数学抽象性的研究与思考.pdf

第 10卷第 2期 数 学 教 育 学 报 Vol 10 No 2 2001 年 5 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION May 2001 收稿日期2000 10 03修订日期2000 11 11 基金项目湖南省高等教育研究资助课题湘教通 1999 175 号 作者简介骆洪才1966男土家族湖南人讲师在职硕士主要研究数学教育 数学抽象性的研究与思考 骆洪才廖六生 郴州师范专科学校 数学系湖南 郴州 423000 摘要从数学的内容与对象这一数学哲学层面上分析数学具有抽象性特点的主要表现形式有层次性 模型化理想化形式化和符号化等数学抽象的合理性表现在仅抽取事物对象量的关系和空间形式以及抽 象的确定性在数学教学中应注重贯彻这一特点的教学策略 关键词数学内容数学对象数学特点数学抽象 中图分类号G420 文献标识码A 文章编号1004 9894200102 0006 03 抽象一词来源于拉丁文abstractio原 意为排出抽出之意数学很抽象不 管是学数学的还是非学数学的这一认识是 一致的但如果再问数学如何抽象呢从教 学实践中得知即使学数学专业的学生也难 回答出个所以然来本文想谈谈这个问题以 期对数学学习者有所启迪 1 数学界对数学抽象的认识 数学作为一门科学或学科 我们说它抽象 首先应对其内容与对象加以界定学科的内容 与对象决定了这门学科的特点然而数学界 学术界对这一问题却很难达成统一的认识或 许正因为如此 数学抽象性的特点也就更明显 更突出了 1 1 数学家们的主要观点 古希腊毕达哥拉斯把 数 看成万物的本质 因而数学的研究对象与内容就是数亚里士 多德把数量区分为离散的和连续的笛卡儿把数 量解释为顺序和度量他们的观点是 数学是研究数量的科学美国数学家 R 柯朗与 H 罗宾斯认为数学的基础是逻辑和直觉分析 和推理共性和个性英国数学家怀特海说数 学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式 进行的研究对此美国数学家斯蒂恩持相同观 点前苏联的亚历山大洛夫把数学看成关于与 内容相脱离的形式和关系的科学我国数学家 丁石孙先生认为数学的研究对象是客观世界的 和逻辑可能的数量关系和结构关系关肇直先 生认为数学是研究现实世界中量的科学徐 利治先生认为数学是研究广义的量即模式结 构形式的学科 1 比较经典的经常引用的 有恩格斯对数学的定义纯数学的研究对象是现 实世界的空间形式和数量关系等等 1 2 主要学派的观点 逻辑主义把数学等同于逻辑认为数学的 对象就是逻辑的对象直觉主义强调构造把数 学定义为纯粹心智的构造形式主义则认为 数学就是一串没有实际内容的且在逻辑上又不 互相矛盾的符号布尔巴基学派研究数学的结 构顺序结构代数结构拓扑结构从而把 数学定义为研究结构的科学1994 1995 年 美国数学会的国家政策报告中指出数学是一 门研究度量形式图形和变化的学科 2 1 3 各种观点的启示 数学的内容与对象在不同的历史阶段具 有特定的内涵并随着数学本身的不断向前发展 而赋于新的含义数学的对象离不开客观世界的 现实原型但不一定是直接用现实原型来反映 的当用数学来反映现实空间形式和关系时几 乎脱离了具体的内容而是经过了理性思维之后 的抽象结果数学所研究的各种不同对象领域 可以用公理化方法把它们统一起来使各种不同 的对象领域具有某种相同的结构如康托建立集 合论以后几乎整个数学的研究对象的基础就可 以用集合论来统一了总之数学研究的是社会 各领域共同的本质问题具有高度的概括性 因而对数学所反映的空间形式和关系可 第 2 期 骆洪才等数学抽象性的研究与思考 7 作如下理解从现实中抽象出来的形式和关系 如欧氏几何的研究对象在已知的形式和关系 的基础上定义出来的逻辑上可能的形式和关 系如由实数的定义及运算关系到复数的定义 和运算关系在各种性质的集合中由非数量关 系产生并且可以导致不同于通常理解的空间形 式 如拉格朗日研究二次型时引入了 n 个变量 黎曼研究 n 维流型从而产生了 n 维空间但 n 维空间里的图形与我们所理解的现实空 间里的图形是不同的甚至几乎脱离了空间形 式和数量关系的那种形式和关系如数理逻辑 的研究对象 2 数学抽象性的思考与启发 2 1 数学抽象的主要表现形式 层次性由感性的直观的现实的问题 上升为数学抽象往往需要经历多个层次这 就是常说的数学的再抽象问题徐利治教授对 此提出了抽象度的概念数学抽象概念的发 展是具有层次性的 3 抽象的层次越多概 括性越强难度越大应用就越广泛可以说 