2015年四川高考题理科数学第21题分析报告会.doc

2015年四川高考理科数学第21题试题分析内江六中 王 锋2015年普通高考理科数学(四川卷)依然遵循考试大纲及考试说明(四川卷)要求，保持了近几年的四川卷命题风格，在题型、题量、难度方面保持了相对稳定，立足现行教材，回归数学本质，重视基础知识、基本技能的考查，强调通性通法，注重能力立意，命题命制立足学科主干知识，将知识、方法、能力的考查融为一体，通过适度联系与综合等方式，在知识交汇处考查学生的数学思维方法和能力，同时试题在稳定中追求创新，有利于考查学生的数学素养与学习潜能，整个试卷布局合理，难度适中，有较好区分度，无偏题、怪题，有利于科学选拨人才，维护社会公平与稳定。下面就21题谈一谈个人的不成熟看法，有不妥之处还望各位批评指正！ 一试题呈现21.（本小题14分）已知函数，其中。（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。二试题评价第21题在素材选择、情景设置和设问方式上相比往年有所创新，和2014年最后一题类似，考查二阶导数和分类讨论，考查学生的探究意识，应用意识和创新意识，对考生综合与灵活运用所学数学知识、思想方法，进行独立思考分析，创造性的解决问题有较高且合理的要求。同时第21题对数学思维的灵活性、深刻性、创造性都有较高要求，具有一定的难度，解答这些问题，需要具有较强的分析问题、探究问题和解决问题的能力。展示了数学学科的抽象性和严谨性，要求考生具有高层次的理性思维，考生解答时可以采用“联系几何直观探索解题思路提出合情猜想构造辅助函数结合估算精算进行推理证明”的思路，整个解答过程与数学研究的过程基本一致，能较好地促进考生在数学学习的过程中掌握数学知识、探究数学问题和发现数学规律。这些试题具有立意深远、背景深刻、设问巧妙等特点，富含思维价值，体现了课程改革理念，是检测考生理性思维广度、深度和学习潜能的良好素材。这样的设计，对考生评价合理、科学，鼓励积极、主动、探究式的学习，有利于引导中学数学教学注重提高学生的思维能力、发展应用意识和创新意识，对全面深化课程改革、提高中学数学教学质量有十分积极的作用。三解题方法解法一： () 由已知，函数的定义域为，所以 当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增（说明：每个单调区间1分，共6分。若出现，扣1分）() 由，解得令则，故存在，使得令，由知，函数在区间上单调递增所以 即 当时，有，由()知，在区间上单调递增，故当时，从而；当时，从而所以，当时，综上所述，存在，使得在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解解法二： () 令，则在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解当且仅当在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解由于且, 故时，当时, , 单调递减当时, , 单调递增从而, 当时, 在达到最小值此时，令，则，从而存在使得令则当时，且当时，单调递减，从而当时，单调递增，从而综上所述，存在，使得在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解解法三： () 由()知，在区间上单调递增，当趋向于正无穷大时，的函数值也趋向于正无穷大即存在，使得，且在单调递减，在单调递增且满足，即时， 取得最小值为 令，则，故存在，使得所以在区间内有解此时相应的值为，其中由知，函数在区间上单调递增所以 即 综上所述，存在，使得的最小值为0此时在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解解法四： () 前同解法三又，所以令，易得，所以在区间内有解此时相应的值为，其中由知，函数在区间上单调递增所以 即 综上所述，存在，使得的最小值为0此时在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解解法五： () 由()得在内单调递增。且，。由零点存在性定理得存在唯一使得。所以在上单调递减，上单调递增。所以满足在区间内有唯一解只需满足即可。，将带入化简得：当时，此时变形为，在上有解。令所以在上单调递减。不满足。当时，此时变形为在上有解。不妨设所以在上单调递增。所以在上有解。所以结论得证。四学生错误1.求导不熟，比如乘法法则、分式求导；2.运算能力不强，对函数式乱变形、一元二次方程求根公式乱写、乱约分；3.对参数的处理能力不够，分类讨论的思想还不到位；4.研究函数时没有注意函数的定义域；5.多个同类单调区间乱表达；6.第二个小题基本没有做，入手较难。五教学建议第21题第1小问主要考查分类与整合的数学思想与方法。它是考试的必考点，同时也是学生解题的难点和易错点。就其原因，根本是没有想通为什么需要讨论！所以我们在平时的教学中，注意学生基本功的训练和过手，要经常进行不带参数和带参数的同一个问题的切换！让学生深深地体会到分类讨论是在“自然而然”中诞生的！而不是很勉强的！能避免则避免！有时是“无奈之举”.就此题而言，讨论“单调性”可化归为“解不等式”，最终是解“一元二次含参不等式”。走啊走，走到“”这一关过不到了！非讨论不可！一切都是在自然而然中悄悄发生！第21题第2小问是为优等生准备的“大餐”， 在处理时需要利用到主元转换（因式分解功底强大的则无需），后续操作则只需注意变量的取值范围即可，此题需要考生强大的计算和心理承