天津市历年高三数学一轮复习_试题选编7_立体几何_理_新人教A版.pdf

1 天津高三理科数学一轮复习试题选编 7 立体几何天津高三理科数学一轮复习试题选编 7 立体几何 选择题 1 天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题 几何体的三视图如图所示 则该几何体的 体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 答案 C 解 由三视图可知 该几何体下面是半径为 1 高为 2 的圆柱 上面是正四棱锥 真四棱锥的高为 2 213 底面边长为2 所以四棱锥的体积为 2 12 3 2 3 33 圆柱的体积为2 所以 该几何体的体积为 2 3 2 3 选C 2 天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学 已知正四棱柱 ABCD A1B1ClD1中 AA1 2AB E 是 AA1的中点 则异面直线 DC1与 BE 所成角的余弦值为 A 1 5 B 10 10 C 3 10 10 D 3 5 答案 B 3 天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学 理 试题 某几何体的三视图如图所示 则它的 体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 答案 A 4 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学 设ba 是两条直线 是两个平面 则ba 的 一个充分条件是 A baB ba C baD ba 答案 C 解析 若b 所以b 又a 所以ba 即ab 所以选C 5 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学 如图 E F 分别是三棱锥 P ABC 的棱 AP BC 的中 2 点 PC 10 AB 6 EF 7 则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 A 90 B 60 C 45 D 30 答案 B 解析 取 AC 的中点 M 连结 EM MF 因为 E F 是中点 所以 16 3 22 MFAB MFAB 110 5 22 MEPC MEPC 所以MF与ME所成的角即为AB 与 PC 所成的角 在三角形 MEF 中 222 537151 cos 2 5 3302 EMF 所以120EMF 所以直线 AB 与 PC 所成的角为为60 选B 6 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的球面 上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 答案 A 解析 因为ABC 为边长为 1 的正三角形 且球半径为 1 所以四面体OABC 为正四面体 所以 ABC 的外接圆的半径为 3 3 所以点 O 到面ABC的距离 2 36 1 33 d 所以三棱锥的高 2 6 2 3 SFOE 所以三棱锥的体积为 1132 62 32236 选 3 A 7 天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题 为平面 m 为直线 如果 那么 m 是 m 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 答案 B 解析 若 当 m 时 m 或m 当m 时 若 则一定有 m 所以 m 是m 的必要不充分条件 选B 二 填空题 8 天津市宝坻区 2013 届高三综合模拟数学 理 试题 一个几何体的三视图如右图所示 单位 cm 则该几何体的体积为 3 cm 11 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 11 1 答案 2 3 9 天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷 一个几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积为 4 答案 80 解析 解 由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥 下部为正方体的组合体 四棱锥的高 3 正方体棱长为 4 所以正方体的体积为 3 464 四棱锥的体积为 1 4 4 316 3 所以该组合体的体 积之和为64 1680 10 2011 年高考 天津理 一个几何体的三视图如右图所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 答案 命题立意 本小题主要考查几何体的三视图 圆 锥的体积和棱柱的体积计算 考查空间想象能力和计算能 力 6 解析 此几何体为一个圆锥和一个长方体组成 其 体积为 2 1 133 2 16 3 V 11 天津市 2013届高三第三次六校联考数学 理 试题 一个几何体的三视图如上图所示 且其左视图是一个等 边 三角形 则这个几何体的体积为 答案 8 3 6 12 天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题 word 版 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 3 1 3 正视图 3 2 1 俯视图 1 3 侧视图 2 5 答案 3 2 13 天津市河东区 2013 届高三第二次模拟考试数学 理 试题 已知某几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积为 答案 3 2 