数字逻辑基础 .ppt

第一节数制与编码 第二节逻辑代数基础 第三节逻辑函数的标准形式 第四节逻辑函数的化简 小结 第一章数字逻辑基础 第一章数字逻辑基础 本章将依次讨论数字系统中数的表示方法 常用的几种编码 然后介绍逻辑代数的基本概念和基本理论 说明逻辑函数的基本表示形式及其化简 逻辑函数及其化简 重点 二进制数 常用的几种编码 逻辑代数基础 第一节数制与编码 数制 不同数制之间的转换 二进制正负数的表示及运算 常用的编码 第一节数制与编码 一 数制 23 2 10 3 1 20 3 23 十位数字2 个位数字3 权值 基数 由0 9十个数码组成 基数为10 位权 10210110010 110 210 3 计数规律 逢十进一 权值 10的幂 10 1 权权权权 任意一个十进制数 都可按其权位展成多项式的形式 652 5 d 位置计数法 按权展开式 n d kn 1 k1k0 k 1 k m d kn 110n 1 k1101 k0100 k 110 1 k m10 m 第一节数制与编码 6 102 5 101 2 100 5 下标d表示十进制 第一节数制与编码 只由0 1两个数码和小数点组成 不同数位上的数具有不同的权值2i 基数2 逢二进一 任意一个二进制数 都可按其权位展成多项式的形式 n b kn 1 k1k0 k 1 k m b kn 12n 1 k121 k020 k 12 1 k m2 m 下标b表示二进制 常用数制对照表 01234567 89101112131415 00000001001000110100010101100111 10001001101010111100110111101111 01234567 01234567 1011121314151617 89abcdef 第一节数制与编码 二 不同数制之间的转换 二进制转换成十进制 十进制转换成二进制 二进制转换成十六进制 十六进制转换成二进制 例 10011 101 b d 10011 101 b 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3 二进制转换成十进制 利用二进制数的按权展开式 可以将任意一个二进制数转换成相应的十进制数 19 625 d 第一节数制与编码 整数部分的转换 除基取余法 用目标数制的基数 r 2 去除十进制数 第一次相除所得余数为目的数的最低位k0 将所得商再除以基数 反复执行上述过程 直到商为 0 所得余数为目的数的最高位kn 1 例 29 d b 29 14 7 3 1 0 1 k0 0 k1 1 k2 1 k3 1 k4 lsb msb 得 29 d 11101 b 第一节数制与编码 小数部分的转换 乘基取整法 小数乘以目标数制的基数 r 2 第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位k 1 将其小数部分再乘基数依次记下整数部分 反复进行下去 直到小数部分为 0 或满足要求的精度为止 即根据设备字长限制 取有限位的近似值 例 将十进制数 0 723 d转换成 不大于2 6的二进制数 不大于2 6 即要求保留到小数点后第六位 0 723 k 1 0 446 k 2 0 892 k 3 0 784 k 4 0 568 k 5 0 136 由此得 0 723 d 0 101110 b 十进制 二进制 八进制 十六进制 第一节数制与编码 0 272 k 6 从小数点开始 将二进制数的整数和小数部分每4位分为一组 不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加 0 补足 然后每组用等值的十六进制码替代 即得目的数 例 1011101 101001 b h 1011101 101001 b 5d a4 h 1011101 101001 小数点为界 0 00 d 5 a 4 第一节数制与编码 第一节数制与编码 从小数点开始 将二进制数的整数和小数部分每3位分为一组 不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加 0 补足 然后每组用等值的八进制码替代 即得目的数 例 11010111 0100111 b q 11010111 0100111 b 327 234 q 11010111 0100111 小数点为界 0 00 7 2 3 2 3 4 补码分为两种 基数的补码和降基数的补码 前面介绍的十进制和二进制数都属于原码 各种数制都有原码和补码之分 第一节数制与编码 三 二进制正负数的表示及运算 n是二进制数n整数部分的位数 二进制数n的基数的补码又称为2的补码 常简称为补码 其定义为 例 1010 补 24 1010 10000 1010 0110 1010 101 补 24 1010 101 10000 000 1010 101 0101 011 1010 101 反 24 2 3 1010 101 1111 111 1010 101 0101 010 n是二进制数n整数部分的位数 m是n的小数部分的位数 第一节数制与编码 例 1010 反 24 20 1010 1111 1010 0101 二进制数n的降基数补码又称为1的补码 习惯上称为反码 其定义为 n 反 01001001 第一节数制与编码 例 n 10110110 根据定义 二进制数的补码可由反码在最低有效位加1得到 n 补 无论是补码还是反码 按定义再求补或求反一次 将还原为原码 01001001 00000001 01001010 01001010 即 n 补 n 反 1 即 n 补 补 n 原 第一节数制与编码 例 43 d 二进制正负数的表示法有原码 反码和补码三种表示方法 对于正数而言 三种表示法都是一样的 即符号位为0 随后是二进制数的绝对值 