数学的不断向前发展过程就是数学的一次次 再抽象过程比如由欧氏几何的距离概念 通过一次次逐级抽象 直到下列形式化的表述 设 A 为一非空集合任给 xyz 属于 A存 在 f xy R若 f xy 0且 f xy f y x f xy f xz f yz 则称 f xy 为 x 与 y 之间的距离抽象层次就较高了 数学的逐级抽象需要经过概念间的嫁接 与引进 3 在原有的认知基础上建立新的理论 结构如在函数概念中引进连续性可以构成连 续函数在线性空间中引进拓扑结构建立线性 拓扑空间另外数学各学科之间彼此独立 自成体系但如果互相借鉴互相渗透则会产 生新的学科如中学代数与几何相结合产生了 解析几何抽象代数与拓扑结合产生拓扑群代 数几何促进微分几何的发展等 模型化数学抽象离不开模型化但数学 研究的不是现实世界事物的直接模型本身而 是这些模型的一般模型它没有任何实物的具 体特征而是处于数量关系空间关系和类似 这些关系的关系之中广义的说一切数学概 念定理公式法则方程式等以及由它 们 构 成 的 序 列 或 算 法 系 统 都 可 称 为 数 学 模 型通常的理解数学模型就是对于现实世界 的一个特定对象为了某个确定的目的根据 它的内在规律作出若干必要的简化与假设 运用适当的数学工具 而得到的一个数学结构 数学的模型化表现在 2 个方面一是数学 知识本身的结构模型如从数与字母的运算到 向量的运算到集合的运算到几何的运算到微积 分的运算这种结构模型还表现在数学的公理 化各种类型的公理体系的建立如最早的平 面几何学的 5 套 22 条公理 代数运算的群 环 域分别蕴含着一系列的基本假设代数公 理自然数的序数理论用 4 条公理来定义自然 数等另一方面数学的模型化表现在现实生 活中一些具体问题需要通过建立数学模型来 解决这就是我们通常所说的数学建模比如 由骰子到概率由行星运动到常微分方程由 波到偏微分方程等无不体现了自然现象与数 学模型之间的关系解析式a 1x b a 0 x 0bZ 就代表了计算利息细菌繁殖等一 类具体问题的数学模型甚至海湾战争能否开 战美国求助于太平洋赛拉公式该公式也 是利用 Navier stokes 方程等作为计算模型而解 决的 4 理想化 数学家庞加莱说数学研究的不 是物体而是物体间的关系因此对于它来 说这些物体是不是换成别的什么了是完全 没有关系的只要不改变它们之间的关系就可 以了于是数学中的点没有大小线没有宽 度面没有厚度然而线段的长又可理解为点 的集合这样的点线面在现实生活中显然是 找不到的这就是理想化的基本概念数学的 研究必须借助于理想化没有理想化数学自 身的向前发展将是难以想象的有了理想化 数学的抽象才能达到高层次这种理想化既依 赖客观现实中的物体又完全脱离了它们如 几何中研究的球体现实生活中是找不到表面 绝对光滑的球体的必然存在着相对凹凸如 果不理想化就得不到球的表面积公式和体积 公式而这些理想化的公式却可以用来解决各 种有关球的问题微分方程 l g sin 0 描述了单摆的运动规律但必须在不考虑摩擦 及空气阻力的理想前提条件下 形式化符号化数学符号是数学思维活 8 数 学 教 育 学 报 第 10 卷 动的载体是交流数学思想的媒介数学中使 用大量的数学符号使得对数学对象的研究转 化为纯形式的分析这是数学抽象性的外在表 现也是严谨性数学的客观要求有了数学的 形式化与符号化数学显得简洁准确有序 人们的数学思维清晰通畅秩序井然事实上 当数学的抽象达到较高层次时符号的形式化 描述大大优于自然语言的描述如数列极限的 概念完全可形式化如下 a 0 N 0 nN ana 数学符号形形色色 表示的范围相当广泛 表示数量运算对象关系规律思维过 程以及特定的含义等如用11表示哥德 巴赫猜想数学抽象的形式化与符号化充分 揭示了数学对象的基本结构和内在联系是推 动数学自身向前发展的重要因素如希尔伯特 通过形式化的工作消除了欧氏几何中的逻辑缺 陷魏尔斯特拉斯发明的 语言奠定 了数学分析的形式化工作 2 2 数学抽象的合理性 首先数学抽象仅抽取事物对象量的关 系和空间形式 5 任何事物都具有质和量 2 个方面 其它自然科学研究的是事物对象的质 数学研究的则是量数学抽象的目的意向只是 数量关系和空间形式这种抽象构成了数学的 特殊内容及认识客观世界的独特方式从对象 的形式结构和数量特征出发达到解决问题的目 的如欧拉解决哥尼斯堡七桥问题其过程可 概括为客观对象形式结构数量特征问 题解决 其次数学抽象的合理性还表现为抽象的 确定性从确定出发以确定结果数 学的抽象是建立在明确无误的概念原始概念 与公理或自明的假设或确定的现实原形 之上的服从明确无误的推理规则这种抽象 