初中数学重要知识点总结.doc

第一讲第一讲 数的分类及数的分类及正负数正负数 倒数倒数 绝对值绝对值 数轴上数的大小比较数轴上数的大小比较 1 数的分类如下图 正整数 整数 零 0 自然数 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 实数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 注意 循环小数化分数的方法是 分母的头几位数字是 9 9 的个数为循环节内数字的个数 分母 的后几位数是 0 0 的个数为不循环部分数字的个数 分子为第二个循环节前面的数字组成的数 包括不循环的部分 减去不循环部分组成的数的差 2 重要概念 实数实数 有理数与无理数统称为实数 有理数有理数 整数和分数统称为有理数 有理数大小比较法则 1 在数轴上表示的两个数 右边的总比左边的数大 2 正数都大于零 负数都小于零 正数大于负数 3 两个正数比较大小 绝对值大的数大 两个负数比较大小 绝对值大的数反而小 无理数无理数 无理数是指无限不循环小数 自然数自然数 表示物体的个数 0 1 2 3 4 0 包括在内 都称为自然数 数轴数轴 规定了圆点 正方向和单位长度的直线叫做数轴 相反数 符号不同的两个数互 为相反数 数轴是一条带有方向 原点和规定长度单位的直线 一个有理数在数轴上总可以 找出一点和它对应 表示方向的箭头在直线的右端 数轴上方或右方是正数 原点 的左方或下方是负数 原点是零 数轴的画法 一画 直线 二定 定原定 三选 选正方向 四统一 单位长度要统一 在数轴上 表示互为相反数 零除外 的两个点 位于原点的两侧 并且到原点的距离相等 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 倒数倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数 相反数相反数 到原点距离相等的两个数叫互为相反的数 零的相反数是零 绝对值绝对值 数轴上表示的数 a 到原点的距离叫数 a 的绝对值 一个正数的绝对值是它 本身 一个负数的绝对值是它相反数 零的绝对值是它本身 正数大于零 零大于 负数 正数大于负数 两个负数绝对值大的反而小 因为正数可用 a 0 表示 负数可用 a 0 表示 所以上述三条可表述成 1 如果 a 0 那么 a a 2 如果 a 0 那么 a a 3 如果 a 0 那么 a 0 两个正数比较大小 绝对值大的数大 两个负数比较大小 绝对值大的数反而小 3 总结总结 互为相反数的两数的和为 0 互为倒数的两数 的积为 1 0 的相反数是 0 0 没有倒数 相反数是本身 的数只有一个 0 倒数是本身的数有 1 和 1 0 的绝对 值是 0 0 既不是正数 也不是负数 第二讲第二讲 有理数的加减乘除及混合运算有理数的加减乘除及混合运算 一 有理数的运算法则 加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 取绝对值较大的 加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘都得 0 4 有理数除法运算法则 两理数除法运算法则可用两种方式来表述 第一 除 以一个不等于零的数 等于乘以这个数的倒数 第二 两数相除 同号得正 异号 得负 并把绝对值相除 零除以任何一个不为零的数 商都是零 二 乘法的交换律 乘法的结合律 乘法的分配律 两个数相成 交换因数位置积相等 如 ab ba 这叫乘法交换律 三个数相乘 先把前两个相乘或先把后两个数相乘 积相等 如 ab c a bc 这叫乘法结 合律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 在把积相加 如 a b c ab ac 这叫乘法的分配律 如果如果a a b b c c分别表示任一有理数 那么 分别表示任一有理数 那么 乘法的交换律 乘法的交换律 a a b b b b a a 乘法的结合律 乘法的结合律 a a b b c c a a b b c c 分配律分配律 a a b b c c a a b b a a c c 三 加括号和去括号时各项的符号的变化规律 去 加 括号时如果括号外的因数是正数 去 加 括号后式子各项的符号与原括 号内的式子相应各项的符号相同 括号外的因数是负数去 加 括号后式子各项的 符号与原括号内式子相应各项的符号相反 4 有理数混合运算时 对于运算顺序有什么规定 答 在有理数混合运算时 将运算分为三级 加减为一级运算 乘除为二级运算 乘方为三级运 算 同级运算时 从左到右依次进行 不是同级的混合运算 先算乘方 再算乘除 而后才算加 减 运算中如有括号时 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号的顺序进行 第三讲第三讲 有理数的乘方有理数的乘方 科学计数法科学计数法 有效数字及平方根有效数字及平方根 1 有理数的乘方 幂 底数 指数 相同因数相乘积的运算叫乘方 乘方的结果叫幂 在a an n 中 a 叫做底数 n 叫做 指数 a an n 读作读作 a a 的的 n n 次方或者次方或者 a a 的的 n n 次幂次幂 2 有理数乘方运算的法则 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 零的任何 正整数幂都是零 3 什么叫科学记数法 将一个数用 N a 10n表示 这样的记数方法叫科学记数法 这里的 a 必须是整数 位只有一位的数 n 必须是正整数 读作 a 乘 10 的 n 次方 或 a 乘 10 的 n 次幂 10 时 直线 y kx 经过三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 图象经过第一 三象限 k0 图象经过第一 二象限 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0b0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 