14 2013 届天津市高考压轴卷理科数学 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体 其三视图如下 若图中圆的半径为1 等腰三角形的腰长为5 则该几何体的体积是 答案 4 3 解析 由三视图可知 该几何体上部分是一个圆锥 下部分是个半球 球半径为 1 圆锥的高为 2 5 142h 所以圆锥的体积为 12 2 33 半球的体积为 2 3 所以几何体的总体 积为 224 333 15 天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题 已知直线 m n 与平面 给出下列三 个命题 若 m n 则 m n 若 m n 则 n m 若 m m 则 其中真命题的个数是 个 6 答案 2 解 平行于同一平面的两直线不一定平行 所以 错误 根据线面垂直的性质可知 正确 根据面 面垂直的性质和判断定理可知 正确 所以真命题的个数是 2 个 16 天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学 如图为一个几何体的三视图 其中俯视为 正三角形 A1B1 2 AA1 4 则该几何体的表面积为 答案 2 324 解析 由三视图可知 该几何体是一个正三棱柱 底面边长为 2 高是 4 所以该三棱柱的表面积为 2 13 223 2 42 324 22 17 2012 2013 2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 理 一个几何体的三视图如图所示 则该 几何体的表面积与体积分别为 答案 2 3 2 18 天津市五区县 2013 届高三质量检查 一 数学 理 试题 某几 何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案 36 19 天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考 一 数学 理 试题 某几何体的三视图如图所 示 则该几何体的体积为 7 正视图 俯视图 1 5 1 5 22 3 2 2 2 2 侧视图 第 10 题图 答案 3108 20 2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学 右图是一个空间几何体的三视图 则 该几何体的体积大小为 答案 2 4 3 由三视图可知 该几何体时一个边长为 2 2 1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球 所以 长方体的体积为2 2 14 半球的体积为 142 233 所以该几何体的体积为 2 4 3 21 天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单 位 cm 2 为 答案 21248 22 2010 年高考 天津理 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 8 答案 10 3 23 2012 年天津理 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 答案 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体 所以其体积 为 3 43 3 6 1 2 32 V 18 9 3 m 24 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学 已知一个几何体的三视图如下图所示 单位 cm 其中正视图是直角梯形 侧视图和俯视图都是矩形 则这个几何体的体积是 cm 3 答案 3 2 解析 由三视图可知 该几何体为一个放到的四棱柱 以梯形为低 所以梯形面积 为1 1 2 3 22 四棱柱的高为1 所以该几何体的体积为 3 2 25 天津市十二校 2013 届高三第二次模拟联考数学 理 试题 一个几何体的三视图如图所示 且其侧视 力间一个等边三角形 则这个几何体的体积为 9 答案 8 3 6 26 天津市蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学 理 试题 一空间几何体的三视图如图所示 若该 几何体的体积为 8 5 12 3 则正视图中h的值为 答案 3 27 天津市红桥区 2013 届高三第一次模拟考试数学 理 试题 Word 版含答案 一个几何体的三视图如 图所示 其中正视图 侧视图是全等图形 则该几何体的表面积为 答案 20 28 2009 高考 天津理 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是3 3 则 a 答案 3 三 解答题 29 天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷 在四棱锥 P ABCD中 底面ABCD是直角梯 形 AB CD AB PB PC BC 2CD 平 面PBC 平 面 ABCD 1 求证 AB 平面 PBC 2 求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小 3 在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM 平面 PAD 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 10 答案 解 1 证明 因为 所以 AB BC 因为平面 PBC 平面 ABCD 平面 PBC 平面 ABCD BC AB平面 ABCD 所以 AB 平面 PBC 2 如图 取 BC 的中点 O 连接 PO 因为 PB PC 所以 PO BC 