圆的若干性质的圆锥曲线推广.pdf

2 I 3I I 2 x 4I I 3 一4l I 4 x 一5 I 1 1 3 l l g 一 6 1 2 1 g x 一 5 I I l g 9 l 8 4 i s in 1 s i 1 s i nx 5 6 2 一 S l n X 一 3 解 1 一 5 2 x 3 耳 lJ 一 兰 兰 时 方 程左边有最 小值 4 8 故 原方程 的解 为 一一5 c 一 3 2 2 2 方程化为I 3 I 2 I 2 I 3 I 一 I 4 I 5 I 1 即 丢 时 方 程 左 边 有 最 小 值l l 故 原 方 程 的 解 为 云 3 方程化 为 l 1 g 一 6 l l l g x 一 5 l l l g x 3 l 8 l g x 5时 方程 左边 有 最小 值 9 又右 边 0 e为 7 产 一 内定点 的弦 其两端切线 的交 点为 T x M x o Y o 则直线 为 1 一e 2 Y一 p x P 0 点 在 上 1 一e 2 X o Y Y o p x X o P 0 即交 点 在定直线 1 一e X o X Y o Y p X o P 0上 故 过圆锥 曲线 厂内定 点 M 的弦 其两端 维普资讯 切线的交点共线 性质 5过 同心 圆 中的小 圆上任 一点 P 作小 圆的切线 与大圆相 交于 则 P是 弦 A B 的中点 垦 推广 5过有心 圆锥 曲线 1 x 2 v2 o 1 上 任一 点 P作切线 与 厂 2 l 相交于 则 P是弦 A B的 中 a 一 c 点 证明 设 P x o Y o Y 1 B x 2 Y 2 P 为 厂 的顶点时 结论显然成立 下设 P不是 厂 的顶点 切 线 A B为 口 一C 2 x o x a 2 Y o Y 2 2 a 口 一c 与 厂I a 一c a 2 y a 口 一C 联立消去 Y得方程 口 一c a 2 y 2o x 一2 2 a 口 一C 2 x o x 2 4 a 口 一 C 2 一a 4 2 2 0 由根与 系数 关系得 I 2 一 口 口 一c j c 0 2 口 一c 口 口 一c 口 2 2 2 a 口 一C 2 丁 X I X 2 2 2 2 口 口 一c 一 口 一C 2 2口 a 口 一 一 a 一c 一 一 即 P是弦 A B的中点 性质 6 P Q 是以 A B 为直径 的o l0的 一 条 非直径 的弦 与 Q相交于 点 M B P与 Q相 交于点 则 MN上A B 推广 6 P Q 是 以 A B为埘称轴 的有 心圆锥 曲线 r t F 退 化 的一 条非直径的 弦 与 Q相交于 点 M B P与 Q相交 于点 则 MN 上 证 明 圆锥 曲线 厂的方程为 a 一c 2 j c 口 Y 口 口 一C 2 设 P x l Y 1 Q j c 2 由 一 a 0 B a 0 得直线 P Q B分别为 Y X l a Y l a 与 y x 2 一口 Y 2 X 口 联 立消去 Y得 x x l Y 2 一 a y j Y 2 a x l Y 2 x 2 Y l a y 2 一Y 1 山 a 2 y a 2 口 一 C 一 口 一 C 2 a 2 y a 2 口 一 C 2 一 口 c 消去 a 一c 得 2 一 2 2 a 2 一 设 P Q交 X轴于 R r 0 由 R 曰共线 得 x l Y 2 一 r y 2 一Y j 将 得 r x I 2 Y 1 a 2 2 垒 将 代人 得 a 即x M a 2 r 同理得 X a r 所 以 MN 上A B P Q x轴 时M N与 Y轴重合 显然有 MN上AB 性 质 7如果圆 内接六边形 的三组对边 都 小平行 则该三组对边所在 直线 的交点共线 理 退 边 行 线 F 0 F同 厂的 内接六 边 形 4 的边 44 所在直线的方程为 o i i 2 6 对角线4 的方程为g 0 则过4 的圆锥 曲线 系方程 为 t f A 0 2 3 维普资讯 A A 2 A 4 在 r上 必存 在 使得 F 0 同理过 4 的圆锥 曲线系方程 为 0 且存在 使得 g 2 F 0 从 中消去 g得 s 一 2 F 0 设 A l A 2 nA 4 4 P A I A 6 nA 4 l A 3 O n 4 6 R 点 P坐标适 合 0 0 点 P在 曲线 上 同理点 Q 在 曲线 上 P O R都不在 厂上 其 坐 标 使 得 F 0 一 2 0 即 P O R共线 于直线 一 0 性质 8 圆的直径 上的 圆剧角是 直角 推广 8有心 圆锥 曲线 1 上任一 点与其直 径两端 点连线 的斜 率之积 为一常 数 证 明 设 厂方 程 为 a 一c 2 a 2 y 口 口 一c 2 A B 为 卣 A x l Y I B x I y 1 P x 为 厂上 异于 的任 一点 则 错 x x x x x x e 一 l 为 厂的离心率 为一常数 参 考 文 献 l 周建 网 J 的几个结论 椭网 I 的推广 数学通 报 2 0 0 3 6 2 邹 f 椭 网双 曲线直 的一个 件质 中学 生数 学 2 001 9 3 邹 明 蝴蝶 定理 的 一 个简捷 推广 中学 生数学 2 002 9 4 邹 明 1曲道 高考 试 题 的统一 本源 j 推 广 中学 数 学 j i f 究 2 0 0 3 1 2 4 一 般化思维 方法 在数学教学中的应用 四 福建省宁德师专刘申雄 2 4用 一 般化方 法解 决特殊 问题 中的疑 惑 有些 特 殊 问题 在 解 决过程 中会 出现 一 些疑 惑 我们 难 以讲 清道 理 但把这 些 问题 一 般化 后 反而变 得 容 易找 出其 中晌奥 妙 讲 清 其 中的道理 例 1 证明方程 2 4 3 c o s x无实 根 证 明 原方程可变 形为 2 4 3 c o s x 0 1 4 2 f 4 3 c o s x 24c os 一 3l 0 原方程 无实根 质疑 用判别武法 判定方程 纸 C 0无 实根 是 以a b C是常数为I j f 提 然而 原方程 中 C 4 3 C O S X 是常数 冈此提 出疑 问 这样 晌解法对 吗 解 惑 我 们干 脆把 问题 一般化 研 究变 系 数一元 次方程 a x x b x x c x 0 口 0 1 无实根 的条件 本义 仅 求 允分条件 经研究 我们可 以