经过第一 二 四象 限 经过第二 三 四象 限 经过第二 四象限 k0 时 向上平移 当 b0 或 ax b0 b 0 这时此函数的图象经过一 二 三象限 当 k 0 b 0 这时此函数的图象经过一 三 四象限 当 k 0 b 0 这时此函数的图象经过二 三 四象限 当 k0 这时此函数的图象经过一 二 四象限 当 b 0 时 直线必通过一 二象限 当 b 0 时 直线必通过三 四象限 特别地 当 b 0 时 直线通过原点 O 0 0 表示的是正比例函数的图像 这时 当 k 0 时 直线只通过一 三象限 当 k 0 时 直线只通过二 四象限 第八讲第八讲 反比例函数反比例函数 反比例函数的概念反比例函数的概念 一般地 如果两个变量 x y 之间的关系可以表示成 x k y 或 y kx 1 k 为常数 0k 的形 式 那么称 y 是 x 的反比例函数 反比例函数的概念需注意以下几点 1 k 是常数 且 k 不为零 2 x k 中分母 x 的指数为 1 如 2 2 y x 不是反比例函数 3 自变量 x 的取值范围是0 x 一切实数 4 自变量 y 的取值范围是0y 一切实数 反比例函数的图象及性质反比例函数的图象及性质 反比例函数 x k y 的图象是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限或第二 四象限 它们关于原点对称 反比例函数的图象与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支 无限接近坐标轴 但永远不与坐标轴相交 画反比例函数的图象时要注意的问题 1 画反比例函数图象的方法是描点法 2 画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0 x 因此不能把两个分支连接起来 3 由于在反比例函数中 x 和 y 的值都不能为 0 所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出 无限的接近坐标轴 但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势 反比例函数的性质 x k y 0k 的变形形式为kxy 常数 所以 1 其图象的位置是 当0k 时 x y 同号 图象在第一 三象限 当0k 时 x y 异号 图象在第二 四象限 2 若点 m n 在反比例函数 x k y 的图象上 则点 m n 也在此图象上 故反比例函数 的图象关于原点对称 3 当0k 时 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 当0k 时 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 1 反比例函数关系式的确定方法 待定系数法 由于在反比例函数关系式 x k y 中 只有 一个待定系数 k 确定了 k 的值 也就确定了反比例函数 因此只需给出一组 x y 的对应值或 图象上点的坐标 代入 x k y 中即可求出 k 的值 从而确定反比例函数的关系式 2 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是 设所求的反比例函数为 x k y 0k 根据已知条件 列出含 k 的方程 解出待定系数 k 的值 把 k 值代入函数关系式 x k y 中 反比例函数的应用须注意以下几点 反比例函数在现实世界中普遍存在 在应用反比例函数知识解决实际问题时 要注意将实 际问题转化为数学问题 针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系 列出函数关系式后 要注意自变量的取值范围 第九讲二次函数的基本形式 1 1 二次函数的概念 一般地 形如 二次函数的概念 一般地 形如 2 yaxbxc abc 是常数 是常数 0a 的函数 叫做二次函数 的函数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数0a 而 而bc 可以为零 二次函数的定义域是全体实数 可以为零 二次函数的定义域是全体实数 2 2 二次函数二次函数 2 yaxbxc 的结构特征 的结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量等号左边是函数 右边是关于自变量 x的二次式 的二次式 x的最高次数是的最高次数是 2 2 abc 是常数 是常数 a是二次项系数 是二次项系数 b是一次项系数 是一次项系数 c 是常数项 是常数项 二次函数的基本形式二次函数的基本形式 1 1 二次函数基本形式 二次函数基本形式 2 yax 的性质 的性质 结论 结论 a a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 的绝对值越大 抛物线的开口越小 总结 总结 2 2 2 yaxc 的性质 的性质 结论 上加下减 结论 上加下减 总结 总结 3 3 2 ya xh 的性质 的性质 结论 左加右减 结论 左加右减 总结 总结 4 4 2 ya xhk 的性的性质 质 总结 总结 二次二次函数函数 图象图象的平的平 移移 1 1 平移平移 步骤 步骤 将将 抛物抛物线解线解 析式析式转化转化 成顶点式成顶点式 2 ya xhk 确定其顶点坐标 确定其顶点坐标 hk 保持抛物线保持抛物线 2 yax 的形状不变 将其顶点平移到的形状不变 将其顶点平移到 hk 处 具体平移方法如下 处 具体平移方法如下 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 00 y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 有最小有最小 值值0 0a 向下向下 00 