数学奥林匹克问题.pdf

数 学 奥 林 匹 克 问 题 本 期 问 题 初 265 在 ABC 中 点 M N 分别在边 AB AC 上 AM AN D E 分别为 CM BN 的 中点 且 BD CE 求证 AB AC 初 266 ABC 的三边长都是整数 AB BC CA AB 2AC BAC的平分线交 BC 于点 D 分别以 ABC 的三边为一边作一个 正方形 三个正方形的面积之和为 2 009 证 明 BD 与 DC的长都是整数 高 265 已知对于一切正整数 n n i 1 1 1 3i 1 k 2 3 19n 8 都成立 试求 k的最大值 高 266 设 a b c 0 且 a b c 2S 求证 对任意的整数 n 有 a n b c 2 3 n 2 S n 1 其中 表示循环和 图 1 上 期 问 题 解 答 初 263 如图 1 O 的两条弦 AC BD 交于点 P 作 PEAB PFDC 垂足分别 为 E F BF 与 CE交于点 Q 求证 PQEF 证明 如图 1 过点 E 作 BF的垂线与过 点 P 的 EF 的垂线交于点K 过点 F 作 CE的 垂线与过点 P 的 EF的垂线交于点 K 易知 PEK BEK 90 EBF BEK 90 于是 PEK EBF 因为PKE KEF 90 EFB KEF 90 所以 PKE EFB 因此 PEK EBF 同理 PFK FCE 故PK EF PE EB PK EF PF FC 即 PK PE EB EF PK PF FC EF 注意到 PEB PFC PE EB PF FC 因此 PK PK 即点 K 与 K 重合 以下 统一记为 K 则 QE QF 为 KEF 的两条高线 故 KQEF 所以 P Q K 三点共线 即 PQEF 沈 毅 重庆市合川太和中学 401555 初 264 在凸四边形 ABCD中 ABD CBD 45 ADB 30 CDB 15 求四边形 ABCD 各边的连比 解 如图 2 联结 AC 取 ABC 的内心 I 联结 AI CI 作 AEDC 于点 E 由ABD CBD 知内心 I在 BD上 根据三角形内心性质得 AIC 90 1 2 ABC 90 1 2 90 135 472010年第 1期 图 2 而ADC ADB CDB 45 故AIC ADC 180 所以 A I C D 四 点共圆 此时 IAC IDC CDB 15 BAC 2IAC 30 在 Rt ABC 中 设 BC 1 易知 AC 2 AB AC 2 BC 2 3 又DCA DIA IAB ABI 60 于是 在 Rt ACE 中 有 CE 1 AE 3 由 AED 为等腰直角三角形有 DE AE 3 AD 2 DE 2 3 6 CD CE DE 1 3 故 AB BC CD DA 3 1 1 3 6 黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 246142 高 263 已知 2 009可以在 k进位制中 写成三位数xyz 如果 x y z 20 0 9 试 确定 x y z k 解 由已知条件得 xk 2 yk z 2 009 x y z 29 ii 当 4 k 1 时 A cos k 1 B 1 iii 当 4 k 1 时 A 1 B cos k 1 所以 A cos k 1 B 1 因此 当 k 2时 k 1 A k 1 B k 1 cos k 1 k 1 2 k 1 1 cos k 1 2 2 k 1 sin 2 2 k 1 2 2 k 1 2 4 k 1 2 0 故 ak k 1 A k 1 cos 2 k 1 2 k k 1 cos k 1 4 k 1 k 1 4 k 1 2 证明 当 x0 2 时 易知 cosx 1 2sin 2x 2 1 x 2 2 2 cos 2 k 2 1 2 8 k 2 2 1 5 28 k 2 1 15 4 k 2 4k 7 4k 8 ii 当 k 2 mod 4 时 ak 1 ak k 2 k 1 cos 2 k 1 1 4k 7 4k 8 iii 当 k 3 mod 4 时 ak 1 ak k 2 cos 2 k 2 k 1 1 2 8 k 2 1 5 4 k 2 1 15 4 k 2 4k 7 4k 8 iv 当 k 0 mod 4 时 ak 1 ak k 2 cos k 2 k 1 cos2k 2 cos k 2 k 1 cos 2k 2 cosk 2 cos k 2 2 k 1 sin k 2 2k 2 2 sin k 2 2k 2 2 1 2 2 k 2 2 2 k 1 k 2 2k 2 2 k 2 2k 2 2 1 2 2 k 2 2 k 1 2 2 1 k 2 2 1 2k 2 2 1 5 k 2 2 5k 3k 4 4 k 1 k 2 2 1 5 3k 2 4