探究中考数学中面积等分线问题.pdf

2 0 1 4年第 1期 中学数学月刊 5 7 探究中考数学中面积等分线问题 沈 贤 江苏省 江 阴实验 中学 2 1 4 4 0 0 近年来 中考 中常遇到用一条直线平分一个 平面 图形面积 的问题 这 些 问题 涉及 到相关 图形 的性质 几何变换 等积变换等知识点 考查学生 的动手操作 能力 综合分 析 问题 解决 问题 的能 力 所 以成为中考数学 中的热点和难点 如何破解 这类问题呢 本文就常见 的三角形 的面积等分线 作法 三角形等积代换 中心对称 图形的面积等分 线作法 特定条件 的图形面积等分线 四个角度进 行破解 1 常见 的 GAB C 的面积等 分线 作法 作 出边 B C的中点 P 作直线 A P 直线 AP 即为所求作等分线 见 图 1 理论依据 等底 同高的两三角形面积相等 图 1 图 2 2 常用 的三角形等 积代换 已知 如 图 2 MN E F A C B D 相交 于点 0 得结论 S A B c S D B c 理论 依 据 同底 等高 的两 三 角 形 面 积相 等 而且可得出 S A 一S D c 3 中心对 称 图形 的等分 线作 法 在初 中数学 阶段 我们经常遇到的中心对称 图形有 圆和平行 四边形等 圆 圆的对称 中心就是其 圆心 只要经 过 圆心 作一条直线 便可将该 圆的面积平分 见 图 3 图 3 图 4 平行 四边形 平 行 四边形 的对称 中心是两条 对角线的交点 只要经过对角线 的交点作一条直 线 便可 以将这个平行 四边形 的面积平分 矩形 菱形 正方形都是特殊 的平行 四边形 同样也可以 用这种方式将面积平分 见 图 4 一 般地 对于中心对称 图形 我们经过它的对 称 中心作一条直线便可以将它的面积平分 4 特定条件 的图形面积等分 线 如 图 5 已知 GA B C中 P为B C边上一定点 同 理 得 2 一 C 一 所 以 2 一 n 一 因为点 H 0 0 在椭 圆 4 L 2 1 上 所 以 2 一 代人 得 2 一一 由圆的直径 式 方 程得 以 MN 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 一 等 d 7 一 等 2 一 o 当 y O 时 一 等 2 o 将 代 人 得 一 或 2 一 故 以 MN 为直 径 的 圆恒过定点 o o 探究 2 若 椭 圆的准 线 改 为左 准线 Z 一 一 则 以 MN 为直径 的圆恒过定点 吗 结论 2 设椭 圆 一1 b o 与 轴交于 A B两点 点 A在 B的左侧 H是椭圆上 2 的点 直线 AH B H 与左准线 Z 一一 分别交 于点 M N 则 以 MN 为 直 径 的 圆恒 过 两 定 点 一 o 一 二 o C C 同理可证 结论 2是正确 的 探究 3 上述性质能否推广到双曲线 呢 容易得到 以下结论 探究过程从 略 结论 3 设双曲线 一 一1 o b o 与 轴交于A B两点 点 A在 B的左侧 H是双 2 曲线上的点 直线 AH B H 与准线 Z 一 分 别交于点M N 则以MN 为直径 的圆恒过两定点 o 二 o 5 8 中学数学月刊 2 0 1 4年第 1 期 P不是 中点 过 点 P作 一 直 线 使 其 等 分 C 的面积 解 见 图 6 取 B C的 中点 D 连结 AP 过点 D 作 D E A P交AC于 E 作直线 P E 直线 P E 即 为所求直线 评析 运用 了转化思想 取 中点 D 连结 A l P S A B D S A D c 由 D E A P得 S A D E S P D E 于 是得到 S E P c S A D c 即直线 P E即为所求直线 图 5 图 6 又如 如图 7 AF E D B C A B E F C D 请用一条直线将它分成面积相等的两部分 掌握了中心对称 图形 的面积平分规律 我们 再来解决组合 图形 的面 积平 分就 不是什 么难事 了 一般只要通过适 当的方法将 图形分解成两个 中心对称图形的组合 利用数学 中的转化思想 问 题就解决 了 图 8 图 1 0 图 7 图 8 图 9 图 1 0 笔者 以最近几年的中考题 目为例 就其等积 线的问题作些探讨 例 1 2 0 1 0 年连 云港 如果一 条直线把一个 平面图形的面积分成相等 的两部分 我们把这条 直线称为这个平面图形的一条面积等分线 如 平 行 四边形 的一条对线所 在 的直 线就是平行 四边形 的一条面积等分线 1 三角形的中线 高线 角平分线分别所在 的 直 线 一 定 是 三 角 形 的 面 积 等 分 线 的 有 2 如 图 1 1 梯形 A B C D 中 A B D C 如果 延长 DC 到 E 使 C E AB 连 结 那 么有 S 梯 形 A B 一S A D E 请你给出这个结论成立的理 由 并过点 A作 出梯形 AB C D 的面积等分线 不写作 法 保 留作 图痕迹 3 如 图 1 2 四边形 A B C D 中 A B与 C D 不 平行 S A D c S A B c 过 点 A 能 否作 出 四边 形 AB C D的面积等分线 若能 请画出面积等分线 并给出证 明 若不能 说明理 由 