y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 有最大有最大 值值0 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 0c y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 有最小有最小 值值c 0a 向下向下 0c y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 有最大有最大 值值c a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 0h X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 有最小有最小 值值0 0a 向下向下 0h X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 有最大有最大 值值0 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 hk X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 有最小有最小 值值k 0a 向下向下 hk X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 有最大有最大 值值k h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 2 平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上 h值正右移 负左移 值正右移 负左移 k值正上移 负下移值正上移 负下移 概括成八个字概括成八个字 左加右减 上加下减左加右减 上加下减 三 二次函数三 二次函数 2 ya xhk 与与 2 yaxbxc 的比较的比较 请将 2 245yxx 利用配方的形式配成顶点式 请将 2 yaxbxc 配成 2 ya xhk 总结 总结 从解析式上看 从解析式上看 2 ya xhk 与与 2 yaxbxc 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前者 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前者 即即 2 2 4 24 bacb ya x aa 其中 其中 2 4 24 bacb hk aa 四 二次函数四 二次函数 2 yaxbxc 图象的画法图象的画法 五点绘图法 利用配方法将二次函数五点绘图法 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式化为顶点式 2 ya xhk 确定其开口方向 对称确定其开口方向 对称 轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与一般我们选取的五点为 顶点 与 y 轴的交点轴的交点 0c 以及 以及 0c 关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点 2hc 与 与 x轴的交点轴的交点 1 0 x 2 0 x 若与 若与 x轴没有交点 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 则取两组关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 x轴的交点 与轴的交点 与 y 轴的交点轴的交点 五 二次函数五 二次函数 2 yaxbxc 的性质的性质 1 1 当当0a 时 抛物线开口向上 对称轴为时 抛物线开口向上 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当当 时 时 y 随随 x的增大而减小 当的增大而减小 当时 时 y 随随 x的增大而增大 当的增大而增大 当 2 b x a 时 时 y 有最有最 a b x 2 a b x 2 小值小值 2 4 4 acb a 2 2 当当0a 时 抛物线开口向下 对称轴为时 抛物线开口向下 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当 当时 时 y 随随 a b x 2 x的增大而增大 当的增大而增大 当时 时 y 随随 x的增大而减小 当的增大而减小 当 2 b x a 时 时 y 有最大值有最大值 2 4 4 acb a a b x 2 第十讲二次函数的图像与系数之间的关系 六 二次函数解析式的表示方法六 二次函数解析式的表示方法 1 1 一般式 一般式 2 yaxbxc a b c 为常数为常数 0a 2 2 顶点式 顶点式 2 ya xhk a h k为常数为常数 0a 3 3 两根式 两根式 12 ya xxxx 0a 1 x 2 x是抛物线与是抛物线与 x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有 抛物线与抛物线与 x轴有交点 即轴有交点 即 2 40bac 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三 种形式可以互化种形式可以互化 七 二次函数的图象与各项系数之间的关系七 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 1 二次项系数二次项系数a 二次函数二次函数 2 yaxbxc 中 中 a作为二次项系数 显然作为二次项系数 显然0a 当当0a 时 抛物线开口向上 时 抛物线开口向上 a的值越大 开口越小 反之的值越大 开口越小 反之a的值越小 开口越大 的值越小 开口越大 当当0a 时 抛物线开口向下 时 抛物线开口向下 a的值越小 开口越小 反之的值越小 开口越小 反之a的值越大 开口越大 的值越大 开口越大 