应用统计chapter6.ppt

第六章 抽样与抽样分布 第6章统计量及其抽样分布 6 1统计量6 2关于分布的几个概念6 3由正态分布导出的几个重要分布6 4样本均值的分布与中心极限定理6 5样本比例的抽样分布6 6两个样本平均值之差的分布6 7关于样本方差的分布 6 1统计量 6 1 1统计量的概念6 1 2常用统计量6 1 3次序统计量6 1 4充分统计量 常用的总体参数 总体参数总体平均值总体方差总体标准差总体比率 统计量 statistic 设X1 X2 Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本 如果由此样本构造一个函数T X1 X2 Xn 不依赖于任何未知参数 则称函数T X1 X2 Xn 是一个统计量样本均值 样本比例 样本方差等都是统计量统计量是样本的一个函数统计量是统计推断的基础 常用统计量 样本统计量样本平均值样本方差样本标准差样本比率 常用统计量 样本统计量样本变异系数样本k阶矩样本k阶中心矩 常用统计量 样本统计量样本偏度系数样本峰度系数 次序统计量 一组样本观测值X1 X2 Xn由小到大的排序X 1 X 2 X i X n 后 称X 1 X 2 X n 为次序统计量中位数 分位数 四分位数等都是次序统计量 充分统计量 统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量 例 某电子元件厂欲了解其某产品的不合格率p 质检员抽检了100个电子元件 检查结果是 除前3个是不合格品 记为X1 1 X2 1 X3 1 其他都是合格品 记为Xi 0 i 4 5 100 当企业领导问及抽检结果时 质检员给出如下两种回答 1 抽检的100个元件中有3个不合格 记为 2 抽检的100个元件中前3个不合格 X1 1 X2 1 X3 1 6 2关于分布的几个概念 6 2 1抽样分布6 2 2渐进分布6 2 3随机模拟获得的近似分布 6 2 1三种不同性质的分布 总体分布样本分布抽样分布 总体分布 populationdistribution 总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 样本分布 sampledistribution 一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时 样本分布逐渐接近总体的分布 抽样分布 samplingdistribution 样本统计量的概率分布 是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时 由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布样本统计量是随机变量样本均值 样本比例 样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息 是进行推断的理论基础 也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布的形成过程 samplingdistribution 6 2 2渐近分布 样本统计量的极限分布常称为渐近分布 6 2 3随机模拟获得的近似分布 利用计算机应用随机模拟方法获得统计量的近似分布 6 3由正态分布导出的几个重要分布 6 3 1 2分布6 3 2t分布6 3 3F分布 2分布 由阿贝 Abbe 于1863年首先给出 后来由海尔墨特 Hermert 和卡 皮尔逊 K Pearson 分别于1875年和1900年推导出来设 则令 则Y服从自由度为1的 2分布 即当总体 从中抽取容量为n的样本 则 2分布 2distribution 分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小 通常为不对称的正偏分布 但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为 E 2 n 方差为 D 2 2n n为自由度 可加性 若U和V为两个独立的 2分布随机变量 U 2 n1 V 2 n2 则U V这一随机变量服从自由度为n1 n2的 2分布 2分布 性质和特点 c2分布 图示 t分布 t分布 t 分布是由W S Gosset 1876 1937 于1908年在一篇署名为 student 的论文中首次提出 因此又称为 学生氏 分布 设随机变量X N 0 1 Y 且X和Y相互独立 则随机变量的分布称为自由度为n的t 分布 并记为T t n t分布 t 分布是一概率分布簇 某一特定的t 分布依赖于参数n 称之为自由度 随着自由度的增加 t 分布与正态分布之间的差距将会不断减小 n 30 随着自由度的增加 t 分布的离散程度也将减小 t 分布的均值为0 方差为 t分布 t分布表的使用 例 某银行向审计部门报告 其向企业发放的短期贷款中 未偿还的贷款额近似服从正态分布 平均值为8 5万元 标准差未知 现审计人员为了验证这个报告结果 随机抽取了25个项目进行检查 查得平均拖欠贷款额为7 6万元 标准差为1 6万元 审计人员所关心的问题是 如果总体均值为8 5万元 那么能抽到的样本其平均值不超过7 6万元的概率有多大 例题分析 解 由于总体标准差未知 所以采用t分布 其中 n 25 自由度 n 1 24 F分布 由统计学家费希尔 R A Fisher 提出的 以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服从自由度为n1的 2分布 即U 2 n1 V为服从自由度为n2的 2分布 即V 2 n2 且U和V相互独立 则称F为服从自由度n1和n2的F分布 记为 F分布 Fdistribution F分布 Fdistribution 不同自由度的F分布 6 