山东大学数学专题数学分析部分第七章.pdf

第四部分级数与广义积分 第7 章级数 7 1 常数项级数 1 级数的定义 设给定数列 符号 1 称作无穷级数 称作级数的通项 级数 1 的前 项的和 1 称作 它的部分和 若极限 lim 存在有限 设为 则称级数 1 收敛 叫做它的和 记为 1 否则 则称级数 1 发散 2 级数的性质 1 若级数 1 收敛 则级数 1 为常数 也收敛 且 1 1 2 若级数 1 和 1 都收敛 则级数 1 也收 敛 并且 1 1 1 3 不改变收敛级数各项的顺序而对其任意加括号所构成 的新级数仍收敛 其和不变 4 在一个收敛 发散 级数的前面加上或去掉有限项所得 1 级数仍收敛 发散 5 若级数 1 收敛 则必 lim 0 3 正项级数 通项大于或等于零的级数 收敛判别法 通项大于或等于零的级数称作正项级数 1 基本定理 正项级数 1 收敛的充要条件是其部分 和 有上界 2 比较判别法 如果 0 1 2 则当 1 收敛时 1 也收敛 当 1 发散时 1 也发散 极限形式 如果 lim 0 则 i 当0 时 1 与 1 敛散性相同 ii 当 0 时 由 1 收敛可推出 1 收敛 iii 当 时 由 1 发散可推出 1 发散 常用比较级数 i 等比级数 1 当 1 时收敛 当 1 时发散 3 比检法 J d Alembert 达朗倍尔 判别法 如果 lim 1 0 2 则当 1 时 1 发散 4 根检法 Cauchy 柯西 判别法 如果 lim 0 则当 1 时 1 发散 比检法与根检法本质上与等比级数比较 5 Raabe 拉阿比 判别法 如果 lim 1 1 则当 1 时 1 收敛 当 1 时 1 发散 Raabe 拉阿比 判别法本质上与 级数比较 6 积分判别法 设 在 0 当 时 对所有正整数 都有 1 2 0 3 lnsin 4 1 0 sin 1 1 5 1 1 6 sin 4 解 1 因 cos 1 2 2 4 0 得 1 cos 1 1 2 2 1 4 1 2 2 所以 1 收敛 2 因 1 2 ln 1 2 0 得 ln 2 1 ln 2 1 1 1 2 ln 1 1 1 2 1 1 2 1 所以当 1 时 1 收敛 当 1 时 1 发散 3 当 时 lnsin ln 1 3 ln 1 1 lnsin 1 ln 1 ln 因此当 1 时 1 收敛 当 1 时 1 发散 4 当 0 时 sin 1 5 因此 当 时 1 0 1 1 1 1 1 1 因此 当 0 时 1 收敛 当 0 时 1 发散 5 由 1 1 ln 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 可知 1 发散 6 显然 sin sin2 1 cos2 2 1 2 cos2 2 因 1 1 2 发散 1 cos2 2 收敛 故 1 sin2 发散 由此得出 1 sin 发散 例2 判断级数 1 的敛散性 其中 1 1 1 ln 2 1 3 1 3 2 1 1 2 2 4 lnln ln ln 解 1 对充分大的 0 0 所以可视 1 为正项 级数 由 1 1 ln 1 ln 1 ln 6 及 ln 1 ln ln ln 2 2 ln ln 2 可知 1 ln ln2 1 1 ln2 1 因此当且仅当 1 时 1 收敛 2 当 0 时 1 显然发散 当 0 时 由于 1 ln 1 1 ln 2 ln2 1 ln 2 ln2 ln 所以当且仅当 1 时 1 收敛 3 使用Stirling 公式 2 1 1 得 1 3 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 22 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 4 因此 1 发散 7 4 当 3时 0 由Stirling 公式得 lnln ln ln lnln ln ln lnln ln2 时 ln 1 1 是单调减少的 另外 lim ln 1 1 lim lnln 1 0 所以 1 收敛 3 由 1 1 1 容易看出 1 单 调下降且以0 为极限 所以 1 收敛 8 4 令 1 则 ln 1 ln ln 2 1 1 ln 2 1 2 由于 