对空间成等角问题的几个探究.doc

对空间成等角问题的几个探究江苏省前黄高级中学 翁玉中（213172）大家肯定熟知这样一个问题：问题. 设空间两异面直线a、b成角，则过空间一点P，而与两异面直线a、b成等角（为锐角）的直线有几条？对于这一问题，大家已有足够的认识：可以通过点P分别作异面直线a、b的平行线a1、b1，则直线a1、b1成角（），所以要考虑过P而与两异面直线a、b成等角（为锐角）的直线有几条，只须考虑过P 而与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有几条即可，由此易知：（1） 当00时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线不存大，从而知与两异面直线a、b成等角的直线不存在;（2） 当0=时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有一条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且只有一条；（3） 当0时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有两条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有两条；（4） 当0=时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有三条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有三条；（5） 当0时, 与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有四条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有四条。若上述问题中的两条异面直线a、b换成两个相交平面、，则情况又如何呢？ 探究一. 设空间两平面、相交形成的锐角二面角的度数为，则过空间一点P而与平面、成等角（为锐角）的直线有几条？对于一条直线与两个相交平面成等角问题，大家感觉比较难以想像，因此就有无从下手的感觉。其实，我们可以通过平面的法线（所谓平面的法线即与此平面垂直的直线）与直线所成的角来反应平面与直线所成的角的情况。Plab我们先考虑直线与平面所成的角和直线与平面的法线所成的角之间的关系。引理、直线a与平面所成的角与直线a与平面的法线所成的角必互余。事实上，设直线l为平面的法线，垂足为P，不妨设直线a与平面斜交，交点为P（否则可进行平移），且直线a在平面内的射影为直线b，则直线l、a及b必共面，且共点于P，从而必有直线 a与平面的夹角和直线a与平面的法线l的夹角互为余角。显然当直线a与平面平行或垂直时，上述结论也成立。由上述引理可知，要考虑“过空间一点P而与平面、成等角的直线有几条？”这个问题，只须考虑过点P而与平面、的法线成等角的直线有几条即可，此时不妨设平面、的法线是两异面直线。由于平面、相交形成的锐角二面角的大小为，故平面、的法线的夹角也为，则此时过点P而与平面、的法线成等角的直线的情况可以根据对问题的讨论可得：（1） 当0，即时，与平面、的法线成等角的直线不存在，从而知此时与平面、成等角的直线不存在；（2） 当=，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有一条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有一条；（3） 当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有两条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有两条；（4） 当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有三条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有三条； （5） 当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有四条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有四条。 如果将探究一中的过点P的直线也变成平面，则情况又如何呢？探究二. 设空间两平面、相交形成的锐角二面角的度数为，则过空间一点P而与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面有几个？对于一平面与两已知平面分别形成两个相等二面角比一直线与两已知平面成等角更难想像，但若将平面与平面形成二面角相等的问题转化到平面的法线之间形成的角相等，则就可以借助于问题所得结论来考虑了。其实，两个平面形成的锐二面角的度数必与它们的法线的所成的角相等。所以过P点且与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面的法线与平面、的法线必成等角，所以要考虑过点P且与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面的个数，只须考虑过P点且与平面、的法线成等角（为锐角）的直线有几条，因为以此直线为法线且过点P的平面即为所要考虑的平面。此时，由于平面、成锐角二面角，故平面、的法线所成的角也为。故由问题的讨论易知：（1） 当00时，过点P且与平面、的法线成等角的直线不存在，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面不存在；（2） 当0=时，过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有一条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有一个；（3） 当0时，过点P且平面、的法线成等角的直线有且只有二条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有二个；（4） 当0=时，过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有三条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有三个；（5） 当0时,过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有四条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有四个。说明：由上述探究一、探究二可知考虑直线与平面成等角及平面与平面成等二面角的问题均可转化为直线与平面的法线成等角来处理，这种转化思想值得大家注意。若问题中的两条异面直线换成三条两两异面的直线，则所得问题又该如何处理？探究三、设空间有两两异面的三条直线a、b、c，则过空间一点P而与直线a、b、c成等角的直线有几条？我们可以过点P作分别与直线a、b、c平行的直线a1、b1、c1，则要考虑过点P而与两两异面的直线a、b、c成等角的直线有几条只要考虑过P而与直线a1、b1、c1成等角的直线有几条即可。因为直线a、b、c两两异面，故直线a1、b1、c1恰为以点P为顶点的三面角的三条棱。为了更好地研究这个问题，我们先了解下面结论。引理、球面上任一点与球心的连线必与过此点且与球面相切的直线垂直。证明：设球面O与直线t相切于点M，则过直线t及球心O的平面必与球面O相交，交线为此球面的一个大圆，点O为其圆心，直线t必与此大圆相切于点M。则由平几中定理可得直线OM与直线t垂直。由此知必有引理成立。下面来对探究三进行探讨。考虑以直线a1、b1、c1为棱，且以点P为顶点的三面角，这样的三面角可以有四对八个，每一对是两个对顶的三面角（指三条棱两两对应共线，且互为反向延长线），对于每一对三面角中的一个，我们总可以放入一个球，使放入的球与三面角的三条棱都相切，设球心为O1，则球O1与此三面角的三条棱的切点分别为A1、B1、C1，则连结A1O1、B1O1、C1O1，则由引理知必有A1O1直线a1、B1O1直线b1、C1O1直线c1，又A1O1=B1O1=C1O1=球半径，所以PA1O1、P B1O1、P C1O1全等，从而有，由此可知直线PO1与直线a1、b1、c1成等角。对每一对对顶的三面角都存在上述直线，且显然这样的直线对每一对对顶的三面角仅存在一条，所以对以点P为顶点，以直线a1、b1、c1为棱的四对三面角而言，这样的直线共有四条。思考题：过空间一点P而与空间三条两两异面的直线成等角的平面有几个？例、过空间一点P而与一平行六面体的一十二条棱所在直线成等角的直线有几条？根据平行六面体的特点易知与平行六面体的一十二条棱所在直线成等角，其实只要考虑与具有公共顶点的三条棱所在直线成等角即可。由上述对探究三的讨论不难知，这样的直线有四条。探究四、过空间一点而与两两相交且有公共点的三个平面成等角的直线有几条？若一直线与两两相交且有公共点的三个平面成等角，则此直线与这三个平面的法线成等角；反之也真。故要考虑过空间一点而与两两相交且有公共点的三个平面成等角，即只要考虑过空间一点与三个平面的法线成等角的直线有几条即可。而这一点不难由探究三的讨论可知，即过空间一点而与两两相交且有公共点的三个平面成等角的直线有四条。思考题：