总结起来 总结起来 a决定了抛物线开口的大小和方向 决定了抛物线开口的大小和方向 a的正负决定开口方向 的正负决定开口方向 a的大小决定开口的大小 的大小决定开口的大小 2 2 一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数a确定的前提下 确定的前提下 b决定了抛物线的对称轴 决定了抛物线的对称轴 在在0a 的前提下 的前提下 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 即抛物线的对称轴在 y 轴左侧 轴左侧 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 即抛物线的对称轴就是 y 轴 轴 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 轴的右侧 在在0a 的前提下 结论刚好与上述相反 即的前提下 结论刚好与上述相反 即 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 即抛物线的对称轴在 y 轴右侧 轴右侧 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 即抛物线的对称轴就是 y 轴 轴 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 轴的左侧 总结起来 在总结起来 在a确定的前提下 确定的前提下 b决定了抛物线对称轴的位置 决定了抛物线对称轴的位置 总结 总结 3 3 常数项常数项c 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴上方 即抛物线与轴上方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正 轴交点的纵坐标为正 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为0 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴下方 即抛物线与轴下方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 轴交点的纵坐标为负 总结起来 总结起来 c 决定了抛物线与决定了抛物线与 y 轴交点的位置 轴交点的位置 总之 只要总之 只要abc 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题 目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 3 已知抛物线与已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 4 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 二 二次函数图象的对称二 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 1 关于关于 x轴对称轴对称 2 yaxbxc 关于关于 x轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于关于 x轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 2 关于关于 y 轴对称轴对称 2 yaxbxc 关于关于 y 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于关于 y 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 3 3 关于原点对称关于原点对称 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 4 4 关于顶点对称关于顶点对称 2 yaxbxc 关于顶点对称后 得到的解析式是关于顶点对称后 得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a 2 ya xhk 关于顶点对称后 得到的解析式是关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 5 5 关于点关于点 mn 对称对称 2 ya xhk 关于点关于点 mn 对称后 得到的解析式是对称后 得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此a永远不变 求抛永远不变 求抛 物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后再写出 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后再写出 其对称抛物线的表达式 其对称抛物线的表达式 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 1 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 x轴交点情况 轴交点情况 一元二次方程一元二次方程 2 0axbxc 是二次函数是二次函数 2 yaxbxc 当函数值当函数值0y 时的特殊情况时的特殊情况 图象与图象与 x轴的交点个数 轴的交点个数 当当 2 40bac 时时 图象与 图象与 x轴交于两点轴交于两点 12 00A xB x 12 xx 其中的 其中的 12 xx 是一元二次方程是一元二次方程 2 00axbxca 的两根 这两点间的距离的两根 这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a 当当0 时 时 图象与图象与 x轴只有一个交点 轴只有一个交点 当当0 时 图象与时 图