也就是原码 符号位 绝对值 二进制负数的原码 反码和补码 0 0101011 例 25 原 10011001 25 反 11100110 25 补 11100111 符号位 1 加原码 符号位 1 加反码 符号位 1 加补码 补码运算 x1 反 x2 反 x1 x2 反 符号位参加运算 x1 补 x2 补 x1 x2 补 符号位参加运算 在数字电路中 用原码求两个正数m和n的减法运算电路相当复杂 但如果采用反码或补码 即可把原码的减法运算变成反码或补码的加法运算 易于电路实现 反码运算 第一节数制与编码 例 x1 0001000 x2 0000011 求x1 x2 解 x1 反 x2 反 x1 x2 反 x1 反 00001000 x2 反 11111100 100000100 1 x1 反 x2 反 00000101 反码在进行算术运算时不需判断两数符号位是否相同 当符号位有进位时需循环进位 即把符号位进位加到和的最低位 故得x1 x2 0000101 例 x1 0001000 x2 0001011 求x1 x2 解 x1 补 x2 补 x1 x2 补 x1 补 11111000 x2 补 00001011 100000011 x1 补 x2 补 00000011 符号位参加运算 不过不需循环进位 如有进位 自动丢弃 故得x1 x2 0000011 自动丢弃 第一节数制与编码 四 常用的编码 一 二 十进制码 bcd码 有权码 8421bcd码 用四位自然二进制码的16种组合中的前10种 来表示十进制数0 9 由高位到低位的权值为23 22 21 20 即为8 4 2 1 由此得名 用文字 符号或数码表示特定对象的过程称为编码 此外 有权的bcd码还有2421bcd码和5421bcd码等 无权码 余三码是一种常用的无权bcd码 常用的bcd码 二 十进制码 格雷码 校验码 字符编码 四 常用的编码 2 编码还具有反射性 因此又可称其为反射码 1 任意两组相邻码之间只有一位不同 第一节数制与编码 注 首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点 故它可称为循环码 最常用的误差检验码是奇偶校验码 它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元 四 字符编码 ascii码 七位代码表示128个字符96个为图形字符控制字符32个 三 校验码 第二节逻辑代数基础 逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的运算公式和规则 一 逻辑变量 取值 逻辑0 逻辑1 逻辑0和逻辑1不代表数值大小 仅表示相互矛盾 相互对立的两种逻辑状态 二 基本逻辑运算 逻辑与 逻辑或 逻辑非 第二节逻辑代数基础 一 逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑表达式f a b ab 与逻辑真值表 与逻辑关系表 逻辑与 开关a 开关b 灯f 断断断合合断 合合 灭灭灭 亮 a b f 10 11 01 00 0 0 1 0 第二节逻辑代数基础 只有决定某一事件的所有条件全部具备 这一事件才能发生 或逻辑真值表 或逻辑关系表 逻辑或 开关a 开关b 灯f 断断 断合合断合合 亮亮亮 灭 a b f 10 11 01 00 1 1 1 0 第二节逻辑代数基础 决定某一事件的条件有一个或一个以上具备 这一事件才能发生 逻辑表达式f a b 1 非逻辑真值表 非逻辑关系表 逻辑非 开关a 灯f a f 第二节逻辑代数基础 当决定某一事件的条件满足时 事件不发生 反之事件发生 逻辑表达式f a 与非逻辑运算 f1 ab 或非逻辑运算 f2 a b 与或非逻辑运算 f3 ab cd 三 复合逻辑运算 第二节逻辑代数基础 a b f 10 11 01 00 1 1 0 0 1 第二节逻辑代数基础 异或运算 同或运算 四 正逻辑与负逻辑 与门 或门 第二节逻辑代数基础 000010100111 111101011000 vh 高电平vl 低电平 逻辑0 vh逻辑1 vl 逻辑1 vh逻辑0 vl 正或 负与 正与 负或 正与非 负或非 正或非 负与非 在一种逻辑符号的所有入 出端同时加上或者去掉小圈 原来的符号互换 与 或 同或 异或 第二节逻辑代数基础 第二节逻辑代数基础 二 逻辑函数及其表示方法 用有限个与 或 非等逻辑运算符 应用逻辑关系将若干个逻辑变量a b c等连接起来 所得的表达式称为逻辑函数 f a b a b 输出变量 逻辑函数的表示方法 逻辑图 逻辑表达式 波形图 真值表 输入变量 例 三个人表决一件事情 结果按 少数服从多数 的原则决定 试建立该问题的逻辑函数 f 0 0 1 0 1 1 1 0 三个人意见分别用逻辑变量a b c表示 表决结果用逻辑变量f表示 同意为逻辑1 不同意为逻辑0 表决通过为逻辑1 不通过为逻辑0 1 真值表 2 逻辑函数表达式 找出函数值为1的项 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项 这些乘积项作逻辑加 第二节逻辑代数基础 乘积项用与门实现和项用或门实现 f a 0 aa 1 1 a 0 0a 1 a a a aa a a a b b a a b b a ab c a bc a b c a b c a b c a b a c a bc a b a c 0 1律 互补律 重叠律 交换律 结合律 分配律 第二节逻辑代数基础 三 逻辑代数的运算公式和规则 反演律 还原律 吸收律 a a b aa a b a 第二节逻辑代数基础 三 逻辑代数的运算公式和规则 互补律 重叠律 第二节逻辑代数基础 ab 