 2 则 dim U W dimU A 0 B 1 C 2 D 3 2 设 U W 是欧氏空间 V 的两个子空间 给出下列四个等式 甲 U W U W 乙 U W U W 丙 U W U W 丁 U W U W 则上述等式成立的是 A 甲与丙 B 甲与丁 C 乙与丙 D 乙与丁 3 设两个 4 阶矩阵 A 与 B 的最小多项式分别为 x 1 2 x 2 与 x 1 x 2 2 则矩 阵 AA B 0B 的最小多项式为 A x 1 2 x 2 B x 1 x 2 2 C x 1 2 x 2 2 D x 1 3 x 2 3 4 设 A 为 n 阶可逆矩阵 A 是其谱半径 是一种矩阵范数 则必有 A A 1 1 A B A5 A 5 C A5 A 5 D A A A 5 设 n 阶矩阵 A aij 的特征值与奇异值分别为 1 n与 1 n 则必有 A n i 1 i n i 1 i B n i 1 i 2 n i 1 i 2 C n i 1 i 2 n i j 1 aij 2 D n i 1 i 2 n i j 1 aij 2 二 填空题 每题3分 共15分 6 设 x y z T R3 x y z T 2x y 2x T 则 关于标准基 标准基的矩阵 为 7 线性方程组 11 00 x1 x2 b1 b2 的最小范数的最小二乘解为 8 设 A 1 3 2 12 22 1 122 则正交变换 x 7 Ax 的旋转轴上的单位向量为 31 9 设 A 为3阶矩阵 eAt ettettet 0et0 00et 则矩阵 E A 的初等因子为 10 设 A 是秩为 r 1 的 n 阶正交投影矩阵 B E cosA 则 B 的特征多项式 为 三 计算题 每题15分 共60分 11 设 V R x n是次数小于 n 的全体实系数多项式构成的实线性空间 定义 V 上的线 性变换 如下 f x 7 xf0 x f x f x V 1 求 的特征值与特征向量 2 求 的核空间 Ker 与像空间 Im 的各一组基 3 判断 V Ker Im 是否成立 说明理由 12 设 V R2是实线性空间 x y T V e1 1 0 T e2 0 1 T 1 求 V 上的一个内积 使得向量组 e1 e1 e2是一组标准正交基 2 在该内积下 计算 e2与 e1 e2的长度 3 设 是 V 的一个等距变换 e1 e1 e2 求 x y T 这样的等距变换唯一吗 13 设 A 100 101 010 1 求 A 的Jordan标准形 J 不必计算变换矩阵 P 2 设 n 3 计算 An An 2与 A2 E 3 求 t 0 E A 2 eAsds 14 设 A Cn n的秩为 r 0 A 的奇异值分解为 A Udiag 1 r 0 0 V 其 中 1 r U u1 un V v1 vn 是两个酉矩阵 ui vi Cn 1 i n 设