lim ln 0 所以 如果 0 当 0时 1 1 单调下降以0 为极限 1 收敛 如果 0 显然当 时 1 1 不以0 为极限 所 以 1 发散 5 由于 1 1 1 2 1 单调上升且有界 而级数 1 1 ln 收 敛 由阿贝尔判别法知 1 收敛 6 显然 sin 2 1 sin 2 1 1 sin 2 1 1 sin 2 1 而且sin 2 1 单调减少以0 为极限 所以 1 收敛 例4 研究级数 1 2 1 2 1 9 的敛散性 解 注意到 2 1 2 2 2 2 2 22 2 使用Stirling 公式 2 1 1 得 2 1 2 2 2 2 4 22 2 2 2 1 1 1 1 1 因此 2 1 2 1 1 2 2 1 1 于是 当 2 1 时 级数收敛 当 2 1 时 级数发散 例5 设级数 1 0 发散 1 求证 1 当 1 时收敛 当 1 时发散 证 由 0 得 1 1 2 2 1 2 1 因为 1 发散 故不论 如何大 总可选择 使 1 2 根据收敛准则知 1 发散 又当 1 时 1 设 1 1 1 1 在 1 应用中值定理得 1 1 1 1 1 1 1 1 其中 1 1 时收敛 例6 设数列 与 有下列关系 ln 1 若 1 2 收敛 则 1 也收敛 证 由于 1 2 收敛 所以 1 因此 ln 1 1 2 2 2 11 由 与 的关系得到 1 2 2 2 于是 1 2 2 2 所以 1 与 1 2 敛散性相同 即 1 收敛 例7 设数列 与 有以下关系 则由 1 2 收敛 可知 1 收敛 证 由 1 2 收敛 则 1 当 时 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 由此得到 1 于是 1 1 1 2 2 2 由此得到 1 2 2 12 故由 1 2 收敛 可知 1 收敛 例8 设正项级数 1 收敛 数列 单调 则 1 ln 证 首先证明 必是单调下降数列 否则 1 1 因而 1 发散 矛盾 由 1 收敛 根据Chuchy 准则 0 当 时 有 1 2 2有 1 1 1 1 1 2 1 ln ln 2 1 2 ln 即当 2 2时 ln 有 0 1 1 1 如果 0 在 1 中令 给出 1 注意到 可足够大 因此 1 发散 注意到 是一个正数单调减少序列 对 1 显然有 1 1 1 1 1 1 如果 1 发散 因 是一个正数单调减少序列 故 lim 0 14 如果 0 在 1 1 1 中令 给出 1 1 因此 1 收敛 这是不可能的 故 0 即 lim 0 例10 设正项级数 1 的项单调减少 则级数 1 与级 数 1 2 2 同敛同散 证 设 2 1 2 2 因项单调减少 故 0 2 1 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 1 2 2 22 22 2 2 由 知 若 1 2 2 收敛 则 1 也收敛 由 知 若 1 2 2 发散 则 1 也发散 15 注意 在此题中 用作比较的级数 1 2 2 可用更普遍的级 数 1 来代表 其中 为任一自然数 证法类似 例11 设 是一个实数序列 满足0 1 2 证 如果 1 收敛 则问题是显然的 因为 1 1 1 1 2 以后我们假设 1 发散 因为0 1 与 1 发散 对每个整数 0 存在唯 一的正整数 使 1 序列 是严格 增加的 所以 1 2 1 2 1 2 序列 也是严格增加的 所以 2 2 1 1 16 2 1 1 1 2 2 1 2 它对于 1 2 是收敛的 因此 1 收敛 7 2 函数项级数 7 2 1 函数序列 1 基本概念 研究函数序列 假定 是在区 间 上有定义的函数 如果对于 中每一个 序列 都有 有限极限 则此极限显然是 的函数 以 表示 称为函数 序列的极限函数 2 一致收敛的定义 设给定了函数序列 其中各 函数 都在区间 上有定义 又设 是在区间 上有定 义的函数 如果 0 使当 时 对 中一 切 皆有 0 使当 时 对 中 一切 皆有 0 使当 时 对 中一切 皆有 1 0 使当 时 对任 意自然数 及 中任意 皆有 1 2 函数项级数 1 在区间 上一致收敛的充分必要条 19 件是 lim sup 1 0 3 优势级数判别法 设 0 对 1 2 使 