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 由真值表得 第二节逻辑代数基础 证 利用真值表 1110 1110 1000 1000 逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则 任何含有某变量的等式 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则此等式依然成立 例 得 由此反演律能推广到n个变量 利用反演律 基本运算规则 对于任意一个逻辑函数式f 做如下处理 若把式中的运算符 换成 换成 常量 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 那么得到的新函数式称为原函数式f的反函数式 例 其反函数为 保持原函数的运算次序 先与后或 必要时适当地加入括号 基本运算规则 对于任意一个逻辑函数 做如下处理 1 若把式中的运算符 换成 换成 2 常量 0 换成 1 1 换成 0 得到的新函数为原函数f的对偶式f 也称对偶函数 对偶规则 如果两个函数式相等 则它们对应的对偶式也相等 即若f1 f2则f1 f2 使公式的数目增加一倍 求对偶式时运算顺序不变 且它只变换运算符和常量 其变量是不变的 注 函数式中有 和 运算符 求反函数及对偶函数时 要将运算符 换成 换成 其对偶式 例 第三节逻辑函数的标准形式 函数表达式的常用形式 逻辑函数的标准形式 五种常用表达式 f a b c 与 或 式 或 与 式 与非 与非 式 或非 或非 式 与 或 非 式 表达式形式转换 函数表达式的常用形式 基本形式 例如函数 吸收率 还原率 反演率 4 或 与表达式转换为与 或 非表达式 逻辑函数的标准形式 n个变量有2n个最小项 记作mi 3个变量有23 8 个最小项 m0 m1 000 001 0 1 n个变量的逻辑函数中 包括全部n个变量的乘积项 每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次 一 最小项和最大项 最小项 二进制数 十进制数 编号 001 abc 000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 三变量的最小项 最小项的性质 同一组变量取值 任意两个不同最小项的乘积为0 即mi mj 0 i j 全部最小项之和为1 即 n个变量有2n个最大项 记作 i n个变量的逻辑函数中 包括全部n个变量的和项 每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次 同一组变量 取值任意的两个不同最大项的和为1 即mi mj 1 i j 全部最大项之积为0 即 任意一组变量取值 只有一个最大项的值为0 其它最大项的值均为1 逻辑函数的标准形式 最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系 即 mi mi mi mi 逻辑函数的标准形式 解 逻辑函数的标准形式 例 已知函数的真值表 求该函数的标准积之和表达式 从真值表找出f为1的对应最小项 解 然后将这些项逻辑加 f a b c 函数的最小项表达式是唯一的 逻辑函数的标准形式 例 已知函数的真值表 求该函数的标准和之积表达式 从真值表找出f为1的对应最大项 解 然后将这些项逻辑与 函数的最大项表达式是唯一的 0 代以原变量 1 代以反变量 第四节逻辑函数的简化 代数法化简逻辑函数 图解法化简逻辑函数 具有无关项的逻辑函数化简 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作 第四节逻辑函数的化简 与项最少 即表达式中 号最少 每个与项中变量数最少 即表达式中 号最少 与门的输入端个数少 吸收 利用a ab a消去多余的与项 第四节逻辑函数的化简 一 代数法化简逻辑函数 代数法化简函数 例 化简逻辑函数 解 a 反演律 并项法 例 化简逻辑函数 c d 1 图形法化简函数 卡诺图 k图 a b ab a b 1 0 1 0 m0 m1 m2 m3 00 01 10 11 m0 m1 m2 m3 a bc 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 ab cd 1 n个逻辑变量的函数 卡诺图有2n个方格 对应2n个最小项 2 行列两组变量取值按循环码规律排列 相邻最小项为逻辑相邻项 3 相邻有邻接和对称两种情况 特点 1 已知函数为最小项表达式 存在的最小项对应的格填1 其余格均填0 2 若已知函数的真值表 将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1 其余格均填0 3 函数为一个复杂的运算式 则先将其变成与或式 再用直接法填写 图形法化简函数 用卡诺图表示逻辑函数 例 某函数的真值表如图所示 用卡诺图表示该逻辑函数 1 1 1 1 例 用卡诺图表示该逻辑函数 1 1 1 1 图形法化简函数 几何相邻的2i i 1 2 3 n 个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈 消去i个变量 而用含 n i 个变量的积项标注该圈 1 圈要尽可能大 每个圈包含2n个相邻项 2 圈的个数要少 使化简后逻辑函数的与项最少 3 所有含1的格都应被圈入 以防止遗漏积项 4 圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项 图形法化简函数 与或表达式的简化 由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺图 合并相邻的最小项