2020年数学线性规划问题探究.doc

数学线性规划问题探究 作者简介：周亚锋（1996.4），男，汉族，湖北武汉市人，学生，学校：湖北省实验中学。 摘要：通过对实际生活中有关优化问题的探讨，运用线性规划知识，使问题情景数学化，特别是应用图解法有关可行解的理论，对有关优化问题的数学模型的建立和求解给出了具体方法。 关键词：线性规划；约束条件；目标函数；图解法 利用线性规划知识建立有关优化问题的数学模型，需要寻求决策变量x，在优化问题中，通常有多个决策变量，常用一组不等式来描述即约束条件。在解决最优解问题时，若用数量形式描述即目标函数。对不同的问题，其目标和条件的表现形式可以是各式各样，但在数学看来，都可以概括为：求某一函数在一定约束条件下的最大（最小）值的问题。 一、线性规划问题 1、不等式Ax+By+C0 （1）当B0时y-A/Bx-C/B表示直线Ax+By+C=0的上部分 （2）当B （3）当B=0时，当A0时x-C/A表示直线x=-C/A的右方部分 当A 2、点在直线同侧还是异侧的判断 令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0 （1）A，B在L的异侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C） （2）A，B在L的同侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）0 3、不等式表示的平面区域 例如：|x|+|y|2所表示的平面区域图1 |x|+|y|-20 x+y-20 -x-y-20 x-y-20 -x+y-20 图1 二、建立优化问题的数学模型 下面通过实例看看如何形成约束条件和目标函数。 例：某工厂甲、乙两种产品，计划每天各种产品的生产量不少于15t，已知如表1所示。 12问应如何安排生产才能获得最大利润？ 设甲、乙两种产品分别为x（t），y（t），总利润z（万元） 则有约束条件： 9x+4y300 4x+5y200 3x+10y300 x15 y15 目标函数为：zmax=7x+12y 概括上述问题的数学模型就是：求一组非负数x、y，使之满足上述约束条件，且使目标函数取得最大值。 三、用图解法解线性规划问题的方法 建立有关优化问题的数学模型后，下一步就需要求解问题。由于目标函数和约束条件都是线性函数，在二维情况下，可行解的区域为直线段围成的凸多边形，于是，最优解一定在凸多边形的某个顶点处取得。 解决上述的实际问题： 约束条件： 9x+4y300 4x+5y200 3x+10y300 x15 y15 目标函数为：zmax=7x+12y 由上述约束条件的5个不等式来确定可行解的区域。图2中阴影部分为凸多边形，其中每个点的坐标都是线性规划问题的一个可行解。 求目标函数为：zmax=7x+12y取得最大值。 令z等于某一个常数，如z=366.69，411，417.246，428等分别做直线zmax=7x+12y，这些线都是互相平行的直线，即是目标函数的等值线。当z越来越大时，直线离开原点越来越远，最后，在满足约束条件的所有解中，使z取得最大值的解将在可行域的边界点A（20，24）处得到，即当x=20、y=24时zmax=428（万元）。 由上述可知，用图解法解决实际问题的基本思路是：画出由约束条件所确定的可行域S，然后根据目标函数的梯度方向，在可行域S中选取最优解（x，y），使所求的目