数学史与中学数学教学内容整合的运用策略_战珊珊.pdf

第27卷第6期 Vol127 No16 长春师范学院学报 自然科学版 Journal of Changchun Normal University Natural Science 2008年12月 Dec 2008 数学史与中学数学教学内容整合的运用策略 战珊珊 长春师范学院数学学院 吉林长春 130032 摘 要 随着课程改革的进一步实施 数学史作为培养学生数学素养的重要环节已经得到普遍认可 和重视 目前较为关注的是如何将数学史的相关内容与中学数学教学内容进行整合 本文将结合中学 数学教学内容和教学实践 阐述关于数学史与中学数学教学内容整合的运用策略 关键词 数学史 整合 策略 中图分类号 G642 文献标识码 A 文章编号 1008 178X 2008 06 0132 04 收稿日期 2008 09 30 作者简介 战珊珊 1981 女 吉林白城人 长春师范学院数学学院助教 从事数学课程与教学论研究 1 数学故事策略 1 人们对于数学史的初步理解就是讲故事 但在中学数学教学过程中 对于与数学史相关的故事应该有选 择的进行运用 主要体现在与中学数学相关的概念 定理 公式的教学中 介绍与其有关的历史背景 产生 原因以及相关的名人轶事等 借此激发学生对数学的学习兴趣 并进一步加深学生对于这些概念 定理 公 式的理解 在教学中 教师可以结合具体的中学数学教学内容 对故事策略的运用进行分析 例如 在初中数学八 年级下册第十八章勾股定理的教学过程中 在对勾股定理的内容介绍之前 可以先向学生介绍一些关于勾股 定理的小故事 如我国的 周髀算经 对于勾股定理的表述 2 勾股定理又叫做总统定理的由来 还有毕达 哥拉斯学派为庆祝勾股定理的证明而用百牛宴请宾客 从而又名百牛定理等等 通过这些故事的介绍不仅可 以拓展学生关于数学史方面的视野 还有利于激发学生关于数学知识及其发展的兴趣 从而对促进教学和学 生的全面发展起到作用 2 数学方法比较策略 数学教学的一个重要目的就是让学生掌握解决问题的方法 因此在数学史与中学数学教学内容整合的过 图1 赵爽证明图 程中 方法比较策略的运用必不可少 主要体现在数学定理证明和典型例题 可以 结合数学史上经典的证明方法和思考方式向学生进行讲解 在扩展学生解题思路的 同时 对于给出的方法进行分析 归类 比较 从而更好地发挥数学史的作用 在介绍勾股定理的证明时 首先应该以教材给出的证明方法为教学重点 同时 也可以引入数学史上典型的证明方法作为补充 例1 我国赵爽在对 周髀算经 作注时给出的证明 3 如图1 c2 2ab b a 2 经过合并同类项从而得到勾股定理 例2 又名总统定理的勾股定理的证明 自然也少不了介绍美国总统加菲尔德的 证明方法 如图2 S梯形ABCD S ADE S CDE S BCE 即 a b 2 2 ab 2 c2 ab 2 231 再经过等式推导 得到勾股定理 例3 欧几里德在 几何原本 中关于勾股定理的证明方法 如图3 以Rt ABC的三条边为边长 分 别作正方形ABFG 正方形BCED 正方形ACKH 由SAS判定定理可以推出 ABD FBC 故S ABD S FBC 易证2S ABD S正方形ABFG 2S FBC S矩形BDLH 故S正方形ABFG S矩形BDLH 同 理 可 证S正方形ACKH S矩形CELM 故S正方形ABF S正方形ACKH S正方形BCED 即AB2 AC2 BC2 上述方法都属于利用面积相等证明勾股定理 还可以利用比例证明方法 例4 如图4所示 利用相似比 可以证得a2 nc b2 mc 故a2 b2 c m n c2 图2 加菲尔德证明图图3 欧几里的证明图图4 比例证明图 勾股定理的证明方法有三百多种 在教学过程中可以根据教学要求和学生的掌握情况 进行有选择性的 讲解 这里需要说明的是 在列举了众多证明方法后 教师要引导学生进行分类比较 从而更好地帮助学生 理解 掌握这些方法 进而灵活运用 3 数学起源策略 数学中很多概念和理论体系都具有随着历史的发展而不断演变完善的特点 对于这部分内容的介绍可以 加深学生对于相关概念 理论的理解 感受知识产生发展的原因 知识扩充的历程以及后继发展方向等 可 以促进对学生认知能力 数学思维 创新能力的培养 下面就 函数 这一概念对数学起源策略进行说明 例5 函数是全部数学概念中最重要的概念之一 众多数学家在长达三百多年的时间里 不断地从集 合 代数 对应 集合的角度赋予函数概念新思想和内涵 从而推动了整个数学的发展 正是由于函数概念 的抽象性和层次性 学生往往不习惯用集合 对应的观点去解释函数关系 缺乏用函数思想分析问题和解决 问题的能力 因此 在函数教学中 渗透数学史料中关于函数概念的发展与比较的内容 有利于学生理解 掌握函数概念 提高教学效果 函数概念的发展主要分为4个时期 4 早期的函数概念是建立在其和观念下的 这一时期的函数概念始于17世纪伽利略在 两门新科学 一 书中 多次运用文字和比例的语言表达函数的关系 随后笛卡尔在他的解析几何中 注意到了一个变量对于 另一个变量的依赖关系 但仍未提炼出函数概念 此后直到17世纪后期牛顿 莱布尼兹建立微积分时 仍 未明确函数的一般意义 绝大部分函数被当作曲线来研究 18世纪函数概念普遍是从代数的角度定义的 1718年 约翰 贝努利对函数概念进行了明确定义 由任 一变量和常数的任一形式所构成的量 贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫做 x的函数 18世 纪中叶欧拉给出了函数符号f x 一直沿用至今 并定义为一个变量的函数是由这个变量和一些数 记常 数以任何方式组成的解析表达式 这时的函数概念很普遍 更具有广泛意义 19世纪的函数概念主要建立在对应关系下 