普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(辽宁卷)+解析.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的主题1. 为正实数，为虚数单位，则A2 B C D1难度 易 正确答案B 考点：复数、模的运算提示一 考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提.提示二 首先化简复数，然后利用模的运算得到含有的等式，进而求解.提示三 即，又为正实数，.I MN主题2. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则AM BN CI D难度 易 正确答案A 考点：集合、韦恩图应用提示一考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提.提示二 根据画出韦恩图，然后明确提示三 作出满足条件的韦恩（Venn）图，易知主题3. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为FxAyCBNDMOA B1 C D难度 中 正确答案C 考点：圆锥曲线抛物线提示一 考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到是解题的关键.提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点的横坐标.提示三如图，由抛物线的定义知，所以中点的横坐标为.主题4. ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则A B C D难度 易 正确答案D 考点：解三角形提示一 考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提.提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.提示三由正弦定理可得：,即主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）=A B C D难度 中 正确答案B 考点：古典概率提示一 考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提.提示二 准确计算出是解题的关键.提示三,.主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是A8 B5 C3 D2难度 中 正确答案C 考点：算法初步流程图提示一 考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提.提示二 抓住流程图的限制条件是解题的关键.提示三 初始值循环开始，第一次:第二次:第三次:此时，不成立，跳出循环，输出.主题7. 设sin，则A B C D难度 中正确答案A 考点：三角函数求值提示一 考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键.提示三 由得即两边平方，得.主题8. 如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是AACSB BAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角难度 中 正确答案D 考点：空间几何体的位置关系和角的判断提示一 考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提.提示二 采用逐一判断的方法进行分析.提示三为正方形， 故A对；,故B 对；设由上面的分析知，分别是所成的角，易知相等，故C对；选D.主题9. 设函数，则满足的x的取值范围是A，2 B0，2 C1，+ D0，+难度 中正确答案D 考点：分段函数以及性质提示一 考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提.提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.提示三 易知，上是减函数，由所以的取值范围是.主题10. 若，均为单位向量，且，则的最大值为A B1 C D2难度 难 正确答案B 考点：向量模的最值提示一 考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提.提示二 利用将平方的技巧进行转化是解题的关键.提示三.主题11. 函数的定义域为，对任意，则的解集为A（，1） B（，+） C（，）D（，+）难度 中 正确答案B 考点：不等式的解法提示一 考查学生构造能力，通过构造函数是解题的前提.提示二 利用求导判断函数单调性是解题的关键.提示三设,故上单调递增，又所以当时，即.主题12. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥SABC的体积为A B CD1难度 难 正确答案C 考点：空间几何体棱锥的体积提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.SDABC提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键.提示三 如图，过作与直径垂直的球的截面，交于点D，在中，同理为正三角形.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分主题13. 已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 难度 易 正确答案 2 考点：圆锥曲线双曲线的离心率提示一 考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提.提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键.提示三与联立，求得，所以.主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元难度 易 正确答案0.254 考点：回归方程提示一 考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二 利用求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键.提示三 家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的增加1，相应的的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 难度 中正确答案 考点：三视图ABCD提示一 考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提.提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键.提示三如图，设底面边长为，则侧棱长也为，故.左视图与矩形相同，.主题16. 已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则 难度 中 正确答案 考点：三角函数提示一 考查学生视图能力，清晰的含义是解题的前提.提示二 利用函数图象得到周期，利用点代入解析式确定，利用（0,1）代入解析式确定A，进而明确函数的解析式，然后求.提示三 由图知，,将代入得，即又，.又三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤主题17（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列an的通项公式； （II）求数列的前n项和难度 中 正确答案（I）（II） 考点：数列的通项公式和递推数列求和提示一 考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提.提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错位相减法求的前n项和.提示三 （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， 所以 综上，数列 12分主题18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值难度 中 正确答案（I）详见提示; （II） 考点：空间几何体、面面垂直的证明、二面角的求解提示一 考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提.提示二 (1)利用数量积为0，证明PQDQ，PQDC，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.提示三 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为 12分主题19. （本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数难度 中 正确答案（I）2; （II）选择种植品种乙 考点：随机变量的分布列、期望、样本平均数、样本方差提示一 考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提.提示二 (1)根据题意，明确X的取值，利用随机事件的概率公式进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种.提示三（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 4分X的数学期望为 6分 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 12分主题20. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由难度 难 正确答案（I）（II）当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN. 考点：圆锥曲线椭圆、直线与椭圆的位置关系提示一 考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO/AN得到斜率相等是解答本题的前提.提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线和椭圆联立，确定A和B的坐标，进而表示出与；（2）利用BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，得到的表达关系式，通过t的范围和函数关系确定e范围，进而明确是否存在直线l，使得BOAN.提示三（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 4分当表示A，B的纵坐标，可知 6分 （II）t=0时的l不符合题意.时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得因为所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN. 12分21. 已知函数 （I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0难度 难 正确答案 (1)单调增加，在单调减少. （II）（III）详见提示.考点：函数、单调性、不等式证明提示一 考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.提示二 (1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明.提示三（I） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. 4分 （II）设函数则当.故当， 8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知， 12分主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED （I）证明：CD/AB； （II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆 难度 中 正确答案（I）（II）详见提示.提示一 此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提.提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形EFAEGB，进而证明AFG+GBA=180，达到证明四点共圆的目的.提示三（I）因为EC=ED，所以EDC=ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA.故ECD=EBA， 所以CD/AB. 5分（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故EFD=EGC 从而FED=GEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE，又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180. 故A，B，G，F四点共圆 10分主题23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合 （I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积难度 中 正确答案（I）详见提示.（II）提示一 此题考查坐标系与参数方程，直线与椭圆相交.考查学生的转化能力和计算能力，以及分类讨论思