因为 PB PC 所以 PO BC 因为平面 PBC 平面 ABCD 所以 PO 平面 ABCD 以 O 为原点 OB 所在的直线为 x 轴 在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴 OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz 不妨设 BC 2 由 AB PB PC BC 2CD 得 所以 设平面 PAD 的法向量为 因为 所以 令 则 所以 取平面 BCP 的一个法向量 所以 所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 3 11 在棱PB上存在点M使得CM 平面PAD 此时 取AB的中点N 连接CM CN MN 则MN PA AN AB 因为 AB 2CD 所以 AN CD 因为 AB CD 所以四边形 ANCD 是平行四边形 所以 CN AD 因为 MN CN N PA AD A 所以平面 MNC 平面 PAD 因为 CM平面 MNC 所以 CM 平面 PAD 30 天津市河北区 2013 届高三总复习质量检测 二 数学 理 试题 在四棱锥P ABCD中 PA 平面 ABCD AB CD AB AD PA AB 4 AD 22 CD 2 I 设平面PAB 平面PCD m 求证 CD m 求证 BD 平面PAC 设点Q为线段PB上一点 且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 求 PB PQ 的值 答案 12 31 2009 高考 天津理 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中 点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 答案 本小题要考查异面直线所成的角 平面与平面垂直 二 面角等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方 法 考 查空间想像能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 方法一 解 由题设知 BF CE 所以 CED 或其补角 为异面直 线 BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中点 连结 EP PC 因为 FE AP 13 所以 FA EP 同理 AB PC 又 FA 平面 ABCD 所以 EP 平面 ABCD 而 PC AD 都在平面 ABCD 内 故 EP PC EP AD 由 AB AD 可得 PC AD 设 FA a 则 EP PC PD a CD DE EC a2 故 CED 60 所以异 面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 II 证明 因为 CEMPMP CEDMCEM 则连结的中点 所以为且DEDC CDEAMDCDECE AMDCEMDMMP平面 所以平面平面而平面 故又 III 因为 所以因为 的中点 连结为解 设 CDEQDECE EQPQCDQ ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角 故 所以 由 I 可得 2 2 2 6 EQaPQaPQEP 中 于是在 3 3 cosEPQRt EQ PQ EQP 方法二 如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设 1 AB依题意得 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 0 60 II 证明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 则 的法向量为解 设平面 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由题设 平面ACD的一个法向量为 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 32 天津市河东区 2013 届高三第二次模拟考试数学 理 试题 本小题满分 l 如图 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形 DAB DBF 60 且 FA FC 1 求证 AC 平面 BDEF 2 求证 FC 平面 EAD 3 求二面角 A FC B 的余弦值 14 答案 证明 设AC与BD相交于点O 连结FO 因为 四边形ABCD为菱形 所以BDAC 且O为AC中点 又FCFA 所以ACFO 因为OBDFO 所以 AC平面BDEF 证明 因为四边形ABCD与BDEF均为菱形 所以AD BC DE BF 所以 平面FBC 平面EAD 又 FC平面FBC 所以FC 平面EAD 解 因为四边形BDEF为菱形 且 60DBF 所以 DBF为等边三角形 因为O为BD中点 所以BDFO 故FO 平面ABCD 由OFOBOA 两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系xyzO 设2 AB 因为四边形ABCD为菱形 60DAB 则2 BD 所以1OB 3OAOF 所以 3 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 0 FCBAO 所以 3 0 3 CF 3 1 0 CB 设平面BFC的法向量为 x y zn 则有 0 0 CF CB n n 所以 03 033 yx zx 取1 x 得 1 3 1 n 易知平面AFC的法向量为 0 1 0 v 