4样本均值的分布与中心极限定理 一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布 样本均值的抽样分布 在重复选取容量为n的样本时 由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值 的理论基础 样本均值的抽样分布 例题分析 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数N 4 4个个体分别为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 总体的均值 方差及分布如下 均值和方差 样本均值的抽样分布 例题分析 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 样本均值的分布与总体分布的比较 例题分析 2 5 2 1 25 总体分布 样本来自正态分布 正态分布再生定理 设为一组随机变量 若它们相互独立 而且都服从正态分布 则服从正态分布 已知时 样本均值的抽样分布 正态分布再生定理 如果容量为n的随机样本抽自平均数为u方差为的正态分布总体 则样本平均数也服从正态分布 该分布的期望值为 方差为 当N远远大于n时 即时 也可将不退还抽样看作退还抽样 其中 已知时 样本均值的抽样分布 样本来自非正态总体 中心极限定理 设为一组随机变量 若它们相互独立 而且具有相同分布 期望 方差 则服从正态分布 注 对任意分布形态的平均数为u 方差为的总体进行随机抽样 只要样本容量足够大 n 30 则样本平均数抽样分布逼近期望值为 方差为的正态分布 样本均值的抽样分布 样本均值的抽样分布 其中 通常把n 30作为 n很大 的标准 样本容量n 30称为大样本 否则称为小样本 中心极限定理 x的分布趋于正态分布的过程 样本均值的抽样分布 例题分析 例 某类钢制产品的重量 经过多次衡量 取得有差异的一系列数据 这些数据近似的服从正态分布 设平均值为2800公斤 方差为9000公斤 现假定从该总体中抽出容量为10的随机样本 问这个样本的平均重量小于或等于2750公斤的概率为多大 样本均值的抽样分布 例题分析 解 样本来自于标准差已知的正态分布总体 故抽样分布为正态分布 其中 样本均值的抽样分布 例题分析 例 从海外A地区 B地区 和C地区到货了3批大豆 分别为1000包 10000包和100000包 已知3批大豆中平均每包重量都为100公斤 标准差都是4公斤 现从每批中都按不重复抽样抽取样本容量n 500包的样本 来测定这3批大豆的每包平均重量 要求分别标出样本平均重量短秤半公斤的概率 样本均值的抽样分布 例题分析 解 从A地区大豆抽样的 从B地区大豆抽样的 样本均值的抽样分布 例题分析 从C地区大豆抽样的 如果不作总体修正 则 样本均值的抽样分布 例题分析 A地区 B地区 C地区 抽样分布与总体分布的关系 总体分布 正态分布 非正态分布 大样本 小样本 正态分布 正态分布 非正态分布 未知时 样本均值的抽样分布 总体是正态总体或非正态总体但样本量很大 未知 总体是正态总体 未知 总体非正态总体且样本量很大 未知 总体非正态总体且样本量很小 分布未知 6 5样本比例的抽样分布 比例 proportion 总体 或样本 中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品 或不合格品 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为 样本比例的抽样分布 样本比例的数学期望样本比例的标准差重复抽样不重复抽样 样本比例的抽样分布 3 当样本容量很大 即时 由中心极限定理有 样本比例的抽样分布 例题分析 例 假定我们已知办公室人员所填写的表格中有5 至少包括一处笔误 如果我们检查一个由475份表格组成的简单随机样本 其中至少含一处笔误的表格所占的比例在3 和7 5 之间的概率有多大 例题分析 解 由于n较大 较小 n 23 5 5 所以可用正态近似处理 认为样本比率的抽样分布服从正态分布 6 6两个样本均值之差的抽样分布 样本统计量的抽样分布 两个总体参数推断时 两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布 两个样本均值之差的抽样分布 两个独立总体都为正态分布 即 两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布 两个样本均值之差的抽样分布 例题分析 例 一个市场分析人员研究顾客在甲乙2个不同类型的食品杂货店中所花费的时间 他在每个商店中各观察了一个由75人组成的样本 发现商店甲的顾客所花费的平均时间为55分钟 商店乙的顾客所花的平均时间为49分钟 假定甲乙2个商店的顾客所花费平均时间的真值无差别 且标准差对每个总体来说都是15分钟 问观察到样本差大于或等于6分钟的概率有多大 两个样本均值之差的抽样分布 例题分析 解 两样本是相互独立 都服从正态分布 或总体不是正态总体 单位大样本 故均值差的分布为正态分布 且均值为 方差为 两个样本比例之差的抽样分布 两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本 当两个样本都为大样本时 两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为方差为各自的方差之和 两个样本比例之差的抽样分布 例题分析 例 一项抽样调查表明甲城市的消费者中有15 的人喝过商标为 圣洁 牌的矿泉水 而乙城市的消费者中只有8 的人喝过该种矿泉水 如果这些数据是真实的 样本那么当我们分别从甲城市抽取120人 乙城市抽取140人组成两个独立随机时 样本比例差不低于0 08的概率有多大 两个样本比例之差的抽样分布 例题分析 6 7关于样