0 由BoLzano Weistrass 布 外 定理知 可从 分出一个收敛于极限 0的子序列 由于 的连续性 对 都有 lim 0 另 一方面 对 足够大的 使 所以 0 令 得 lim 0 0 这 与 lim 0 0 矛盾 于是 1 在 上一致收敛 例4 求极限 1 lim 1 1 1 2 lim 0 0 1 1 解 1 当 1 2 2 时 1 关于 单调 且关于 一致趋于0 而 1 1 部分和一致有界 根据Dirichlet 狄里赫勒 判别法 知 1 1 在 1 2 2 一致收敛 于是 lim 1 1 1 1 1 ln2 2 设 1 1 0 则 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 24 于是 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 对于固定的 0 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 可知 1 1 1 在 0 1 关于 单调下降 且 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 根据Dirichlet 狄里赫勒 判别法知 1 1 1 1 1 在 0 1 一致收敛 于是 lim 0 0 1 2 lim 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 即 lim 0 0 1 1 1 2 25 例5 设给定正项级数 1 令 1 讨论级数 1 1 收敛域 2 在收敛域上是否一致收敛 说明原因 3 求出 一致收敛域 解 分两种情况 情况1 假设 1 收敛 1 级数 1 的收敛域为 因为当 0 时 0 时 这 里 1 为任意正数 2 在收敛域上不一致收敛 只要取 1 即可证明 3 一致收敛域为 这里 为任意正数 情况2 假设 1 发散 1 级数 1 的收敛域为 0 因为当 0 时 当 0 时 这里 为任意正数 有 1 1 2 2 2 1 2 2 2 故 2 2 2 根据 7 1 例5 知 1 2 收敛 2 在收敛域上不一致收敛 证明如下 由 1 发散 根 据Cauchy 柯西 收敛准则知 0 0 自然数 0 26 与 0 使 0 1 0 0 取0 0 0 1 根据Cauchy 柯西 收敛准则知 1 在 0 上不一致 收敛 3 一致收敛域为 这里 为任意正数 例6 设 是定义在 上的连续函数序列 且 在 一致收敛于 若 且 lim 0 则 lim 0 证 0 由于 在 一致收敛于 故存在 1 当 1时 对一切 有 2 特别地 有 0 当 0 时 0 2时 0 也有 0 时有 0 0 于是 lim 0 例7 设 1 2 表示线段 0 1 上的有理数 1 3 0 1 证明 1 在 0 1 连续 2 在 0 1 中的无理点可微 有 理点不可微 证 由于当0 1 时 3 1 3 故原级数在 0 1 一致收敛 于是 在 0 1 连续 2 设 0为 0 1 中的任意一点 当 0时 有 0 0 1 其中 0 3 0 0 1 2 28 由于 0 0 0 故 1 3 0 1 2 于是级数 1 在 0 1 0上一致收敛 如果 0为无理点 注意到当 与 0充分近时 与 0 同号 故 lim 0 1 3 0 1 2 于是有 0 lim 0 0 0 1 lim 0 1 1 3 0 这就证明 在 0 1 中的无理点可微 如果 0为有理点 则存在正整数 使 0 于是有 0 0 与前面类似 有 lim 0 1 3 0 29 但 lim 0 0 1 3 lim 0 0 1 3 因此 lim 0 不存在 于是 lim 0 0 0 不存在 这就证明 在 0 1 中的有理点不可微 7 3 幂级数 1 定义 级数 0 或较一般形式的级数 0 0 称作幂级数 2 收敛区域 1 对任何幂级数 0 必有唯一的0 存在 使当 时级数发散 称 为 级数 0 的收敛半径 2 收敛半径的求法 i 若 lim 1 则 1 若 lim 1 存在 利用上述公式求收敛半径比较方便 若 lim 1 不存在 必须随找它法求收敛半径 ii Cauchy 柯西 Hadamard 阿达玛 公式 若limsup 则 1 30 Cauchy 