由二面角BFCA 是锐角 得 15 cos 5 n v n v n v 所以二面角BFCA 的余弦值为 5 15 33 天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题 word 版 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是边 长为 2 的正方形 侧面 PCD 底面 ABCD 且 PC PD 2 M N 分别为棱 PC AD 的中点 I 求证 BC PD II 求异面直线 BM 与 PN 所成角的余弦值 求点 N 到平面 MBD 的距离 15 答案 解法一 16 17 34 天津市 2013 届高三第三次六校联考数学 理 试题 如图 AC是圆O的直径 点B在圆O 上 o BAC30 ACBM 交AC于点M EA平面ABC EAFC 4 AC 3 EA 1 FC 证明 BFEM 求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值 求点C到平面EBM的距离 E A F C M B O 第 17 题图 答案 解 1 33AMBM 如图 以A为坐标原点 垂直于AC AC AE所在的直线为 x y z 轴建立空间直角坐标系 由已知条件得 0 0 0 0 3 0 0 0 3 3 3 0 0 4 1 AMEBF x y z A B C F M O 0 3 3 3 1 1 MEBF 由 0 3 3 3 1 1 0ME BF 得MF BF EMBF 2 由 1 知 3 3 3 3 1 1 BEBF 设平面BEF的法向量为 nx y z 由 0 0 n BEn BF 得 3330 30 xyz xyz 令 3x 得 1 2yz 3 1 2n 由已知EA 平面ABC 所以取面ABC的法向量为 0 0 3 AE 18 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为 则 301 02 32 coscos 23 2 2 n AE 平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 2 2 3 2 2 35 天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学 理 试题 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯 形 AB DC PADAB 90 底面 ABCD 且 PA AD DC 2 1 AB 1 M 是 PB 的中点 证明 面 PAD 面 PCD 求 AC 与 PB 所成角的余弦值 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值 答案 19 36 天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题 WORD 版 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 M N 分别为 A1B B1C1的中点 BC AA1 2AC 2 求证 1 求三棱柱 C1 A1CB 的体积 2 求直线 A1C 与直线 MB1所成角的余弦值 3 求平面 B1MN 与平面 A1CB 所成锐二面角的余弦值 答案 解 1 4 2 8 3 13 37 天津市蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学 理 试题 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ABB1A1 ACC1A1均为正方形 90BAC 点 D 是棱 BC 的中点 求证 AD 平面 BCC1B1 求证 A1B 平面 AC1D 求平面 AC1D 与平面 ACC1A1所成的锐二面角的余弦值 答案 20 又因为ABAC D为BC中点 所以ADBC 因为 1 CCBCC 所以AD 平面 11 BBC C 证明 连结 1 AC 交 1 AC于点O 连结OD 因为 11 ACC A为正方形 所以O为 1 AC中点 所以 平面 1 AC D与平面 11 ACC A所成的锐二面角的余弦值 3 3 38 2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学 如图在四棱锥PABCD 中 底面 ABCD是边长为a的正方形 侧面PAD 底面ABCD 且 2 2 PAPDAD 设E F分别为PC BD的中点 求证 EF 平面PAD 求证 面PAB 平面PDC 求二面角BPDC 的正切值 21 z y x O F E D C B A P M F E D C B A P 答案 法一 证明 ABCD为平行四边形 连结ACBDF F为AC中点 E为PC中点 在CPA 中EF PA 且PA 平面PAD EF 平面PAD PADEF平面 证明 因为面PAD 面ABCD平面PAD 面ABCDAD ABCD为正方形 CDAD CD 平面ABCD 所以CD 平面PAD CDPA 又 2 2 PAPDAD 所以PAD 是等腰直角三 角形 且 2 PAD 即PAPD CDPDD 且CD PD 面ABCD PA 面PDC 又PA 面PAB面PAB 面PDC 解 设PD的中点为M 连结EM MF 则EMPD 由 知EF 面PDC EFPD PD 面EFM PDMF EMF 是二面角BPDC 的平面角 Rt FEM 中 12 24 EFPAa 11 22 EMCDa 2 2 4 tan 1 2 2 a EF EMF EM a 故所求二面角的正切值为 2 2 法二 如图 取AD的中点O 连结OP OF PAPD POAD 侧面PAD 底面ABCD PADABCDAD 平面平面 POABCD 平面 而 O F分别为 