图 1 1 图 1 2 图 1 3 图 1 4 解 1 中线所 在 的直线 2 连结 B E 因A B C E A B C E 所 以四 边形 A B E C为平行 四边形 所 以 B E A C 所 以 A B C 和 AE C的公共边 AC上的高 也相等 所 以 S A B c S A E c 所 以 S 梯 形 A B C D S A C D S A B c S A C D S A E c S A E D 过点 A 的梯形 AB C D 的面积等分线 的画法 如 图 1 3所示 为直线 A G 3 能 如图 1 4 连结 A C 过点 B作B E A C 交 DC 的延长线 于点 E 连结 因 B E A C 所以 A B C和 AE C的公共 边 AC上的高也相等 所 以 S A B c S A E c 所 以 S 梯 形 A B C D S A C D S A B c S A C D S A E c S A E D 因 S 八 A C D S 八 A B c 所以面积等分线必与 C D 相交 取 D E 中点 F 则直线 AF即为要求作 的四边形AB C D的面积 等分线 评析 第一小 问考查考生对三角形 的三种 特殊线的性质是否熟悉 第二 问为过点 A作 出梯 形 AB C D 的面积等分线作 了铺垫 把梯形 问题转 化为三角形问题 第 三 问把 问题推广到更一般 的 情况 要转化为前面的情况来解决 这里体现了从 特殊到一般的思想和数学的转化思想 例 2 2 0 1 3年 陕西 问题探究 1 请在图 1 5中作 出两条直线 使它们将 圆 面四等分 2 如图 1 6 M 是正方形AB C D 内一定点 请 在 图中作出两条直线 要求其 中一条直线必须过 点 M 使它们将正方形 A B C D 的面积 四等分 并 2 0 1 4年第 1期 中学数学月刊 q U L 说 明理 由 问题解决 3 如 图 1 7 在 四边形 A B C D 中 A B C D A B 4 C D B C 点 P是 AD 的 中点 如果 A B a C D b 且 b 那么在边 B C上是否存在一点 Q 使 P Q所在直线将 四边形AB C D 的面积分成相 等的两部分 若存在 求 出 B Q 的长 若不存在 说 明理 由 图 1 5 图 1 6 解 1 如 图 1 8所示 图 1 7 图 1 8 2 如图 1 9 连结 AC B D 相交于点 0 作直 线 O M 分别交 AD B C于 P Q两点 过点 0作 OM 的垂线分别交 AB C D 于 E F两点 则直线 O M E F将正方形 AB C D 的面积四等分 理 由如下 图 1 9 图 2 O 因点 0是正方形AB C D 对角线 的交点 所 以 点 0是 正方形 AB C D 的 中心 所 以 一O B一0C一 P一 E 一 0C Q 一 DF 一 4 5 因 P Q l EF 故 P0 D D0 F 一 9 0 P OD P OA 一 9 0 U 所 以 P0 A 一 DOF 同 理 P0 一 D0F 一 BOE 一 C OQ 所 以 A0P B0E C 0Q D0F 所 以 S 四 边 形 A P 一 S 四 边 形 B E Q S 四 边 形 C Q 一 s四 边形P O F 一 1 s 正方形A B c 所以直线 E F P Q将正方形AB C D面积四等分 3 存在 当 B Q C D b时 P Q 将 四边形 ABC D 面积二等分 理 由如 下 如 图 2 O 连 结 B P 并 延 长 B P 交 C D 延长线于点 F 连结 C P 因点 P是 AD 的 中点 所 以 一P D 因 A B C D 所 以 P 一 DlF P 因 APB 一 DPF 所 以 APB DPF 从而 一DF P B P F 所 以 C P是 C B F 的 中线 所 以 S 八 C P B S 八 C P F 因 C D BC DF 4 C D B C 即 C B C F 所 以 C B F 一 C F B 因 P一 DlFP 所 以 P一 C B P 即 P B是角平分线 所以点 P到 AB 与 C B 的距离相等 因 B Q b 所 以 o Q A B一 所 以 S A B P S C P 所 以 S 四 边 形 A B Q P S 四 边 形 Q C D P 所以当 B Q b时 直线 P Q将 四边形 AB C D 的面积分成相等的两部分 评析 1 问较易解 决 圆 内两 条互 相垂 直 的直径即达到 目的 2 问中其 实在八年级学 习 四边形时解决过此类问题 在正方形 中 常见 的是 将两正方形重叠在一起旋转的过程 中对图形的面 积相等 的考查 考查 了对 图形变换 的熟悉 程度 3 问 中可 以把 四边 形 问题转 化 为熟悉 的三角形 的等积线来处理 其 中根据条件穿插 了几何 中边 和角的特殊关系 考查学生对几何 的基本推理 的 掌握程度 综合性 比较强 当然本题根据条件也能 构造出菱形 由菱形 的中心对称 的特性得 出面积 等分线 面积是数学的重要 内容之一 应用非常广泛 相关的知识点多面广 灵活性大 技巧性强 是历 年数学 中考的重点 为中考 的热点 内容之一 很多 题 目与面积有关 涉 及 到三 角形 圆 矩 形