1822年 傅利叶发现某些函数可以用曲线表示 也可以用 式子表示 或用多个式子表示 从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论 把对函数的认识推进 了一个新的层次 1823年 柯西从定义变量的角度给出了函数的定义 1837年 狄利克列认为怎样去建立 x与y之间的关系并不重要 他拓广了函数概念 指出对于在某区间上的每一个确定的x值 y都有一个或 331 多个确定的值 那么y叫做x的函数 维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的定义 通过集合概念 把函数关系 定义域 值域进一步具体化 并且打破了以往变量是数的局限 变量可以是数 也可以使其 他对象 点 线 面 体 向量 矩阵等 现代函数概念是建立在集合论观点下的 1914年豪斯道夫在 集合论纲要 中用 序偶 来定义函数 1930年新的函数定义为 若对集合M的任意元素x 总有集合N确定的元素y与之对应 则称在集合M上 定义一个函数 记为y f x 元素x称为自变元 元素y称为因变元 需要说明的是 函数概念虽然经过三百多年的变革 但对它的探索并没有终结 概念仍可以从测度论的 角度和物理学的角度进行进一步研究 教师在对于函数概念发展历史的介绍中 可以引导学生在重温知识产 生发展过程 内化前人提炼知识的思路方法 加深对知识理解的同时 扩展数学视野 激发学生对于数学深 入探究的兴趣 4 数学思维策略 培养学生的数学思维品质 一直是数学教育工作者追求的重要目标之一 通过挖掘数学史上数学家解决 问题的途径 不仅可以使学生学到具体的数学知识 还可以学到经典的思维技巧 从而达到培养思维品质的 目的 411 数学抽象性 例6 欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时 5 将如图5所示的岛区 北区 东区 南区抽象为A B C D四个点 将七座桥抽象为连接各点的线段 如图6 这样 就将一个实际问题抽象成为数学图形的一笔画 问题 最终由始点到终点的一笔画特点 得到一笔画的条件 奇点数只能为0或2 进而开创了一门新的数 学学科 图论 图5 七桥问题图图6 七桥问题抽象图 412 反证法 例7 伽利略推翻亚里士多德关于物体下落运动的断言 古希腊哲学家亚里士多德仅仅凭借直觉和观 感 曾经做出过这样的结论 重的物体下落速度比轻的物体下落速度快 落体速度与重量成正比 伽利略由 此理论提出 若将重的物体和轻的物体绑在一起 按照亚里士多德的观点 重量是最重的 应该是最快的 但分析速度快的重物体会受到速度慢的轻物体的牵制 下降应该比重的物体慢 进而通过实验 推翻了人们 深信不疑了两千多年的亚里士多德关于物体下落运动的断言 413 类比法 例8 欧拉运用代数方程和三角方程解决自然数平方的倒数之和问题 1 1 22 1 32 这个问题曾 难倒了18世纪中的一批数学家 欧拉使用三角方程与代数方程作类比 并将无限的未知和与有限的已知和 作类比 得到了其结果 其具体类比过程如下 首先 他考虑只含偶次项的2n次代数方程b0 b1x2 b2x4 1 nb nx2 n 0 1 431 其中b0 0 如果它有2n个互不相同的根 1 2 n 则有 b0 b1x2 b2x4 1 nb nx2 n b0 1 x2 2 1 1 x2 2 2 1 x2 2 n 由此可知 展开右端 按x的幂整理后与左端作同类项比较 b1 b0 1 2 1 1 2 2 1 2 n 2 其次 他研究了三角方程 sin x x 1 x2 3 x4 5 x6 7 0 3 并把它看成是只含偶次项的无穷项代数方程 由于此方程显然含有相异根 2 3 于是欧拉采用类比方法 将 1 和 2 作类比 得 sin x x 1 x2 3 x4 5 x6 7 1 x2 2 1 x2 4 2 1 x2 9 2 再注意到 3 的平方项系数与 1 式相对应性 便得到 1 6 1 2 1 4 2 1 9 2 两端乘以 2 就得出了1 1 4 1 9 2 6 在可以运用上述策略对数学史与数学教学进行整合的过程中 教师还应依据教学目的 考虑教学实际要 求以及学生的知识 经验结构等方面 对数学史资源进行有效的选择 加工 从而激发学生的学习兴趣 加 深学生对知识的理解和掌握 促进学生数学素养的全面提高 参 考 文 献 1 李正银 数学教学中怎样融入数学史 J 数学教学通讯 2006 7 2 李文林 数学史概论 M 北京 高等教育出版社 2002 3 李超 勾股定理最早证明新考 J 韶关学院学报 2006 10 4 陈蓓 函数概念的发展与比较 J 数学通讯 2005 7 5 汪晓勤 欧拉与自然数平方倒数和 J 曲阜师范大学学报 自然科学版 2002 4 Applied Strategies in the Integration of Mathematics History and Mathematics Teaching Content in Middle School ZHAN Shan shan Mathematics College of Changchun Normal University Changchun 130032 China Abstract With the further implementation of curriculum reform the history of mathematics has been an important means to cultivate the mathematical culture of students and the means has been already accepted Based on the teaching con