AD BD的中点 OFAB 又ABCD是正方形 故OFAD 2 2 PAPDAD PAPD 2 a OPOA 以O为原点 直线 OA OF OP为 x y z轴建立空间直线坐标系 则有 0 0 2 a A 0 0 2 a F 0 0 2 a D 0 0 2 a P 0 2 a Ba 0 2 a Ca E为PC的中点 4 2 4 a a a E 证明 易知平面PAD的法向量为 0 0 2 a OF 而 0 44 aa EF 且 0 0 0 0 244 aaa OF EF EF 平面PAD F E D C B A P 22 证明 0 22 aa PA 0 0 CDa 0 0 0 0 22 aa PA CDa PACD 从而PACD 又PAPD PDCDD PAPDC 平面 而PAPAB 平面 平面PAB 平面PDC 解 由 知平面PDC的法向量为 0 22 aa PA 设平面PBD的法向量为 nx y z 0 0 22 aa DPBDa a 由0 0n DPn BD 可得 00 22 00 aa xyz a xa yz 令1x 则1 1yz 故 1 1 1 n 6 cos 32 3 2 n PAa n PA n PA a 即二面角BPDC 的余弦值为 6 3 所以二面角BPDC 的正切值为 2 2 39 天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷 如图 已知四棱锥 E ABCD 的底面为菱形 且 ABC 60 AB EC 2 AE BE 2 1 求证 平面 EAB 平面 ABCD 2 求二面角 A EC D 的余弦值 答案 解 1 证明 取 AB 的中点 O 连接 EO CO 2EBAE AEB 为等腰直角三角形 EO AB EO 1 又 AB BC ABC 60 ABC 是等边三角形 3 CO 又COEOCOEOECEC 2 222 EO 平面 ABCD 又 EO 平面 EAB 平面 EAB 平面 ABCD 2 以 AB 的 中 点 O 为 坐 标 原 点 OB 所 在 直 线 为 y 轴 OE 所 在 直 线 为 z 轴 如 图 建 系 则 1 0 0 0 2 3 0 0 3 0 1 0 EDCA 1 0 3 0 1 3 ECAC DC 0 2 0 23 设平面 DCE 的法向量为 1 yxn 则 0 0 nDC nEC 即 02 013 y x 解得 0 1 0 3 3 3 3 y nx 同理求得平面 EAC 的一个法向量为 1 1 3 3 m 7 72 cos mn mn mn 所以二面角 A EC D 的余弦值为 7 72 40 天津市五区县 2013 届高三质量检查 一 数学 理 试题 在三棱锥 S ABC 中 ABC 是边长为 2 的正三角形 平面 SAC 平面 ABC 3SASC E F 分别为 AB SB 的中点 I 证明 AC SB 求锐二面角 F CE B 的余弦值 求 B 点到平面 CEF 的距离 答案 证明 法一 取AC中点O 连结SO BO SASC ABAC ACSO 且ACBO AC 平面SOB 又SB 平面SOB ACSB 法二 取AC中点O 以O为原点 分别以OA OB OS为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则 1 0 0 A 03 0 B 0 02 S 13 0 22 E 32 0 22 F 1 0 0 C 2 0 0 AC 032 SB 2 0 0 032 0AC SB SBAC F E B A C S O x y z 24 由 得 3312 0 0 2222 CEEF 设 zyxn 为平面CEF的一个法向量 则 33 0 22 12 0 22 CE nxy EF nxz 取 1z 2 6xy 1 6 2 n 又 0 02 OS 为平面ABC的一个法向量 1 cos 3 n OS n OS n OS 二面角FCEB 的余弦值为 3 1 由 得 13 0 22 EB 26 1 n 为平面CEF的一个法向量 点B到平面CEF的距离 2 2 3 n EB d n 41 天津市红桥区 2013 届高三第一次模拟考试数学 理 试题 Word 版含答案 本小题满分 I 如图 已知直四棱柱 侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD A1B1C1Dl中 底面为 梯形 AD DC AB DC 且满足 DC DD1 2AD 2AB 2 I 求证 DB 平面 B1BCC1 II 求二面角 A1 BD C1的余弦值 答案 25 42 天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题 本小题满分 13 分 在如图所示的多面体中 EF 平面 AEB AE EB AD EF EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G 为 BC 的中点 1 求证 AB 平面 DEG 2 求证 BD EG 3 求二面角 C DF E 的正弦值 答案 26 43 天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面为直角梯 ABCD AD BC BAD 90 O PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 1 求证 PB DM 2 求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值 3 在棱 PD 上是否存在点 E PE ED 使得二面角 C AN E 的平面 角为 60 o 存在求出 值 答案 解 1 如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 A 0 0 0 B 2 0 0 27 