柯西 Hadamard 阿达玛 公式的优点是limsup 一定存在 3 幂级数的一致收敛性 1 若幂级数 0 的收敛半径为 0 则幂级数 在 上内闭一致收敛 2 若幂级数 0 的收敛半径为 0 且级数 0 收敛 或 0 收敛 则幂级数在 0 或 0 上一 致收敛 4 幂级数的解析性质 1 幂级数 0 的和函数 在 上连续 2 幂级数 0 在 内可逐项积分 即当 时 0 0 0 0 1 1 3 幂级数 0 在 内可逐项微分 即当 时 0 1 1 幂级数在收敛区间 中具有任意阶导函数 且微分及 积分后收敛半径不变 5 函数的幂级数展开 1 设 在 上具有任意阶导数 如果 在 31 上可展开幂级数 0 则 0 2 设 在 上具有任意阶导数 则 在 上可展开幂级数的充要条件是 lim 0 其中 0 0 特别地 如果 1 2 则 0 0 3 几个常用展开式 0 sin 0 1 2 1 2 1 cos 0 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 32 ln 1 1 1 1 1 0 为周期的函数 如果 i 在 上至多只有有限个 间断点 而且都是第一类间断点 ii 在 上逐段单调 则 的Fourier 傅立叶 级数 0 2 1 cos sin 在 上各点都收敛于 0 0 2 3 一致收敛性定理 设 是 上逐段单调的连续函 数 且 则 的Fourier 傅立叶 级数 0 2 1 cos sin 必在 上一致收敛于 例1 求级数 1 3 1 的收敛域 解 由 limsup 3 1 4 得 1 4 当 1 4 时 级数成为 1 3 1 1 4 34 1 3 1 2 2 2 1 42 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 42 1 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 发散 当 1 4 时 级数成为 1 3 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 发散 所以级数的收敛域为 1 4 1 4 例2 求级数 1 2 0 0 的收敛域 解 如果 则 limsup 2 于是 1 当 时 1 2 1 与 1 2 1 都收敛 所以级数的收敛域为 1 1 当 时 1 2 1 35 发散 而 1 2 1 收敛 所以级数的收敛域为 1 1 如果 0 0 1 2 置 0 1 如果 lim 且 lim 0 证明 1 的收 敛半径为1 证 设 与 分别为 1 与 1 的收敛半径 因 为 lim 故 1 对 1 发散 因此 1 又 lim 0 根据J d Alembert 达朗倍尔 判别法知 同时 它也意味着 1 lim lim 1 lim 1 因此 1 于是 1 36 例4 将函数 在 0 展成幂级数 并求此幂级数的收 敛半径 其中 1 1 2 3 2 2 ln 1 1 3 ln 1 2 解 1 1 2 3 2 1 1 3 1 4 1 1 1 1 3 1 4 0 0 3 1 4 0 1 1 1 3 收敛半径为1 3 2 当 1 时 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 因此 对于 1 由幂级数的逐项积分性质得 ln 1 1 0 0 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ln2 1 1 1 2 1 2 2 收敛半径为1 3 显然 1 1 2 37 注意到 1 1 2 1 1 1 1 3 5 2 1 2 4 6 2 1 1 于是 1 1 2 1 1 1 1 3 5 2 1 2 4 6 2 2 1 1 逐项积分即得 当 1 1 时 0 0 0 1 1 1 1 3 5 2 1 2 4 6 2 2 1 1 1 3 5 2 1 2 4 6 2 2 1 2 1 因为当 1 时 上式右端级数仍收敛 知展式成立的区间 为 1 1 例5 将函数 ln 展成 1 1 的幂级数 并求其收敛区 域 解 设 1 1 则 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 2 1 2 1 2