的结果是合理的不用怀疑的譬如公理化 方法等这种确定性还包括从已认知的对象关 系中抽取或建构新的对象关系再抽象只要 新的结构是无矛盾的并且和先前由确切定义 引进的关系结构相协调 5 如等置抽象强 抽象弱抽象等 另外各种数学符号体系提供给人们科 学思维的智力工具使得人们的逻辑思维数 学思想方法的表述形式化使得数学各分支之 间能够建立起统一的内在联系也使得数学抽 象具备了独立性与完整性如代数学的产生与 发展 2 3 数学抽象性的作用与感悟 就数学教育而言研究数学的抽象性旨 在更科学地把握数学提高认识数学并用其解 决实际问题的能力 1数学抽象的层次性给我们的启示是 从最简单最容易认识的对象开始一点一点 逐步上升到对复杂对象的认识 6 遵循数学 发展从简到繁的认识规律注重知识结构体系 与知识间的相互联系不断激活已有的认知结 构建构新的认知结构才能温故而知新本 质是最简单的以简驭繁这是一种重要数学 思想方法 2数学地思考实际问题培养数学观 念和数学思想是数学抽象性的客观要求数学 抽象的模型化理想化表明现实问题的解决 已经脱离了现实本身而被完全数学化这一 过程没有数学的思想和方法是难以实现的借 助于对理想化模式的研究可以简化对现实原形 的研究现实对象和过程的合理理想化是人们 认识现实的有利手段当现实情况或思维过程 的复杂性给研究工作带来很大困难时理想化 将起决定作用但对理想化模式的研究不能完 全脱离现实直观因此数学教学中既要注意 贯彻具体与抽象相结合的原则也要注意培养 学生的辩证思维 如有了 极限无穷无 限这些理想化概念才得以解释数学上的悖 论消除数学上的危机下列结论也可接受了 集合的元素个数可以与其子集的元素个数一样 多整体可以等于其部分等 3数学教育必须重视形式化 6 从某 种意义上说数学就是一个符号化形式化的 系统皮亚诺指出数学中的一切进步都是引 入符号后的反响人们认识数学是从符号开始 的我们在教学中常常强调数学语言其内涵 就是指形式化的数学 数学教育中重视形式化 要力求做到以下转换将基本概念转化为初始 符号数学命题转化为符号公式推演规则转 化为公式间的变形关系证明转化为公式的有 穷序列 下转第 20 页 20 数 学 教 育 学 报 第 10 卷 知识的意义建构 学习的最终目的是实现对知识的意义建 构而要完成对数学知识的意义建构就应该 在分析教学目标的基础上选出所学数学知识 中的基本概念基础知识基本技能等作为所 学知识的主题然后再围绕这个主题进行意 义建构 参考文献 1 王俊邦认识建构与中学数学课堂教学模式 J 数学教育学报20009315 2 邵瑞珍教育心理学 M 上海上海教育出版 社1988256 3 邵瑞珍教育心理学学与教的原理 M 上 海上海教育出版社198397 4 蔡攻我所理解的数学建构教学观 J 数学教育 学报19954214 Two Math Teaching Methods Analyzing According to Constructive View WENG Kai qing Department of Mathematics Sichuan Normal University Sichuan Chengdu 610066 China Abstract The constructive view is playing an increasingly important theory in guiding current quality and innovation education There were two kinds of essential math teaching methods the scaffolding and anchored math teaching In practical teaching we should master teaching links of each method and teaching idea to be implicated in as well Key words constructive teaching model teaching method teaching idea 责任编校陈汉君 上接第 8 页 参考文献 1 周述岐数学思想和数学哲学 M 北京中国 人民大学出版社19931 6 2 黄秦安数学哲学与数学文化 M 西安陕西 师范大学出版社19998 3 郑正亚数学抽象概念教学随笔 J 数学教育学 报19998175 78 4 王梓坤今日数学及其运用 J 数学通报1994 7封二 5 钱玲邵光华数学思想方法与中学数学 M 北京北京师范大学出版社19