C 2 1 0 D 0 2 0 M 1 1 2 1 N 1 0 1 E 0 m 2 m P 0 0 2 PB 2 0 2 DM 1 3 2 1 PB DM 0PBDM 2 CD 2 1 0 平面 ADMN 法向量n x y z AD 0 2 0 AN 1 0 1 0 0 n AD n AN 20 0 y xz n 1 0 1 设 CD 与平面 ADMN 所成角 则 210 sin 5 52 CD n CDn 3 设平面 ACN 法向量p x y z 2 1 0 1 0 1 AC AN p 1 2 1 平面 AEN 的法向量q x y z 1 0 1 0 2 AN AEmm q 1 2m m 1 cos45 p q pq 2 42 2 1 22 62 m m m m 22 32 2 44 mmm 即 2 72040 0 2 2 mm m m 106 2 7 PE ED 32 4 2不存在 为 135 钝角 44 天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考 一 数学 理 试题 如图 四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面ABCD是平行四边形 且1 AB 2 BC 0 60 ABC E为BC的中点 1 AA平面 ABCD 证明 平面 AEA1平面DEA1 若EADE 1 试求异面直线AE与DA1所成角的余弦值 在 的条件下 试求二面角 1 C AD E的余弦值 A B C D E 1 A 1 B 1 C 1 D 答案 解 依题意 CDABBCECBE 2 1 所以ABE 是正三角形 0 60 AEB 28 又 000 30 120180 2 1 CED 所以 0 90 AED AEDE 因为 1 AA平面ABCD DE平面ABCD 所以DEAA 1 因为AAEAA 1 所以 DE平面AEA1 因为 DE平面DEA1 所以平面 AEA1平面DEA1 取 1 BB的中点F 连接EF AF 连接CB1 则DACBEF 11 所以AEF 是异面直线AE与DA1所成的角 因为3 DE 22 11 AEAAEA 所以2 1 AA 2 2 BF 2 6 1 2 1 EFAF 所以 6 6 2 cos 222 EFAE AFEFAE AEF 解法 2 以A为原点 过A且垂直于BC的直线为x轴 AD所在直线为y轴 1 AA所在直线为 z建立右手系空间直角坐标系 设aAA 1 0 a 0 0 0 A 则 0 2 0 D 0 0 1 aA 0 2 1 2 3 E 设平面AEA1的一个法向量为 1 pnmn 则 0 0 2 1 2 3 11 1 apAAn nmAEn 0 p 取1 m 则3 n 从而 0 3 1 1 n 同理可得平面DEA1的一个法向量为 2 1 3 2 a n 直接计算知0 21 nn 所以平面 AEA1平面DEA1 由EADE 1 即 22222 2 1 2 3 0 2 1 2 2 3 a 解得2 a 0 2 1 2 3 AE 2 2 0 1 DA 所以异面直线AE与DA1所成角的余弦值 6 6 cos 1 1 DAAE DAAE 由 可知2 1 AA 平面DEA1的一个法向量为 2 3 1 2 n 又 3 1 0 22 CD 2 2 0 1 DA设平面 1 CAD的法向量 3 nx y z 则 13 3 0 0 AD n CD n 得 3 1 3 6 n 设二面角 1 C AD E的平面角为 且 为锐角 29 则 23 23 23 cos cos nn n n nn 4 32 5 5106 所以二面角 1 C AD E的余弦值为 2 5 5 45 2013 届天津市高考压轴卷理科数学 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1 2ADAAAB 点E在 棱 AB 上移动 1 证明 11 D EAD 2 当E为AB的中点时 求点E到面 1 ACD的距离 3 AE等于何值时 二面角 1 DECD 的大小为 4 答案 解 以D为坐标原点 直线 1 DA DC DD分别为 x y z轴 建立空间直角坐标系 设AEx 则 11 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 ADExAC 1 1111 1 0 1 1 1 0 DA D ExDAD E 因为所以 2 因为E为AB的中点 则 1 1 0 E 从而 1 1 1 1 1 2 0 D EAC 1 1 0 1 AD 设平面 1 ACD的法向量为 na b c 则 1 0 0 n AC n AD 也即 20 0 ab ac 得 2ab ac 从而 2 1 2 n 所以点E到平面 1 ACD的距离为 1 2 1 21 33 D E n h n 3 设平面 1 D EC的法向量 na b c 11 1 2 0 0 2 1 0 0 1 CExDCDD 由 1 0 20 2 0 0 n DCbc ab x n CE 令1 2 2bcax 2 1 2 nx 依题意 1 2 1 222 cos 422 2 5 n DD nDD x A B C D A1 B1 C1D1 E A B C D A1 B1 C1D1 E 30 1 23x 不合 舍去 2 23x 23AE 时 二面角 1 DECD 的大小为 4 46 2012 2013 2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 理 在长方体中 为中点 证明 求与平面所成 角的正弦值 在棱上是否存在一点 使得 平面 若存在 求的长 若不 存在 说明理由 答案 证明 连接 是长方体 平 面 又平面 1 分 在长方形中 2 分 又 平面 3 分 而平面 4 分 如图建立空间直角坐标系 则 5 分 设平面的法向量为 则 令 则 7 分 8 分 所以 与平面所成角的正弦值为 9 分 假设在棱上存在一点 使得 平面 设 的坐标为 则因为 平面 所以 即 解得 12 分 所以在棱上存在一点 使得 平面 此时的长 13 分 47 天 津 市 宝 坻 区 2013 届 高 三 综 合 模 拟 数 学 理 试 题 在 四 棱 锥PABCD 中 90ABCACD 60BACCAD PA 平面ABCD E为PD的中点 22PAAB 31 求四棱锥PABCD 的体积V 若F为PC的中点 求证 平面PAC 平面AEF 求锐二面角EACD 的大小 A B C D E F P 答案 解 在Rt ABC 中 1AB 60BAC 3BC 2AC 在Rt ACD 中 2AC 60CAD 2 3CD 4AD 11115 132 2 33 22222 ABCD SAB BCAC CD 则 155 323 323 V 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 0 0 0 A 1 0 0 B 13 0 C 2 2 3 0 D 0 0 2 P 13 1 22 F 13 1 E 13 1 22 AF 13 0 AC 13 1 AE 设平面 AEF 的一个法向量为 1 nx y z 由 1 1 13 0 22 30 AF nxyz AE nxyz 取13zy 得1x 即 1 13 1 n 又平面 PAC 的一个法向量为 33 0 CD 1 3 1330n CD 平面PAC 平面AEF 易知平面 ACD 的一个法向量为 2 0 0 1 n 设平面AEF的一个法向量为 3 nx y z 由 3 3 30 30 AC nxy AE nxyz 取1y 得32 3xz 3 32 3 n 1 23 2 33 cos 1 42 n n 又因为二面角EACD 为锐角 二面角EACD 的大小为 30 48 2011 年高考 天津理 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 H是正方形 11 AAB B的中 心 1 2 2AA 1 C H 平面 11 AAB B 且 1 5C H 32 求异面直线AC与 11 AB所成角的余弦值 求二面角 111 AACB 的正弦值 设 N 为棱 11 BC的中点 点 M 在平面 11 AAB B内 且MN 平面 111 ABC 求线段 BM 的长 答案 命题立意 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查 空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 解析 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 B 为坐标原点 依题意得 2 2 0 0 A 0 0 0 B 2 2 5 C I 易得 2 2 5 AC 1 2 2 0 0 AB 于是 11 11 11 42 cos 3 3 2 2 AC AB AC AB ACAB 所以异面直线AC与 11 AB所成角的余弦值为 2 3 II 易知 1 0 2 2 0 AA 11 2 2 5 AC 设平面 11 AAC的法向量 mx y z 则 11 1 0 0 m AC m AA 即 2250 2 20 xyz y 不妨令5x 可得 5 0 2 m 同样地 设平面 111 ABC的法向量 nx y z 则 11 11 0 0 n AC n AB 即 2250 2 20 xyz x 不妨令5y 可得 0 5 2 n 于是 22 cos 7 77 m n m n m n 从而 3 5 sin 7 m n 所以二面角 111 AACB 的正弦值为 3 5 7 III 由 N 为棱 11 BC的中点 得 2 3 25 222 N 设 0 M a b 23 25 222 MNab 由MN 平面 111 ABC 得 11 11 0 0 MN AB MN AC 即 33 2 2 2 0 2 23 25 2 2 50 222 a ab 解 得 2 2 2 4 a b 故 22 0 24 M 因 此 BM 22 0 24 所以线段 BM 的长 10 4 BM 方法二 I 由于 11 ACAC 故 111 C AB 是异面直线AC与 11 AB所成的角 因为 1 C H 平面 11 AAB B 又 H是正方形 11 AAB B的中心 1 2 2AA 1 5C H 可得 1111 3ACBC 因此 222 111111 111 1111 2 cos 23 ACABBC C AB ACAB 所以异面直线AC与 11 AB所成角的余弦值为 2 3 II 连接 1 AC 易知 111 ACBC 又由于 111 AAB A 1111 ACAC 所以 11111 AC ABC A 过点 A 作 11 ARAC 于 点 R 连 接 1 B R 于 是 1 B R 11 AC 故 1 ARB 为 二 面 角 111 AACB 的 平 面 角 在 11 Rt ARB 2 11111 22 14 sin2 2 1 33 B RABRAB 连接 1 AB 在 1 ARB 中 222 11 111 1 2 4 cos 27 ARB RAB ABARB RARB AR B R 从而 1 3 5 sin 7 ARB 所以二面 角 111 AACB 的正弦值为 3 5 7 III 因为MN 平面 111 ABC 所以 11 MNAB 取 1 HB的中点 D 连接 ND 由于 N 是 11 BC的中点 所以 1 NDC H且 1 15 22 NDC H 又 1 C H 平面 11 AAB B 所以ND 平面 11 AAB B 故 11 NDAB 又 MNNDN 所以 11 AB 平面MND 连接 MD 并延长交 11 AB于点 E 则 11 MEAB 故 1 MEAA 由于 11 1111 1 4 B EB DDE AAB AB A